Primul semn al egalității de triunghiuri. Al doilea și al treilea semnal al egalității de triunghiuri

Dintre numărul mare de poligoane, care sunt, în esență, o linie întreruptă care nu se intersectează, triunghiul este cifra cu cel mai mic număr de unghiuri. Cu alte cuvinte, acesta este cel mai simplu poligon. Dar, în ciuda simplității sale, această figură conține multe mistere și descoperiri interesante, care sunt acoperite de o secțiune specială de matematică - geometrie. Această disciplină în școli începe să predea din clasa a șaptea și se acordă o atenție specială subiectului "Triunghi". Copiii nu numai că învață regulile despre figura însăși, ci și le compară, studiind 1, 2 și 3 semne de egalitate de triunghiuri.

Prima cunoaștere

Una dintre primele reguli cu care studenții sunt familiarizați, sună astfel: suma mărimilor tuturor unghiurilor triunghiului este de 180 de grade. Pentru a confirma acest lucru, este suficient, cu ajutorul protractorului, să se măsoare fiecare dintre vârfuri și să se adauge toate valorile rezultate. De aici, pentru două cantități cunoscute, este ușor să determinați a treia. De exemplu: În triunghi, unul dintre unghiuri este de 70 °, iar celălalt - 85 °, care este valoarea celui de-al treilea unghi?

180 - 85 - 70 = 25.

Răspuns: 25 °.

Problemele pot fi mai complicate dacă se specifică doar o singură valoare a unghiului, iar a doua valoare spune doar de câte ori sau de câte ori este mai mare sau mai mică.

În triunghi, pentru a determina oricare dintre trăsăturile sale, pot fi desenate linii speciale, fiecare având propriul nume:

• înălțime - o linie perpendiculară trasată de sus în partea opusă;
• toate cele trei înălțimi, efectuate în același timp, în centrul figurii se intersectează, formând orthocenter, care, în funcție de tipul triunghiului poate fi atât în ​​interiorul cât și în afara;
• median - linia care leagă vârful cu mijlocul părții opuse;
• Intersecția medianilor este punctul de greutate, este în interiorul figurii;
• bisectoare - rulează linia de sus până la punctul de intersecție cu partea opusă, punctul de intersecție al celor trei Bisectoarele este centrul cercului inscris.

Simple adevăruri despre triunghiuri

Triunghiurile, ca și toate figurile, au propriile caracteristici și proprietăți. Așa cum am menționat deja, această cifră este cel mai simplu poligon, dar cu propriile caracteristici caracteristice:

• pe cea mai lungă parte există întotdeauna un unghi cu o valoare mai mare și invers;
• Unghiuri egale se află pe părți egale, un triunghi isoscel este un exemplu;
• suma unghiurilor interne este întotdeauna de 180 °, care a fost deja demonstrată de exemplu;
• când o latură a triunghiului se extinde dincolo de limitele sale, se formează un unghi exterior, care va fi întotdeauna egal cu suma unghiurilor care nu sunt adiacente acestuia;
• oricare dintre părți este întotdeauna mai mică decât suma celorlalte două părți, dar mai mult decât diferența dintre acestea.

Tipuri de triunghiuri

Următoarea etapă a cunoașterii este de a determina grupul de care aparține triunghiul reprezentat. Aparținerea unuia sau a altui tip depinde de unghiurile triunghiului.

• Egal - cu două laturi egale, care se numește lateral, al treilea în acest caz acționează ca baza figurii. Unghiurile de la baza unui astfel de triunghi sunt aceleași, iar medianul extras din partea de sus este bisectrica și înălțimea.
• Un triunghi obișnuit sau echilateral este unul cu toate laturile sale egale.
• Rectangular: unul dintre unghiurile sale este de 90 °. În acest caz, partea opusă acestui colț este numită hypotenuse, iar celelalte două de picioare.
• Triunghiul gros - toate unghiurile sunt mai mici de 90 °.
• Obtus-unghi - unul dintre unghiuri este mai mare de 90 °.

Egalitatea și similitudinea triunghiurilor

În procesul de învățare, nu luați în considerare doar o singură figură, dar comparați și două triunghiuri. Și acest subiect aparent simplu are multe reguli și teoreme pe care se poate dovedi că cifrele luate în considerare sunt triunghiuri egale. Semnele de egalitate a triunghiurilor au următoarea definiție: triunghiurile sunt egale dacă părțile și unghiurile lor sunt aceleași. Cu această egalitate, dacă suprapuneți aceste două figuri unele pe altele, toate liniile lor se vor converge. De asemenea, cifrele pot fi similare, în special, acest lucru se aplică cifrelor aproape identice, care diferă doar în mărime. Pentru a face o astfel de concluzie cu privire la triunghiurile reprezentate, trebuie respectată una dintre următoarele condiții:

• două colțuri ale unei singure figuri sunt egale cu două unghiuri ale celeilalte;
• cele două laturi ale unuia sunt proporționale cu cele două laturi ale celui de-al doilea triunghi, iar unghiurile formate de laturi sunt egale;
• cele trei laturi ale celei de-a doua figuri sunt aceleași ca și prima.

