Poliedre. Tipuri de polyhedra și proprietățile acestora

Polyhedra nu numai că ocupă un loc proeminent în geometrie, ci și în viața de zi cu zi a fiecărei persoane. Să nu mai vorbim artificiale elemente legate într-o varietate de poligoane, pornind de la cutia de chibrituri și terminând elemente arhitecturale în natură apar și cristale sub forma unui cub (sare), prisme (cristal), piramida (scheelite), octoedre (diamant), etc. . d.

Conceptul de un polyhedron, tipurile de polyhedra în geometrie

Geometria ca știință conține o secțiune de stereometrie care studiază caracteristicile și proprietățile volumetrice figuri. geometric Corpurile ale căror laturi în spațiul tridimensional sunt formate de planete (fețe) delimitate sunt numite "polyhedra". Tipurile de polyhedra numără mai mult de o duzină de reprezentanți, care diferă în numărul și forma fețelor.

Cu toate acestea, toate polyhedra au proprietăți comune:

1. Ei au toate trei componente integrale: fata (suprafata poligonala), partea superioară (unghiurile formate în compusul fațetele la sol), o margine (lateral sau tăiate forme formate la intersecția a două fețe).
2. Fiecare margine a unui poligon se alătură două și numai două fețe care sunt adiacente una de alta.
3. Convexitatea înseamnă că corpul este amplasat complet numai pe o parte a planului pe care se află una dintre fețe. Regula este aplicabilă tuturor fețelor poliedrului. Astfel de figuri geometrice în stereometrie se numesc polyhedra convexe. Excepția este polyhedra stele, care sunt derivate ale corpurilor geometrice poliedre regulate.

Polyhedra poate fi împărțită condițional în:

1. Tipuri de poliedre convexe, constând din următoarele clase: convenționale sau clasic (o prismă, o piramidă, o cutie), dreapta (numită și solide platonice), semiregulate (al doilea nume - solide arhimedice).
2. Non-convex poliedra (stelat).

Prism și proprietățile sale

Stereometria ca o secțiune a geometriei studiază proprietățile figurilor tridimensionale, tipurile de polyhedra (o prisma în numărul lor). Prisma este un corp geometric care are în mod necesar două fețe complet identice (numite și baze) situate în planuri paralele și numărul n al fețelor laterale sub formă de paralelograme. La rândul său, prisma are, de asemenea, mai multe soiuri, inclusiv astfel de tipuri de polyhedra ca:

1. Paralelipiped - se formează dacă există paralelogram în bază - un poligon cu 2 perechi de unghiuri opuse egale și două perechi de laturi congruente opuse.
2. O prismă dreaptă are muchii perpendiculare la bază.
3. Prisma înclinată este caracterizată de prezența unghiurilor indirecte (altele decât 90) între fețe și bază.
4. Prisma corectă este caracterizată de baze în formă poligon regulat cu fețe laterale egale.

Proprietățile de bază ale prismei:

• Baze congruente.
• Toate marginile prismei sunt egale și paralele una cu cealaltă.
• Toate fețele laterale au forma unui paralelogram.

Piramida

O piramidă este un corp geometric care constă dintr-o bază și al n-lea număr de fețe triunghiulare care unește un punct - vârful. Trebuie menționat faptul că, dacă este necesar fețele laterale ale piramidei sunt reprezentate prin triunghiuri, atunci baza poate fi ca un poligon triunghiular sau patrulater și pentagonală, și așa mai departe ad infinitum. Numele piramidei va corespunde poligonului din partea de jos. De exemplu, dacă există un triunghi în partea inferioară a piramidei, este o piramidă triunghiulară, o căprioară patrulaterală este o piramidă quadrangulară și așa mai departe.

Piramidele sunt poliedru asemănător conului. Tipurile de polyhedra din acest grup, pe lângă cele de mai sus, includ, de asemenea, următorii reprezentanți:

1. O piramidă obișnuită are un poligon regulat la bază și înălțimea ei este proiectată în centrul unui cerc înscris în bază sau descris în jurul acesteia.
2. Se formează o piramidă dreptunghiulară atunci când una dintre muchiile laterale se intersectează cu baza la un unghi drept. În acest caz, această margine este, de asemenea, numită pe bună dreptate înălțimea piramidei.

Proprietățile piramidei:

• În cazul în care toate muchiile laterale piramide congruente (aceeași înălțime), toate acestea se suprapun cu o bază la un unghi, iar în jurul bazei poate desena un cerc cu centrul ce coincide cu proiecția vârful piramidei.
• Dacă există un poligon regulat în partea de jos a piramidei, atunci toate marginile laterale sunt congruente, iar fețele sunt triunghiuri isoscel.

Poliedron corect: tipurile și proprietățile polyhedra

În stereometrie, un loc special este ocupat de corpuri geometrice cu fețe absolut egale, la vârfurile cărora se leagă același număr de muchii. Aceste organisme sunt numite corpuri platonice sau regulate polyhedra. Tipurile de policedere cu aceste proprietăți au doar cinci cifre:

1. Tetraedru.
2. Hexaedre.
3. Octaedru.
4. Dodecaedrul.
5. Icosahedron.

Prin numele lor, polyhedra corectă se datorează filosofului grec Plato, care a descris aceste corpuri geometrice în lucrările sale și le-a conectat cu elementele naturale: pământ, apă, foc, aer. Cea de-a cincea figură a fost atribuită asemănării cu structura universului. În opinia sa, atomii de elemente naturale se aseamănă în formă cu tipurile de polyhedra obișnuite. Datorită proprietății sale cele mai fascinante - simetrie, aceste corpuri geometrice au fost de mare interes nu numai pentru matematicienii și filosofii vechi, ci și pentru arhitecții, artiștii și sculptorii de toate timpurile. Prezența a numai 5 tipuri de polyhedra cu simetrie absolută a fost considerată o descoperire fundamentală, ei au primit chiar o legătură cu începutul divin.

