Triunghi echilateral: proprietăți, semne, zonă, perimetru

În cursul școlii de geometrie, o mare cantitate de timp este dedicată studiului triunghiurilor. Elevii calculează unghiurile, construiesc bisectrize și înălțimi, află ce diferă cifrele unul față de celălalt și cât de ușor este să-ți găsești aria și perimetrul. Se pare că acest lucru nu este util în viață, dar uneori este încă util să știm, de exemplu, cum să determinăm că triunghiul este echilateral sau obtuz. Cum se poate face acest lucru?

Tipuri de triunghiuri

Trei puncte care nu se află pe o linie și segmentele care le conectează. Se pare că această cifră este cea mai simplă. Ce fel de triunghiuri pot exista dacă au doar trei laturi? De fapt, există o serie de opțiuni, iar unii dintre aceștia primesc o atenție deosebită în cursul școlii de geometrie. Triunghiul drept este echilateral, adică toate unghiurile și laturile sale sunt egale. Are o serie de proprietăți demne de remarcat, care vor fi discutate mai departe.

Într-o singură isoscelă, doar două părți sunt egale, și este, de asemenea, destul de interesant. Într-un dreptunghiular și obtuse triunghi, deoarece este ușor de ghicit, respectiv, unul dintre colțuri este drept sau drept. Ele pot fi, de asemenea, isosceles.

Există și o cameră specială tip de triunghi, numit egiptean. Partile sale sunt egale cu 3, 4 si 5 unitati. Mai mult decât atât, este dreptunghiulară. Se crede, că un astfel de triunghi a fost folosit în mod activ de către inspectorii și arhitecții egipteni pentru a construi unghiuri drepte. Există o opinie că, cu ajutorul lui, piramidele celebre au fost ridicate.

Și totuși, toate vârfurile triunghiului se pot afla pe o linie dreaptă. În acest caz, se va numi degenerat, în timp ce toate celelalte sunt nondegenerate. Ele sunt unul dintre subiectele studiului geometriei.

Triunghi echilateral

Desigur, cifrele potrivite sunt întotdeauna cele mai interesante. Ele par mai perfecte, mai elegante. Formulele pentru calcularea caracteristicilor acestora sunt adesea mai simple și mai scurte decât pentru cifrele obișnuite. Acest lucru se aplică și triunghiurilor. Nu este surprinzător faptul că, atunci când studiază geometria, li se acordă o atenție deosebită: elevii sunt învățați să distingă figurile corecte de ceilalți și, de asemenea, să discute despre unele dintre caracteristicile lor interesante.

Semne și proprietăți

Deoarece nu este greu de ghicit din titlu, fiecare parte a unui triunghi echilateral este egală cu celelalte două. În plus, el are o serie de caracteristici, prin care puteți stabili dacă figura corectă sau nu.

• toate unghiurile sale sunt egale, magnitudinea lor fiind de 60 de grade;
• bisectoarele, înălțimile și mediile extrase din fiecare vârf coincid;
• triunghiul regulat are 3 axa de simetrie, nu se schimba atunci cand se roteste cu 120 de grade.
• centrul cercului inscripționat este de asemenea centrul cercului circumscris și punctul de intersecție a medianilor, bisectorilor, înălțimilor și perpendicularilor mediani.

Dacă se observă cel puțin unul dintre semnele de mai sus, atunci triunghiul este echilateral. Pentru figura corectă, toate afirmațiile menționate anterior sunt valide.

Toate triunghiurile au o serie de proprietăți remarcabile. În primul rând, linia de mijloc, adică segmentul care împarte cele două părți în jumătate și paralel cu al treilea, este egal cu jumătate din bază. În al doilea rând, suma tuturor unghiurilor acestei cifre este întotdeauna de 180 de grade. În plus, există o altă relație curioasă în triunghiuri. Deci, față de partea mai mare se află un unghi mai mare și viceversa. Dar acest lucru, desigur, nu are nicio legătură cu un triunghi echilateral, deoarece toate unghiurile sunt egale.

Cercuri inscripționate și circumscrise

Adesea, în cursul geometriei, studenții învață de asemenea cum pot interacționa cifrele între ele. În special, studiem cercuri care sunt înscrise în poligoane sau descrise în apropierea lor. Despre ce vorbim?

Inscripționat este un cerc pentru care toate laturile poligonului sunt tangente. Este descris cel care are puncte de contact cu toate unghiurile. Pentru fiecare triunghi, este întotdeauna posibilă construirea atât a primului, cât și a celui de-al doilea cerc, dar numai a fiecărui tip. Dovada acestor două teoremele sunt date în cursul școlii de geometrie.

Pe lângă calcularea parametrilor triunghiurilor, unele probleme implică și calcularea razei acestor cercuri. Și formulele aplicate
un triunghi echilateral sunt după cum urmează:

r = a / radic-p3;

R = a / 2radic-p3;

unde r - raza cercului inscris, R - raza cercului circumscris, a - lungimea laterală a triunghiului.

Calcularea înălțimii, a perimetrului și a zonei

Parametrii principali, calculați de studenți în timpul studiului geometriei, rămân nemodificați pentru aproape orice figură. Acesta este perimetrul, zona și înălțimea. Pentru simplitatea calculelor, există diferite formule.

Astfel, perimetrul, adică lungimea tuturor laturilor, se calculează în felul următor:

P = 3a = 3radic- 3r = 6radic- 3r, unde - latură a triunghiului echilateral, R - raza cercului, r - inscripționată.

înălţime:

h = (radic- ₃3 / 2) * a, unde a este lungimea laturii.

În cele din urmă, formula zone ale unui triunghi echilateral este derivat din standard, adică produsul jumătății de bază până la înălțimea sa.

S = (radic- 3/4) * a², unde a este lungimea laturii.

De asemenea, această valoare poate fi calculată prin parametrii cercului circumscris sau înscris. Există, de asemenea, formule speciale pentru aceasta:

S = 3radic- ∨3r² = (3radic - 3/4) * R², unde r și R sunt razele cercurilor inscripționate și circumscrise.

clădire

Un alt tip interesant de probleme, inclusiv triunghiurile, este legat de necesitatea de a desena o anumită formă utilizând setul minimal
instrumente: busole și riglă fără diviziuni.

Pentru a construi triunghiul drept cu aceste instrumente, trebuie să efectuați mai mulți pași.

1. Este necesar să se deseneze un cerc cu orice rază și centrat la un punct arbitrar A. Ar trebui notat.
2. Apoi, trebuie să trasezi o linie dreaptă prin acest punct.
3. Intersecțiile unui cerc și ale unei linii drepte trebuie să fie desemnate drept B și C. Toate construcțiile trebuie realizate cu cea mai mare precizie posibilă.
4. Apoi, trebuie să construim un alt cerc cu aceeași rază și centru la punctul C sau un arc cu parametrii corespunzători. Punctele de intersecție vor fi desemnate ca D și F.
5. Punctele B, F, D trebuie să fie alăturate de segmente. Se construiește triunghiul echilateral.

Rezolvarea unor astfel de probleme prezintă, de obicei, o problemă pentru elevii școlii, dar această abilitate poate fi utilă în viața de zi cu zi.