Conceputele poligoane. Definiția unui poligon convex. Diagonale ale unui poligon convex

Aceste figuri geometrice ne înconjoară pretutindeni. Contoarele poligonale sunt naturale, de exemplu faguri de albine sau artificiale (create de oameni). Aceste cifre sunt utilizate în producția de diferite tipuri de acoperiri, în pictura, arhitectură, decorațiuni etc. Conform poligoanelor convexe, toate punctele lor sunt situate pe o parte a liniei care trece printr-o pereche de vârfuri adiacente ale acestei figuri geometrice. Există și alte definiții. Convex este acel poligon care este situat într-o singură jumătate de plan față de orice linie care conține una din laturile sale.

Conceputele poligoane

În cursul geometriei elementare, considerăm întotdeauna doar poligoane simple. Pentru a înțelege toate proprietățile acestora forme geometrice este necesar să înțelegem natura lor. În primul rând, trebuie să se înțeleagă că orice linie al cărei scop coincide este numit închis. Iar cifra formată de ea poate avea o varietate de configurații. Un poligon este o linie poligonală închisă simplă a cărei legături adiacente nu se află pe aceeași linie. Legăturile sale și vârfurile sunt, respectiv, laturile și vârfurile acestei figuri geometrice. O simplă polilinie nu trebuie să aibă intersecții.

Vârfurile unui poligon sunt numite adiacente dacă reprezintă capetele unei laturi. O figură geometrică care are numărul n de noduri și, prin urmare, numărul n de-a lungul laturilor, se numește n-gon. Linia întreruptă se numește limita sau conturul acestei figuri geometrice. Un plan poligonal sau poligon plan este numit partea finită a oricărui plan care este mărginit de acesta. Partea vecină a acestei figuri geometrice sunt segmentele unei linii întrerupte pornind de la un vârf. Ei nu vor fi vecini dacă vin din diferite vârfuri ale poligonului.

Alte definiții ale poligoanelor convexe

În geometria elementară există mai multe definiții echivalente în ceea ce privește valoarea sa, indicând care poligon se numește convex. Și toate aceste formulări sunt la fel de adevărate. Un poligon convex este considerat a fi:

• fiecare segment care conectează oricare două puncte din interiorul acestuia se află complet în el;

• în interiorul său se află toate diagonalele;

• orice unghi interior nu depășește 180 °.

Poligonul împarte întotdeauna avionul în două părți. Una dintre ele este limitată (poate fi închisă într-un cerc), iar cealaltă este nelimitată. Primul este numit regiunea interioară, iar al doilea este numit regiunea exterioară a acestei figuri geometrice. Acest poligon este intersecția (cu alte cuvinte - componenta comună) a mai multor semiplanuri. În acest caz, fiecare segment care se termină la punctele care aparțin poligonului îi aparține în totalitate.

Soiuri de poligoane convexe

Definiția unui poligon convex nu indică faptul că există multe tipuri de astfel de poligon. Și fiecare dintre ele are anumite criterii. Astfel, poligoanele convexe, care au un unghi intern egal cu 180 °, sunt numite slab convexe. Cifra geometrică convexă care are trei vârfuri, se numește un triunghi, patru - patrulater, cinci - pentagon, etc. Fiecare dintre convex n-gon îndeplinește următoarele cerințe importante: .. N trebuie să fie egală sau mai mare decât 3. Fiecare dintre triunghiuri este convex. Figura geometrică a acestui tip, în care toate nodurile sunt situate pe un cerc, numit cercul înscris. Un poligon convex este numit descris dacă toate părțile sale din apropierea cercului îl ating. Două poligoane sunt numite egale numai dacă pot fi combinate cu ajutorul unei suprapuneri. Un plan poligonal este numit un poligon plan (parte a planului), care este limitat de această figură geometrică.

Poligoane convexe regulate

Poligoanele corecte sunt figuri geometrice cu unghiuri și laturi egale. În interiorul lor există un punct 0, care se află la aceeași distanță de fiecare dintre vârfurile sale. Se numește centrul acestei figuri geometrice. Segmentele care leagă centrul cu vârfurile acestei figuri geometrice sunt numite apofeme, iar cele care leagă punctul 0 de laturi sunt raze.

Cvadrilateralul drept este un pătrat. Triunghiul drept se numește echilateral. Pentru astfel de figuri, există următoarea regulă: fiecare unghi al unui poligon convex este de 180 ° * (n-2) / n,

unde n este numărul de vârfuri ale acestei figuri geometrice convexe.

Zona oricărui poligon regulat este definită de formula:

S = p * h,

unde p este egal cu jumătate din suma tuturor laturilor unui poligon dat și h este egal cu lungimea apophema.

