Suma unghiurilor triunghiului. Teorema privind suma unghiurilor unui triunghi

Un triunghi este un poligon cu trei laturi (trei colțuri). Cel mai adesea, laturile sunt marcate cu mici litere care corespund literelor mari care denotă vârfurile opuse. În acest articol vom fi familiarizați cu tipurile acestor figuri geometrice, teorema care determină ce sumă a unghiurilor unui triunghi este egală cu.

Tipuri de unghiuri

Există următoarele tipuri de poligoane cu trei noduri:

• Angular, cu toate colțurile ascuțite;
• dreptunghiular, având un unghi drept, cu această parte, generatoarele sale sunt numite katetami, iar partea care este plasată opus unghiului drept se numește hypotenuse;
• obtuz, atunci când unul colț stupid;
• isoscele, în care cele două laturi sunt egale, și ele sunt numite lateral, iar a treia este baza triunghiului;
• Echilateral, având toate cele trei părți egale.

proprietăţi

Alocați proprietățile de bază caracteristice pentru fiecare tip de triunghi:

• față de partea mai mare există întotdeauna un unghi mai mare și invers;
• față de laturile egale sunt unghiuri egale și invers;
• fiecare triunghi are două unghiuri ascuțite;
• unghiul exterior este mai mare decât orice unghi interior care nu este adiacent acestuia;
• suma oricăror două unghiuri este întotdeauna mai mică de 180 de grade;
• unghiul exterior este egal cu suma celor două unghiuri rămase, care nu interferează cu acesta.

Teorema privind suma unghiurilor unui triunghi

Teorema afirmă că dacă adăugăm toate unghiurile unei figuri geometrice date care se află pe planul euclidian, atunci suma lor va fi de 180 de grade. Să încercăm să dovedim această teoremă.

Să avem un triunghi arbitrar cu vârfurile CMN. Prin vârful lui M tragem paralel cu linia CN (această linie dreaptă este numită și linia euclidiană). Pe acesta marcăm punctul A astfel încât punctele K și A să fie situate pe laturile opuse ale liniei drepte MN. Obținem unghiuri egale AMN și CNM, care, la fel ca cele interne, se află într-o cruce și formează un MN secant, împreună cu liniile drepte KN și MA, care sunt paralele. Rezultă că suma unghiurilor triunghiului situate la vârfurile lui M și H este egală cu mărimea unghiului MRA. Toate cele trei unghiuri sunt suma, care este egală cu suma unghiurilor MRA și MKN. Deoarece aceste unghiuri sunt interne unilate față de liniile paralele KN și MA cu CM secant, suma lor este de 180 de grade. Teorema este dovedită.

rezultat

Din teorema de mai sus, urmează următorul corolar: fiecare triunghi are două unghiuri acute. Pentru a dovedi acest lucru, să presupunem că această figură geometrică are doar un unghi ascuțit. Se poate de asemenea presupune că nici unul dintre colțuri nu este ascuțit. În acest caz, trebuie să existe cel puțin două unghiuri, valoarea cărora este egală sau mai mare de 90 de grade. Dar atunci suma unghiurilor va fi mai mare de 180 de grade. Și acest lucru nu poate fi, deoarece, potrivit teoremei, suma unghiurilor unui triunghi este de 180 ° - nu mai mult și nici mai puțin. Asta a fost necesar să dovedim.

Proprietatea de unghiuri externe

Care este suma unghiurilor triunghiului care sunt externe? Răspunsul la această întrebare poate fi obținut prin aplicarea uneia din cele două metode. Primul este că este necesar să se găsească suma unghiurilor, care sunt luate câte unul la fiecare vârf, adică trei colțuri. Al doilea presupune că trebuie să găsiți suma celor șase colțuri de la vârfuri. În primul rând, vom aborda prima opțiune. Astfel, triunghiul conține șase colțuri exterioare - două la fiecare vârf. Fiecare pereche are unghiuri egale, deoarece ele sunt verticale:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

În plus, se știe că colțul exterior al triunghiului este egal cu suma a două dintre cele interne care nu se intersectează cu acesta. Prin urmare,

∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.

Din aceasta rezultă că suma unghiurilor externe, care sunt luate la fiecare vertex, va fi egală cu:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Având în vedere faptul că suma unghiurilor este de 180 de grade, putem afirma că ∟A + ∟B + ∟C = 180 °. Și aceasta înseamnă că ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 × 180 ° = 360 °. Dacă se aplică a doua opțiune, suma celor șase colțuri va fi de două ori mai mare. Adică, suma colțurilor exterioare ale triunghiului va fi:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

Dreptunghiular triunghi

Care este suma unghiurilor unui triunghi drept care sunt ascuțite? Răspunsul la această întrebare, din nou, rezultă din teorema care afirmă că unghiurile din triunghiul din sumă sunt de 180 de grade. Și afirmația noastră (proprietatea) sună astfel: într-un triunghi cu unghi drept, unghiuri ascuțite în sumă dau 90 de grade. Să-i dovedim adevărul. Să dăm un triunghi CMN, pentru care ∟H = 90 °. Este necesar să se demonstreze că ∟K + ∟M = 90 °.

