Cum se calculează aria piramidei: baza, partea și plinul?

Atunci când se pregătesc pentru USE în matematică, elevii trebuie să sistematizeze cunoștințele de algebră și geometrie. Vreau să combin toate informațiile cunoscute, de exemplu, cum să calculez zona piramidei. Și pornind de la fețele de bază și laterale până la suprafața întregii suprafețe. Dacă situația cu fețele laterale este clară, deoarece acestea sunt triunghiuri, fundul este întotdeauna diferit.

Cum să fii la găsirea ariei bazei piramidei?

Poate fi orice tip de figură: de la un triunghi arbitrar la un n-gon. Și această fundație, în afară de diferența de număr de unghiuri, poate fi figura corectă sau greșită. În sarcinile școlare de interes școlar, se întâlnesc doar slujbe cu cifrele corecte la bază. Prin urmare, vom vorbi doar despre ei.

Triunghiul drept

Aceasta este echilateral. Cel cu toate laturile egal și marcat cu litera "a". În acest caz, aria bazei piramidei se calculează prin formula:

S = (a² * radic-3) / 4.

pătrat

Formula pentru calcularea zonei sale este cea mai simplă, aici "a" este din nou partea:

S = a².

Un regulat arbitrar n-gon

Latura poligonului are aceeași notație. Pentru numărul de unghiuri, utilizați litera latină n.

S = (n * a²) / (4 * tg (180ordm- / r)).

Ce ar trebui să fac în calculul suprafeței laterale și pline?

Deoarece baza are figura corectă, toate fețele piramidei sunt egale. În plus, fiecare dintre ele este un triunghi isoscel, deoarece marginile laterale sunt egale. Apoi, pentru a calcula aria laterală a piramidei, avem nevoie de o formulă constând dintr-o sumă de monomiale identice. Numărul de termeni este determinat de numărul de laturi ale bazei.

Zona unui triunghi isoscel este calculată prin formula în care jumătate din produsul bazei este înmulțită cu înălțimea. Această înălțime în piramidă se numește apophema. Denumirea sa este "A". Formula generală pentru aria suprafeței laterale este după cum urmează:

S = frac12-P * A, unde P este perimetrul bazei piramidei.

Există situații în care părțile laterale ale bazei nu sunt cunoscute, dar există muchii laterale (c) și un unghi plat în partea de sus (alfa). Apoi se presupune că se folosește o astfel de formulă pentru a calcula aria laterală a piramidei:

S = n / 2 * în² păcat alfa-.

Numărul sarcinii 1

Stare. Găsiți aria totală a piramidei, dacă se află în baza ei triunghi echilateral cu o latură de 4 cm, iar apophema este important radic-3 cm.

Soluția. Începe cu calcularea perimetrului bazei. Deoarece acesta este triunghiul drept, atunci P = 3 * 4 = 12 cm Deoarece apophema este cunoscut, putem calcula imediat suprafața întregii suprafețe laterale: frac12- * 12 * radic-3 = 6radic-3 cm².

Pentru un triunghi în partea de jos, obținem următoarea valoare a zonei: (4²* radic-3) / 4 = 4radice-3 cm².

Pentru a determina suprafața totală, va trebui să adăugați două valori rezultate: 6radic-3 + 4radic-3 = 10radic-3 cm².

Răspuns. 10 cm-3 cm².

Numărul sarcinilor 2

condiție. Există o piramidă paradigmă regulată. Lungimea laturii bazei este de 7 mm, marginea laterală este de 16 mm. Este necesară cunoașterea suprafeței sale.

Soluția. Din moment ce poliedrul este cvadrangular și regulat, există un pătrat la baza sa. După ce ați învățat zona fețelor de bază și laterale, va fi posibil să numărați zona piramidei. Formula pentru pătrat este dată mai sus. Și la fețele laterale sunt cunoscute toate laturile triunghiului. Prin urmare, puteți utiliza formula lui Geron pentru a calcula zonele lor.

Primele calcule sunt simple și duc la un astfel de număr: 49 mm². Pentru a doua valoare, trebuie să calculam semiperimetrul: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Acum putem calcula aria unui triunghi isoscel: radic- (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16)²) = radic-2985,9375 = 54,644 mm². Există doar patru astfel de triunghiuri, deci la calcularea numărului final trebuie să îl multiplicați cu 4.

Se pare: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm².

răspuns. Valoarea căutată este de 267.576 mm².

Numărul sarcinii 3

condiție. O piramida obișnuită trebuie să calculeze zona. Știe partea laterală a pătratului - 6 cm și înălțimea - 4 cm.

Soluția. Cea mai simplă cale este să utilizați formula cu produsul perimetrului și apophema. Prima valoare este ușor de găsit. Al doilea este un pic mai complicat.

Este necesar să reamintim teorema lui Pythagoras și să luăm în considerare dreptunghi. Acesta este format din înălțimea piramidei și apophema, care este hypotenuse. Al doilea picior este egal cu jumătatea laturii pătratului, de vreme ce înălțimea polyhedronului cade la mijloc.

Apophema dorit (hypotenuse a unui triunghi în unghi drept) este radic- (3² + 4²) = 5 (cm).

Acum puteți calcula valoarea necesară: frac12 - * (4 * 6) * 5 + 6² = 96 (cm²).

Răspuns. 96 centimetri².

Numărul sarcinii 4

Stare. Având în vedere o piramidă hexagonală regulată. Latura bazei sale este de 22 mm, nervurile laterale sunt de 61 mm. Care este zona suprafeței laterale a acestui poliedru?

Soluția. Argumentele din aceasta sunt aceleași cu cele descrise în Problema 2. Doar a fost dată o piramidă cu un pătrat în partea de jos, iar acum este un hexagon.

Primul pas este de a calcula suprafața bazei conform formulei de mai sus: (6 * 22²) / (4 * tg (180ordm- / 6)) = 726 / (tg30ordm-) = 726radic-3 cm².

Acum aveți nevoie pentru a găsi o jumătate de perimetrul unui triunghi isoscel, care este o față laterală. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 rămâne pe formula lui Heron pentru a calcula suprafața fiecărui triunghi, și apoi înmulțește cu șase ori mai mare și cel care sa dovedit a bazei.

Calculele folosind formula lui Heron: radic- (72 * (72-22) * (72-61)²) = radic-435600 = 660 cm². Calcule care dau suprafața laterală: 660 * 6 = 3960 cm². Rămâne să le adăugăm pentru a afla întreaga suprafață: 5217,47asymp-5217 cm².

Răspuns. Terenuri - 726 cm-3 cm², suprafață laterală - 3960 cm², întreaga zonă - 5217 cm².