Proprietățile poligoanelor convexe

Contoarele poligoane au anumite proprietăți. Astfel, segmentul care conectează oricare două puncte ale unei astfel de figuri geometrice este în mod necesar situat în ea. dovada:

Să presupunem că P este un poligon convex dat. Ia două puncte arbitrare, de exemplu, A și B, care aparțin P. Prin definiția actuală a unui poligon convex, aceste puncte sunt situate pe o parte a liniei drepte, care conține orice direcție R. În consecință, AB are de asemenea această proprietate și este conținută în R. Un poligon convex întotdeauna Este posibil să se împartă în mai multe triunghiuri cu absolut toate diagonalele care sunt extrase din unul dintre vârfurile sale.

Unghiurile de figuri geometrice convexe

Unghiurile unui poligon convex sunt unghiurile formate de laturile sale. Colțurile interioare se află în aria interioară a acestei figuri geometrice. Unghiul format de laturile sale, care se converg la un vârf, se numește unghiul poligonului convex. Unghiurile adiacente cu unghiurile interne ale unei figuri geometrice date, sunt numite externe. Fiecare unghi al unui poligon convex situat în interiorul acestuia este egal cu:

180 ° - x,

unde x este valoarea unghiului extern. Această formulă simplă se aplică oricăror figuri geometrice de acest tip.

În general, pentru unghiuri externe, există următoarea regulă: fiecare unghi al unui poligon convex este egal cu diferența dintre 180 ° și valoarea unghiului intern. Poate avea valori cuprinse între -180 ° și 180 °. Prin urmare, atunci când unghiul interior este de 120 °, unghiul exterior va fi de 60 °.

Suma unghiurilor de poligoane convexe

Suma unghiurilor interioare ale unui poligon convex este stabilită de formula:

180 ° * (n-2),

unde n este numărul de noduri ale n-gonului.

Suma unghiurilor unui poligon convex este calculată destul de simplu. Luați în considerare o astfel de figură geometrică. Pentru a determina suma unghiurilor din interiorul unui poligon convex, unul dintre vârfurile sale trebuie conectat la alte noduri. Ca rezultat al acestei acțiuni, obținem triunghiuri (n-2). Se știe că suma unghiurilor oricărui triunghi este întotdeauna de 180 °. Deoarece numărul lor în orice poligon este egal cu (n-2), suma unghiurilor interne ale unei astfel de cifre este de 180 ° x (n-2).

Suma unghiurilor unui poligon convex, și anume orice două unghiuri interne și adiacente, pentru o anumită figură geometrică convexă va fi întotdeauna de 180 °. În urma acestui fapt, este posibil să se determine suma tuturor unghiurilor sale:

180 x n.

Suma unghiurilor interne este de 180 ° * (n-2). În urma acestui fapt, suma tuturor unghiurilor externe ale cifrei date este stabilită de formula:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Suma unghiurilor exterioare ale oricărui poligon convex va fi întotdeauna 360 ° (indiferent de numărul laturilor sale).

Unghiul exterior al poligonului convex este în general reprezentat de o diferență între 180 ° și valoarea unghiului intern.

Alte proprietăți ale unui poligon convex

Pe lângă proprietățile de bază ale acestor figuri geometrice, ele au și altele care apar atunci când le manipulează. Astfel, oricare dintre poligoane poate fi împărțit în mai multe n-goni convexe. Pentru aceasta, este necesar să se continue fiecare dintre laturile sale și să se taie această figură geometrică de-a lungul acestor linii drepte. Împărțiți orice poligon în mai multe părți convexe și astfel încât vârfurile fiecărei piese să coincidă cu toate vârfurile. Din această figură geometrică este foarte simplu să faceți triunghiuri ținând toate diagonalele dintr-un vertex. Astfel, orice poligon, în analiza finală, poate fi împărțit într-un anumit număr de triunghiuri, care este foarte util în rezolvarea diferitelor probleme asociate cu astfel de figuri geometrice.

Perimetrul unui poligon convex

Segmentele unei linii întrerupte, numite laturile unui poligon, sunt cel mai adesea indicate de următoarele litere: ab, bc, cd, de, ea. Acestea sunt laturile figurii geometrice cu vârfurile a, b, c, d, e. Suma lungimilor tuturor laturilor acestui poligon convex este numită perimetrul său.

Cercul unui poligon

Conceputele poligoane pot fi inscripționate și descrise. Un cerc care atinge toate laturile acestei figuri geometrice se numește înscris în el. Un astfel de poligon se numește descris. Centrul cercului care este înscris în poligon este punctul de intersecție al bisectoarelor tuturor unghiurilor dintr-o figură geometrică dată. Aria unui astfel de poligon este egală cu:

S = p * r,

unde r este raza cercului înscris și p este semiperimetrul poligonului dat.

