Un poligon obișnuit. Numărul laturilor unui poligon obișnuit

Triunghi, pătrat, hexagon - aceste figuri sunt cunoscute de aproape toată lumea. Dar nu toată lumea știe despre ceea ce este un poligon regulat. Dar tot este la fel forme geometrice. Un poligon regulat este unul care are unghiuri și laturi egale. Există o mulțime de astfel de cifre, dar toate au aceleași proprietăți, și aceleași formule se aplică acestora.

Proprietățile poligoanelor regulate

Orice poligon regulat, fie un pătrat sau un octogon, poate fi înscris într-un cerc. Această proprietate de bază este adesea folosită atunci când se construiește o formă. În plus, cercul poate fi, de asemenea, înscris într-un poligon. În acest caz, numărul punctelor de contact va fi egal cu numărul laturilor sale. Este important ca un cerc înscris într-un poligon obișnuit să aibă un centru comun cu el. Aceste figuri geometrice sunt supuse unei teoreme. Orice parte corectă este conectată cu raza cercului în jurul lui R. De aceea-gon n, poate fi calculată folosind următoarea formulă: a = 2R ∙ ° sin180. Prin raza unui cerc puteți găsi nu numai laturile, ci și perimetrul poligonului.

Cum de a găsi numărul laturilor unui poligon obișnuit

orice regulat n-gon constă dintr-un anumit număr de segmente egale, care, atunci când sunt combinate, formează o linie închisă. În acest caz, toate unghiurile figurii formate au aceeași valoare. Poligoanele sunt împărțite în simple și complexe. Primul grup include un triunghi și un pătrat. Poligoanele complexe au mai multe laturi. Acestea includ, de asemenea, figuri stelate. Pentru poligoane complexe regulate, laturile se găsesc prin înscrierea lor într-un cerc. Noi dăm o dovadă. Desenați un poligon obișnuit cu un număr arbitrar de laturi de n. Descrieți un cerc în jurul acestuia. Specificați raza R. Acum, imaginați-vă că un n-gon este dat. Dacă punctele unghiurilor sale se află pe un cerc și sunt egale una cu alta, atunci laturile pot fi găsite prin formula: a = 2R ∙ sinalpha-: 2.

Găsirea numărului de laturi ale triunghiului drept inscripționat

Un triunghi echilateral este un poligon obișnuit. Formulele pentru aceasta se aplică la fel ca la pătrat, și n-gon. Triunghiul va fi considerat corect dacă are aceeași lungime de-a lungul laturii. Unghiurile sunt egale cu 60 Pr. Construim un triunghi cu o anumită lungime de laturi a. Cunoscând mediana și înălțimea sa, se poate găsi semnificația laturilor sale. Pentru a face acest lucru vom folosi metoda de gasire prin formula a = x: cosalpha-, unde x este mediana sau inaltimea. Deoarece toate laturile triunghiului sunt egale, obținem a = b = c. Apoi următoarea afirmație este adevărată: a = b = c = x: cosalpha-. În mod similar, se poate găsi valoarea laturilor într-un triunghi isoscel, dar x este înălțimea dată. În acest caz, ar trebui proiectat strict pe baza cifrei. Deci, cunoscând înălțimea x, găsim partea a unui triunghi isoscel cu formula a = b = x: cosalpha-. După găsirea valorii a, putem calcula lungimea bazei c. Aplicăm teorema lui Pythagoras. Vom căuta valoarea jumătății bazei c: 2 = radic- (x: cosalpha -) ^ 2 - (x ^ 2) = radic-x ^ 2 (1-cos ^ 2alpha-): cos ^ 2alpha- = x · tgalpha-. Apoi c = 2xtgalpha-. În acest mod simplu se poate găsi numărul laturilor oricărui poligon inscripționat.