Hexaedron și proprietățile sale

În forma unui hexagon, succesorii lui Platon și-au asumat o asemănare cu structura atomilor pământului. Desigur, în prezent, această ipoteză este complet respinsă, ceea ce nu împiedică însă cifrele și în timpurile moderne să atragă mințile figurilor celebre cu estetica lor.

În geometrie, un hexaedru, de asemenea un cub, este considerat un caz particular al unui paralelipiped, care la rândul său este un fel de prisma. În consecință, proprietățile cubului sunt legate de proprietățile prismei, cu singura diferență că toate fețele și unghiurile cubului sunt egale una cu cealaltă. Aceasta implică următoarele proprietăți:

1. Toate margini ale cubului sunt congruente și se află în planuri paralele față de celălalt.
2. Toate fețele sunt pătrate congruente (există 6 în cub), dintre care oricare poate fi considerată ca bază.
3. Toate unghiurile interfaciale sunt egale cu 90.
4. Din fiecare vârf vine un număr egal de margini, și anume 3.
5. Cubul are 9 axele de simetrie, care se intersectează la punctul de intersecție a diagonalelor hexaedrului, numit centrul simetriei.

tetraedru

Tetrahidronul este un tetraedru cu fețe egale sub formă de triunghiuri, fiecare dintre ale cărui vârfuri este un punct de conectare a trei fețe.

Proprietățile unui tetraedru obișnuit:

1. Toate fețele tetraedrului sunt triunghiuri echilaterale, din care rezultă că toate fețele unui tetraedru sunt congruente.
2. Deoarece baza este reprezentată de figura geometrică corectă, adică are laturi egale, atunci fețele tetraedrului converg la același unghi, adică toate unghiurile sunt egale.
3. Suma unghiurilor plane la fiecare dintre vârfuri este de 180, deoarece toate unghiurile sunt egale, atunci orice unghi al tetraedrului obișnuit este 60.
4. Fiecare dintre vârfuri este proiectat la punctul de intersecție al înălțimilor feței opuse (orthocenter).

Octaedron și proprietățile sale

Descriind tipuri de poliedre regulate, trebuie remarcat faptul că obiectul ca octaedru, care pot fi reprezentate vizual ca două baze patrulatere lipite de piramide regulate.

Proprietățile unui octaedru:

1. Numai numele corpului geometric ne spune numărul fețelor sale. Octogonul constă din 8 triunghiuri echilaterale congruente, în fiecare vârf ale cărora există un număr egal de fețe, și anume 4.
2. Deoarece toate fețele octaedru sunt egale și colțurile intergranal, fiecare dintre acestea este de 60, iar suma unghiurilor plane oricare dintre noduri este astfel 240.

Dodecaedrul

Dacă ne imaginăm că toate fețele unui corp geometric sunt pentagonul obișnuit, atunci primim un dodecaedru - o cifră de 12 poligoane.

Proprietățile dodecaedrului:

1. Fiecare vârf intersectează trei fețe.
2. Toate fețele sunt egale și au aceeași lungime a marginilor, precum și o zonă egală.
3. Dodecaedrul are 15 axe și planuri de simetrie, iar oricare dintre ele trece prin vârful feței și mijlocul marginii opuse.

icosahedron

Nu mai puțin interesant decât un dodecaedru, icosaedrul este un corp geometric voluminos, cu 20 de fețe egale. Printre proprietățile unui obișnuit douăzeci-verso se pot observa următoarele:

1. Toate chipurile icosahedronului sunt triunghiuri isosceles.
2. Fiecare vârf al poliedrului converge la cinci fețe, iar suma unghiurilor vârfurilor adiacente este 300.
3. Icoședronul, ca și dodecaedrul, are 15 axe și planuri de simetrie care trec prin centrele unor fețe opuse.

Poligoane semi-regulate

În plus față de solidele platonice, grupul de polyhedra convex include organisme arhimede, care sunt trunchiate de polyhedra obișnuită. Tipurile de polyhedra din acest grup au următoarele proprietăți:

1. corp geometric sunt fețele egale pereche ale mai multor tipuri, de exemplu, tetraedru trunchiată este la fel ca un tetraedru regulat, 8 fețe, dar în corpul casetei 4 fețe arhimedice sunt triunghiulare în formă și 4 - hexagonală.
2. Toate unghiurile unui vertex sunt congruente.

Star polyhedra

Reprezentanții imenselor tipuri de corpuri geometrice sunt poliedra stele ale căror fețe se intersectează reciproc. Ele pot fi formate prin fuziunea a două corpuri tridimensionale obișnuite sau ca urmare a continuării fețelor lor.

Astfel, o astfel stelat cunoscut poliedre ca: forma stelată unui octaedru, dodecaedru, icosaedru, cuboctahedral, icosidodecahedron.