Zona de bază a prismei: de la triunghiulare la poligonală

Diferitele prisme sunt diferite unul de celălalt. În același timp, ei au mult în comun. Pentru a găsi zona de bază a prismei, va fi necesar să înțelegeți ce fel are.

Teoria generală

Prismul este orice polidron al cărui laturi sunt paralelogram. În acest caz, orice poliedron, de la un triunghi la un n-gon, poate apărea în baza lui. Și bazele prismei sunt întotdeauna egale una cu cealaltă. Ceea ce nu se aplică fețelor laterale - acestea pot varia semnificativ în dimensiune.

În rezolvarea problemelor nu se întâlnește numai zona bazei prismei. Poate fi necesară cunoașterea suprafeței laterale, adică a tuturor fețelor care nu sunt baze. O suprafață completă va fi deja unirea tuturor fețelor care alcătuiesc prisma.

Uneori sarcinile implică altitudine. Este perpendicular pe baze. Diagonala unui polyhedron este un segment care unește două vârfuri în perechi care nu aparțin aceleiași fețe.

Trebuie remarcat faptul că aria bazei prismei directe sau înclinată nu depinde de unghiul dintre ele și fețele laterale. Dacă au aceleași figuri în fețele superioare și inferioare, atunci zonele lor vor fi egale.

Prismul triunghiular

Are în bază o figură cu trei vârfuri, adică un triunghi. După cum știți, se întâmplă să fie diferită. În cazul în care triunghiul este dreptunghiular, atunci este suficient să ne amintim că zona sa este determinată de jumătate din produsul picioarelor.

Notatia matematica este urmatoarea: S = Av frac12-.

Pentru a găsi zona de bază a prismei triunghiulare în formă generală, vor fi utile următoarele formule: Heronul și cel în care jumătatea laturii este luată la înălțimea atinsă de ea.

Prima formulă trebuie să fie scrisă ca: S = radic- (p (p-a) (p-c) (p-c)). În această înregistrare există o jumătate de perimetru (p), adică suma a trei laturi, împărțită în două.

Al doilea: S = frac12- n_și * a.

Dacă doriți să cunoașteți aria de bază a unei prisme triunghiulare, care este corectă, atunci triunghiul este echilateral. Pentru el există o formulă: S = frac14-a² * Radic-3.

Quadrangular prisma

Baza sa este oricare dintre quadrangle-urile cunoscute. Poate fi un dreptunghi sau un pătrat, un paralelipiped sau un romb. În fiecare caz, pentru a calcula aria bazei prismei, avem nevoie de formula noastră proprie.

Dacă baza este un dreptunghi, atunci zona sa este definită ca: S = av, unde a, în - laturile dreptunghiului.

Când vine vorba de o prismă quadrangulară, aria bazei prismei corecte este calculată de formula pentru pătrat. Pentru că el este cel care se află în partea de jos. S = a².

În cazul în care baza este un paralelipiped, va fi necesară următoarea egalitate: S = a * n_și. Se întâmplă ca partea paralelipipedului să fie dată și una dintre colțuri. Apoi, pentru a calcula înălțimea, trebuie să folosim formula suplimentară: n_și = în * sin A. În plus, unghiul A este adiacent la partea "в", iar înălțimea н_și vizavi de acest colț.

Dacă un romb se află la baza prismei, atunci pentru a determina suprafața ei, va fi necesară aceeași formulă ca și pentru paralelogramă (deoarece este cazul său particular). Dar puteți folosi acest lucru: S = frac12- d₁ d₂. Aici d₁ și d₂ - două diagonale ale unui romb.

Corectați prisma pentagonală

Acest caz implică împărțirea poligonului în triunghiuri ale căror zone sunt mai ușor de învățat. Deși se întâmplă ca cifrele să poată fi cu un număr diferit de vârfuri.

Deoarece baza prismei este un pentagon obișnuit, ea poate fi împărțită în cinci triunghiuri echilaterale. Apoi, suprafața bazei prismei este egală cu aria unui astfel de triunghi (formula poate fi văzută mai sus) înmulțită cu cinci.

Precizie hexagonală corectă

Conform principiului descris pentru prisma pentagonală, este posibilă ruperea hexagonului bazei în 6 triunghiuri echilaterale. Formula suprafeței de bază a unei asemenea prisme este similară cu cea precedentă. Doar în ea a unui triunghi echilateral ar trebui să fie înmulțită cu șase.

Formula seamănă astfel: S = 3/2 a² * Radic-3.

sarcini

Este dată prisma dreaptă quadrangulară. Diagonala este de 22 cm, înălțimea polyhedronului este de 14 cm. Calculați suprafața bazei prismei și a întregii suprafețe.

Soluția. Baza prismei este un pătrat, dar partea sa nu este cunoscută. Valoarea sa poate fi de la diagonala pătratului (x), care este legată de diagonala prismei (d) și de înălțimea ei (n). x² = d² - n². Pe de altă parte, acest segment "x" este hypotenuse în triunghi, picioarele cărora sunt egale cu partea pătratului. Asta este, x² = a² + și². Astfel se dovedește că a² = (d² - n²) / 2.

Pentru a înlocui d cu 22 și "n" pentru ao înlocui cu o valoare de 14, se pare că latura pătratului este de 12 cm. Acum aflați doar suprafața bazei: 12 * 12 = 144 cm².

Pentru a afla suprafața întregii suprafețe, trebuie să adăugați de două ori valoarea zonei de bază și a laturii cvadruple. Acestea din urmă pot fi găsite cu ușurință din formula pentru un dreptunghi: se înmulțește înălțimea poliedrului și partea laterală a bazei. Asta este, 14 și 12, acest număr va fi egal cu 168 cm². Suprafața totală a prismei este de 960 cm².

Răspuns. Zona de bază a prismei este de 144 cm². Întreaga suprafață este de 960 cm².

№ 2. Este dată prisma triunghiulară corectă. La baza se află un triunghi cu o latură de 6 cm, în timp ce diagonala feței laterale este de 10 cm. Calculați suprafețele: baza și suprafața laterală.

Soluția. Deoarece prisma este corectă, baza ei este un triunghi echilateral. Prin urmare, suprafața sa este egală cu 6 în pătrat multiplicat cu frac14- și rădăcina pătratului de 3. Un calcul simplu duce la rezultat: 9radic-3 cm². Aceasta este aria unei baze a prismei.

Toate fețele laterale sunt aceleași și reprezintă dreptunghiuri cu laturi de 6 și 10 cm. Pentru a calcula zonele lor, este suficient să multiplicați aceste numere. Apoi înmulțiți-le cu trei, deoarece există atâtea marginile laterale ale prismei. Apoi, suprafața laterală se dovedește a fi o rană de 180 cm².

Răspuns. Suprafață: teren - 9 cm-3 cm², suprafața laterală a prismei - 180 cm².