Calcularea laturilor unui pătrat inscripționat într-un cerc

Ca orice alt poligon regulat înscris, pătratul are laturi și unghiuri egale. Aceleași formule se aplică și în ceea ce privește triunghiul. Calculați laturile pătratului prin valoarea diagonală. Să luăm în considerare această metodă mai detaliat. Se știe că diagonala împarte unghiul în jumătate. Inițial, valoarea sa era de 90 de grade. Astfel, după divizare, două dreptunghi. Colțurile lor de la bază vor fi egale cu 45 de grade. Prin urmare, fiecare parte a pătrat este egală, adică: a = b = c = d = e ∙ cosalpha- = eradic-2 2, unde e - este diagonala unui pătrat sau o bază formată după divizarea unui triunghi dreptunghiular. Aceasta nu este singura modalitate de a găsi laturile unui pătrat. Vom scrie această cifră într-un cerc. Cunoscând raza cercului R, vom găsi direcția unui pătrat. Vom calcula după cum urmează: a4 = Rradic-2. Razele de poligoane regulate se calculează cu formula R = a: 2tg (360^O: 2n), unde a este lungimea laturii.

Cum se calculează perimetrul unui n-gon

Perimetrul n-gon este suma tuturor laturilor sale. Nu este greu să-l calculezi. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți semnificația tuturor părților. Pentru unele tipuri de poligoane, există formule speciale. Ele vă permit să găsiți perimetrul mult mai rapid. Se știe că orice poligon regulat are laturi egale. Prin urmare, pentru a calcula perimetrul său, este suficient să știe cel puțin una dintre ele. Formula va depinde de numărul de laturi ale figurii. În general, se pare ca acest lucru: R = o, în cazul în care o - valoare laterală, și n - numărul de unghiuri. De exemplu, pentru a găsi perimetrul unui octogon regulat cu latura de 3 cm, trebuie să-l înmulțească cu 8, adică P = 3 ∙ 8 = 24 cm Pentru un hexagon cu latura de 5 cm, se calculează după cum urmează :. P = 5 ∙ 6 = 30 cm, și așa pentru. din fiecare poligon.

Găsirea perimetrului unui paralelogram, a unui pătrat și a unui diamant

În funcție de câte laturi are un poligon obișnuit, calculați perimetrul. Acest lucru face mult mai ușor sarcina. La urma urmei, spre deosebire de alte figuri, în acest caz nu trebuie să-ți căutați toate laturile, doar unul. Prin același principiu, găsim perimetrul de patrulape, adică un pătrat și un romb. În ciuda faptului că acestea sunt figuri diferite, formula pentru ei este P = 4a, unde a este partea. Să dăm un exemplu. Dacă partea rombului sau pătratului este de 6 cm, vom găsi perimetrul în felul următor: P = 4 ∙ 6 = 24 cm. În paralelogramă, doar părțile opuse sunt egale. Prin urmare, perimetrul său se găsește utilizând o metodă diferită. Deci, trebuie să știm lungimea a și lățimea formei. Apoi se aplică formula P = (a + b) ∙ 2. O paralelogramă, în care toate laturile și unghiurile sunt egale, se numește romb.

Găsirea perimetrului unui triunghi echilateral și a unui triunghi drept

Perimetrul corect un triunghi echilateral poate fi găsit din formula P = 3a, unde a este lungimea laturii. Dacă este necunoscut, poate fi găsit prin mediană. Într-un triunghi drept, doar două părți au o valoare egală. Baza poate fi găsită prin teorema lui Pitagora. După ce valorile celor trei laturi devin cunoscute, calculați perimetrul. Acesta poate fi găsit prin aplicarea formulei P = a + b + c, unde a și b sunt laturi egale și c este baza. Reamintim că într-un triunghi isoscel, a = b = a, atunci a + b = 2a, apoi P = 2a + c. De exemplu, partea unui triunghi isoscel este de 4 cm, găsim baza și perimetrul. Calculăm valoarea hypotenusei de către teorema pitagoreană c = Radic-o² + în² = radic-16 + 16 = radic-32 = 5.65 cm Acum, să calculăm perimetrul P = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 cm.