Desigur, pentru egalitatea de necontestat, care nu cauzează cea mai mică îndoială, trebuie să aibă aceleași valori ale tuturor elementelor din ambele figuri, dar cu problema teoriei este mult simplificată, și doar câteva condiții permis să trebuie să dovedească faptul că triunghiuri.

Primul semn al egalității de triunghiuri

pe tema problemelor sunt rezolvate pe baza dovezii teoremei, care are următorul conținut: „În cazul în care cele două părți ale triunghiului și unghiul pe care îl formează, sunt egale cu cele două laturi și unghiul de celălalt triunghi, atunci cifrele sunt, de asemenea, egale între ele“

Cum sună dovada teoremei despre primul semn al egalității de triunghiuri? Toată lumea știe că două segmente sunt egale dacă sunt de aceeași lungime, sau cercurile sunt egale dacă au aceeași rază. Și în cazul triunghiurilor, există mai multe trăsături care, se poate presupune că cifrele sunt identice, ceea ce este foarte convenabil pentru rezolvarea diferitelor probleme geometrice.

Cum este descris mai sus teorema "Primul semn al egalității triunghiurilor", ci dovada ei:

• Să presupunem triunghiurile ABC și A₁În₁C₁ au aceleași laturi AB și A₁În₁ și, în consecință, BC și B₁C₁, iar unghiurile formate de aceste laturi au aceeași valoare, adică ele sunt egale. Apoi, aplicând △ ABC la △ A₁În₁C₁ obținem coincidența tuturor liniilor și nodurilor. Rezultă că aceste triunghiuri sunt absolut identice și, prin urmare, sunt egale între ele.

Teorema "Primul semn al egalității triunghiurilor" este, de asemenea, numită "Pe două laturi și colț". De fapt, aceasta este esența ei.

Teorema privind a doua caracteristică

Al doilea semn de egalitate este dovedit în mod similar, dovada se bazează pe faptul că impunerea pieselor de pe fiecare parte, ele sunt identice în toate vârfurile și părțile laterale. O teoremă sună astfel: „Dacă o parte și două unghiuri în formarea care participă, partidul și cele două colțuri ale doilea triunghi, atunci aceste cifre sunt identice, adică egale.“

Al treilea semn și dovezi

Dacă atât 2, cât și 1 ai egalității triunghiurilor au atins atât laturile, cât și colțurile figurii, atunci a treia se referă numai la laturi. Astfel, teorema are următoarea formulă: "Dacă toate laturile unui triunghi sunt egale cu cele trei laturi ale celui de-al doilea triunghi, atunci cifrele sunt identice".

Pentru a dovedi această teoremă, trebuie să intrăm în mai multe detalii în chiar definiția egalității. În esență, ce înseamnă expresia "triunghiuri egale"? Identitatea sugerează că dacă suprapuneți o figură pe alta, toate elementele sale vor coincide, aceasta poate fi numai dacă părțile și unghiurile lor sunt egale. În același timp, unghiul opus uneia dintre laturi, care este același cu cel al celuilalt triunghi, va fi egal cu vârful corespunzător al celei de a doua figuri. Trebuie remarcat faptul că în acest loc dovezile pot fi ușor traduse în semnul egalității de triunghiuri. Dacă nu se observă o astfel de secvență, egalitatea triunghiurilor este pur și simplu imposibilă, cu excepția cazului în care cifra este o imagine oglindă a primului.

Dreptunghiulare triunghiuri

În structura unor astfel de triunghiuri, există întotdeauna vârfuri cu un unghi de 90 °. Prin urmare, următoarele afirmații sunt adevărate:

• triunghiurile cu un unghi drept sunt egale dacă picioarele unuia sunt identice cu picioarele celui de-al doilea;
• cifrele sunt egale dacă ipoteza lor și unul dintre picioare sunt egale;
• astfel de triunghiuri sunt egale dacă picioarele lor și unghiul ascuțit sunt identice.

Acest atribut se referă la drepte triunghiuri. Pentru a dovedi teorema, aplicați aplicația figurilor unul altuia, rezultând astfel că triunghiurile sunt pliate de picioare astfel încât două linii drepte unghi prelungit cu părțile CA și CA₁.

Aplicare practică

În majoritatea cazurilor, primul semn al egalității de triunghiuri este aplicat în practică. De fapt, această clasă aparent simplu pentru geometria și planul de geometrie tema utilizată și 7 pentru a calcula lungimea, de exemplu, cablul telefonic, fără o zonă de măsurare, în care va avea loc. Folosind această teoremă este ușor de a face calculele necesare pentru a determina lungimea insulei, situată în mijlocul râului, fără să înot peste ea. Sau consolida gardul prin plasarea barei în golful, astfel încât acesta este împărțit în două triunghiuri egale, sau se calculează elementele complexe ale activității în tâmplărie sau în calculul sistemului sarpantei în timpul construcției.

Primul semn al egalității de triunghiuri are o aplicare largă în viața reală "adultă". Deși în anii școlari acest subiect este pentru mulți un aspect plictisitor și complet inutil.