Bisectorul triunghiului și proprietățile sale

Printre numeroasele discipline ale școlii secundare se numără "geometria". În mod tradițional, se crede că strămoșii acestei științe sistematice sunt grecii. Până în prezent, geometria greacă este numită elementară, deoarece ea a început să studieze cele mai simple forme: planuri, linii drepte, poligoane regulate și triunghiuri. Pe acesta din urmă, ne vom opri atenția, sau mai degrabă pe bisectorul acestei figuri. Pentru cei care au uitat, bisectoarea unui triunghi este un segment de bisectoare al unuia dintre unghiurile unui triunghi, pe care o împarte în jumătate și se alătură în partea de sus la un punct situat pe partea opusă.

Bisectorul unui triunghi are o serie de proprietăți pe care trebuie să le cunoașteți atunci când rezolvați anumite probleme:

• Bisectorul unghiular este un loc geometric de puncte îndepărtate la distanțe egale față de laturile adiacente colțului.
• Bisectorul din triunghiul împarte partea opusă de unghiul în segmente care sunt proporționale cu laturile adiacente. De exemplu, se dă un triunghi MKB, unde din unghiul K vine o bisectrică care conectează vârful acestui unghi cu punctul A de pe partea opusă MB. Analizând această proprietate și triunghiul nostru, avem MA / AB = MK / KB.
• Punctul în care se intersectează bisectoarele celor trei unghiuri ale unui triunghi este centrul unui cerc înscris în același triunghi.
• Baza bisectoarelor unui colț exterior și a două colțuri interioare se află pe aceeași linie dreaptă, cu condiția ca bisectorul colțului exterior să nu fie paralel cu partea opusă a triunghiului.
• Dacă sunt doi bisectori ai unuia triunghiurile sunt egale, atunci acest lucru triunghi isosceles.

Trebuie remarcat faptul că, dacă se dau trei bisectoare, construcția unui triunghi peste ele, chiar și cu ajutorul unei busole, este imposibilă.

Foarte des, în rezolvarea problemelor, bisectorul unui triunghi este necunoscut, dar este necesar să se determine lungimea acestuia. Pentru a rezolva o astfel de problemă este necesar să cunoaștem unghiul pe care bisectorul îl împarte în jumătate și laturile adiacente acestui unghi. În acest caz, lungimea dorită este definită ca raportul dintre produsul dublu al laturilor și cosinusul unghiului împărțit la jumătate la suma laturilor adiacente unghiului. De exemplu, este dat același triunghi MKB. Bisectorul se extinde din unghiul K și traversează partea opusă a MB-ului în punctul A. Noi denotăm unghiul de la care bisectrix-ul părăsește, y. Acum, să notăm tot ce se spune în cuvinte sub forma unei formule: KA = (2 * MK * KB * cos y / 2) / (MK + KB).

În cazul în care gradul de unghiul din care este bisectoarea triunghi, necunoscut, dar cunoscut de toate laturile sale, în scopul de a calcula lungimea bisectoare, vom folosi o variabilă suplimentară, pe care o numim semiperimetrul și notate cu litera P: P = 1/2 * (MK + KB + MB). Apoi face unele schimbări în formula de mai sus, care este determinată de lungimea bisectoarei, și anume, în numărătorul set de două ori rădăcină pătrată din produsul lungimilor laturilor adiacente colțului, de jumătate-perimetru și privat, unde lungimea celei de-a treia părți este scăzută de jumătate din perimetru. Lăsăm numitorul neschimbat. Sub forma unei formule, aceasta va arăta astfel: KA = 2 * radic- (MK * KB * P * (P-MB)) / (MK + KB).

Bisector în dreptunghi are toate aceleași proprietăți ca în cele obișnuite. Dar, pe lângă cele deja cunoscute, există și o nouă: bisectoarele unghiurilor acute ale unui triunghi dreptunghiular formează un unghi de 45 de grade la intersecția. Dacă este necesar, este ușor să se demonstreze utilizarea proprietăților unui triunghi și unghiuri adiacente.

Bisectorul unui triunghi isoscel, împreună cu proprietățile generale, are mai multe propriile sale. Să ne amintim ce fel de triunghi este. Într-un astfel de triunghi, cele două laturi sunt egale, iar unghiurile adiacente bazei sunt egale. De aici rezultă că bisectorii care coboară în laturile laterale ale unui triunghi isoscel sunt egali unul cu celălalt. În plus, bisectorul, coborât la bază, este atât o înălțime, cât și o valoare mediană.