Cum să găsiți colțurile unui poligon obișnuit

Un poligon regulat apare în viața noastră în fiecare zi, de exemplu, un pătrat obișnuit, un triunghi, un octogon. S-ar părea că nimic nu este mai ușor decât construirea personală a acestei cifre. Dar este doar la prima vedere. Pentru a construi orice n-gon, este necesar să cunoaștem valoarea unghiurilor sale. Dar cum să le găsim? Chiar și oamenii de știință antice au încercat să construiască poligoane regulate. Ei au ghicit să le potrivească într-un cerc. Apoi, notează punctele necesare, le leagă de linii drepte. Pentru figuri simple, problema de construcție a fost rezolvată. S-au obținut formule și teoreme. De exemplu, Euclid, în faimoasa sa lucrare "The Beginning", a fost implicat în rezolvarea problemelor pentru 3-, 4-, 5-, 6- și 15-gonani. El a găsit căi de a construi și de a găsi unghiuri. Gândiți-vă cum să faceți acest lucru pentru un 15-gon. Mai întâi trebuie să calculați suma unghiurilor sale interne. Este necesar să se utilizeze formula S = 180⁰ (n-2). Deci, ni se dă un 15-gon, deci, numărul n este 15. Înlocuind datele cunoscute și de a obține formula S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Am găsit suma tuturor unghiurilor interioare ale celor 15 goni. Acum trebuie să obțineți valoarea fiecăruia dintre ele. Unghiuri totale 15. Faceți calculul de 2340⁰: 15 = 156⁰. Prin urmare, fiecare unghi intern este egal cu 156⁰, acum cu o riglă și o busolă este posibil să se construiască un 15-gon regulat. Dar cum rămâne cu n-gonii mai complexi? De mulți ani, oamenii de știință s-au străduit să rezolve această problemă. A fost găsit numai în secolul al XVIII-lea de către Carl Friedrich Gauss. A reușit să construiască 65537 gon. De atunci, problema este oficial considerată pe deplin rezolvată.

Calcularea unghiurilor de n-goni în radiani

Desigur, există mai multe modalități de a găsi unghiurile de poligoane. Cele mai multe ori se calculează în grade. Dar le puteți exprima în radiani. Cum se face acest lucru? Este necesar să procedați după cum urmează. În primul rând, vom afla numărul de laturi ale unui poligon regulat, și apoi scade din acestea 2. Prin urmare, vom obține valoarea: n - 2. Inmultiti diferenței constatate de numărul n ( „pi“ = 3.14). Acum rămâne doar să se împartă produsul obținut cu numărul de unghiuri din n-gon. Luați în considerare aceste calcule utilizând același exemplu de colț cincisprezece. Astfel, numărul n este egal cu 15. Aplicăm formula S = n (n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2.72. Aceasta, desigur, nu este singura modalitate de a calcula unghiul în radiani. Puteți împărți pur și simplu dimensiunea unghiului în grade cu numărul 57.3. La urma urmei, atâtea grade sunt echivalente cu un radian.

Calcularea unghiurilor în grade

În plus față de grade și radiani, puteți încerca să găsiți unghiurile unui poligon regulat în grindină. Acest lucru se face după cum urmează. Din numărul total de unghiuri, scade 2, împărțiți diferența rezultată cu numărul laturilor poligonului obișnuit. Rezultatul este înmulțit cu 200. Apropo, o astfel de unitate de măsură a unghiurilor, ca grindina, practic nu este utilizată.

Calcularea unghiurilor externe ale n-gonilor

Pentru orice poligon obișnuit, cu excepția poligonului interior, se poate calcula și unghiul exterior. Valoarea sa se regăsește la fel ca în cazul celorlalte figuri. Deci, pentru a găsi colțul exterior al unui poligon regulat, trebuie să cunoașteți semnificația poligonului interior. Mai mult, știm că suma acestor două unghiuri este întotdeauna de 180 de grade. Prin urmare, efectuăm calculele după cum urmează: 180⁰ minus valoarea unghiului intern. Noi găsim diferența. Aceasta va fi egală cu valoarea unghiului adiacent ei. De exemplu, colțul interior al pătratului este de 90 de grade, atunci colțul exterior va fi de 180⁰-90⁰ = 90⁰. După cum vedem, nu este greu să o găsim. Unghiul exterior poate lua o valoare de la + 180⁰ la, respectiv, -180⁰.