Astfel, conform teoremei cu privire la suma unghiurilor ∟K + ∟M + ∟H = 180 °. În starea noastră, se spune că ∟H = 90 °. Se pare, ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °. Aceasta este, ∟K + ∟M = 180 ° - 90 ° = 90 °. Aceasta ar fi trebuit să dovedim.

În plus față de proprietățile descrise mai sus ale unui triunghi în unghi drept, puteți adăuga următoarele:

• Unghiurile care se află pe picioare sunt clare;
• Hipotensiunea este mai triunghiulară decât oricare dintre picioare;
• suma picioarelor este mai mare decât hypotenuse;
• cathetul triunghiului, care se află vizavi de unghiul de 30 de grade, este de jumătate din dimensiunea hipotenentei, adică egală cu jumătatea lui.

Ca o altă proprietate a acestei figuri geometrice, se poate distinge teorema lui Pitagora. Ea susține că în triunghiul cu un unghi de 90 de grade (dreptunghiular), suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul hipotenentei.

Suma unghiurilor unui triunghi isoscel

Anterior am spus că un isoscele este un poligon cu trei noduri care conține două laturi egale. Este cunoscută o astfel de proprietate a figurii geometrice date: colțurile la baza ei sunt egale. Să dovedim asta.

Luați triunghiul CMN, care este isoscele, CN este baza sa. Trebuie să dovedim că ∟K = ∟H. Deci, să spunem că MA este bisectorul triunghiului nostru CMN. Triunghiul MKA cu primul semn al egalității este egal cu triunghiul MNA. Anume, prin condiție, se dă că CM = NM, MA este o parte comună, ∟1 = ∟2, deoarece MA este un bisector. Folosind egalitatea acestor două triunghiuri, putem afirma că ∟K = ∟H. Prin urmare, teorema este dovedită.

Dar suntem interesați de suma unghiurilor unui triunghi (isoscele). Deoarece în această privință nu are singularități proprii, pornim de la teorema considerată mai devreme. Cu alte cuvinte, putem spune că ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, sau 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (ca ∟K = ∟N). Nu vom demonstra această proprietate, deoarece teorema privind suma unghiurilor unui triunghi a fost dovedită mai devreme.

În plus față de proprietățile considerate cu privire la unghiurile unui triunghi, asemenea declarații importante dețin și:

• în isoscele triunghi înălțime, care a fost omisă pe bază, este atât o mediană, un bisector al unghiului care este între părțile egale, cât și axa de simetrie fundația sa;
• Mediile (bisectricele, înălțimile) care sunt atrase de laturile acestei figuri geometrice sunt egale.

Triunghi echilateral

Este de asemenea numit drept, este triunghiul, în care toate părțile sunt egale. Și deci și unghiurile sunt egale. Fiecare dintre ele este de 60 de grade. Să dovedim această proprietate.

Să presupunem că avem un triunghi de CMN. Știm că KM = HM = KH. Aceasta înseamnă că, în funcție de proprietatea unghiurilor situate la baza într-un triunghi echilateral ∟K = ∟M = ∟N. Deoarece, în conformitate cu suma unghiurilor unui triunghi teoremă ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, apoi x 3 = 180 ° ∟K sau ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Astfel, afirmația este dovedită.Așa cum se poate vedea din probele de mai sus pe baza teoremei, suma unghiurilor unui triunghi echilateral, ca și suma unghiurilor oricărui alt triunghi, este de 180 de grade. Nu este necesar să demonstrăm din nou această teoremă.

Există, de asemenea, proprietăți caracteristice un triunghi echilateral:

• median, bisector, înălțime într-o astfel de figură geometrică coincid, iar lungimea lor este calculată ca (a x radic-3): 2;
• dacă descriem un cerc în jurul unui poligon dat, raza lui va fi egală cu (a x radic-3): 3;
• dacă înscriem un cerc într-un triunghi echilateral, atunci raza lui va fi (a x radic-3): 6;
• aria acestei cifre geometrice se calculează prin formula: (a2 x radic-3): 4.

Triunghiul obtuz

Conform definiției obtuse triunghi, unul dintre unghiurile sale este în intervalul de la 90 la 180 de grade. Dar având în vedere că celelalte două colțuri ale acestei figuri geometrice sunt ascuțite, putem concluziona că ele nu depășesc 90 de grade. În consecință, teorema privind suma unghiurilor unui triunghi funcționează atunci când se calculează suma unghiurilor într-un triunghi obtuz. Se pare că putem afirma în siguranță, bazându-ne pe teorema de mai sus, că suma unghiurilor triunghiului obtuz este de 180 de grade. Din nou, această teoremă nu trebuie repetată.