Un cerc care conține vârfurile unui poligon se numește descris în apropierea acestuia. În acest caz, această figură geometrică convexă se numește înscrisă. Centrul cercului, care este descris în apropierea unui astfel de poligon, reprezintă punctul de intersecție al așa-numitelor perpendiculare medii ale tuturor laturilor.

Diagonale de figuri geometrice convexe

Diagonalele unui poligon convex sunt segmente care nu conectează nodurile vecine. Fiecare dintre ele se află în interiorul acestei figuri geometrice. Numărul de diagonale ale unui astfel de n-gon este stabilit de formula:

N = n (n-3) / 2.

Numărul de diagonale ale unui poligon convex joacă un rol important în geometria elementară. Numărul de triunghiuri (K), în care se poate împărți fiecare poligon convex, se calculează după următoarea formulă:

K = n - 2.

Numărul de diagonale ale unui poligon convex depinde întotdeauna de numărul de vârfuri.

Împărțirea unui poligon convex

În unele cazuri, pentru a rezolva problemele geometrice este necesar să se rupă un poligon convex în mai multe triunghiuri cu diagonale disjuncte. Această problemă poate fi rezolvată derivând o formulă definită.

Definirea problemei: suna un fel dreptul de partiție al unui convex n-gon în mai multe triunghiuri prin diagonalele care se intersectează doar la nodurile unei figuri geometrice.

Soluție: Să presupunem că P1, P2, P3 hellip-, Pn sunt nodurile acestui n-gon. Numărul Xn reprezintă numărul partițiilor sale. Considerăm cu atenție diagonala rezultată a figurii geometrice Pi Pn. În oricare din partițiile obișnuite P1 Pn aparține unui anumit triunghi P1 Pi Pn, pentru care 1

Fie i = 2 un grup de partiții obișnuite, conținând întotdeauna diagonala P2 Pn. Numărul de partiții care intră în el coincide cu numărul de partiții ale P2-P3 P4hellip-Pn (n-1) -gon. Cu alte cuvinte, este egal cu Xn-1.

Dacă i = 3, atunci acest alt grup de partiții va conține întotdeauna diagonalele P3 P1 și P3 Pn. Numărul de partiții corecte care sunt conținute în grup, va coincide cu numărul de partiții (n-2) -gon R4hellip- P3 Pn. Cu alte cuvinte, va fi egal cu Xn-2.

Să i = 4, atunci partiția corectă între triunghiuri va conține în mod necesar triunghi P4 P1 Pn, care va învecina patrulater P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon R5hellip- P4 Pn. Numărul de partiții corecte astfel de patrulater este egal cu X4, iar numărul de partiții (n-3) -gon este egal Xn-3. Pe baza tuturor celor de mai sus, putem spune că numărul total de partiții obișnuite care sunt cuprinse în acest grup este Xn-3 X4. Alte grupuri, în care i = 4, 5, 6, 7hellip- contin Xn-4 X5, Xn-5 X6, X7 Xn-6 partiții hellip-obișnuite.

Fie i = n-2, atunci numărul partițiilor obișnuite dintr-un anumit grup va coincide cu numărul de partiții dintr-un grup pentru care i = 2 (cu alte cuvinte, este egal cu Xn-1).

Deoarece X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2hellip-, numărul tuturor partițiilor unui poligon convex este egal cu:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + hellip + X5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

exemplu:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Numărul de partiții obișnuite care intersectează o diagonală

La verificarea cazurilor individuale, se poate presupune că numărul diagonalelor convex n-gon este egală cu produsul tuturor partițiilor acestui model grafic (n-3).

Dovada acestei ipoteze: să presupunem că P1n = Xn * (n-3), atunci orice n-gon poate fi descompus în triunghiuri (n-2). În același timp, una dintre ele poate fi combinată (n-3) - quadrangle. Împreună cu aceasta, fiecare patrulater va avea o diagonală. Deoarece această figură geometrică convex două diagonale poate fi realizată, ceea ce înseamnă că, în orice (n-3) -chetyrehugolnikah poate efectua suplimentar diagonal (n-3). Datorită acestui fapt, se poate concluziona că în orice partiție obișnuită este posibil să se efectueze (n-3) -diagonele corespunzătoare condițiilor acestei probleme.

Zona de poligoane convexe

Adesea, atunci când rezolvăm diverse probleme de geometrie elementară, devine necesar să determinăm aria unui poligon convex. Să presupunem că (Xi. Yi), i = 1,2,3hellip- n reprezintă o secvență de coordonate ale tuturor nodurilor vecine ale poligonului, care nu dispun de auto-intersecții. În acest caz, suprafața sa este calculată după următoarea formulă:

S = frac12- (suma- (X_eu + X_{i + 1}) (Y._eu + Y_{i + 1})),

unde (X₁, Y₁) = (X_{n +1}, Y_{n + 1}).