Fracțiunea. Înmulțirea fracțiunilor ordinare, zecimale, mixte

În cursul liceelor ​​și elevilor au fost predate subiectul "Fracții". Cu toate acestea, acest concept este mult mai larg decât cel dat în procesul de învățare. Astăzi conceptul unei fracțiuni apare destul de des, și nu oricine poate calcula orice expresie, de exemplu, înmulțind fracțiile.

Ce este o fracțiune?

Deci, din punct de vedere istoric, au apărut numere fracționate din cauza necesității măsurării. După cum arată practica, există adesea exemple de determinare a lungimii unui segment, volumul unui dreptunghiular spațiu paralelipiped dreptunghi.

Inițial, elevii se familiarizează cu o astfel de noțiune ca și cota. De exemplu, dacă împărțiți un pepene verde în 8 părți, atunci fiecare va primi un pepene verde opt. Această parte a celor opt se numește cota.

Împărțiți egal cu frac12 - de orice valoare, se numește jumătate- frac14- - un sfert. Înregistrări ale formularului ⁵/₈, ⁴/₅, ²/₄ se numesc fracțiuni obișnuite. Fracțiunea ordinară este împărțită în numărător și numitor. Între ele este o caracteristică a fracțiunii sau a unei linii fracționare. O linie fracționată poate fi trasă ca o linie orizontală sau înclinată. În acest caz, acesta denotă semnul divizării.

Numitorul reprezintă câte părți egale o diviziune este împărțită, obiectul - și numărul - numărul de acțiuni identice. Numerotatorul este scris deasupra liniei fractionale, numitorul este scris sub el.

Este mai convenabil să arătați fracții obișnuite pe o rază de coordonate. Dacă un singur segment este împărțit în 4 părți egale, desemnați fiecare parte cu o literă latină, atunci puteți obține un excelent ajutor vizual. Astfel, punctul A arată o fracțiune egală cu ¹/₄ din întregul interval de unitate și marcajele punctului B. ²/₈ din acest segment.

Variația fracțiunilor

Fracțiunile sunt numere obișnuite, zecimale și, de asemenea, amestecate. În plus, fracțiunile pot fi împărțite în mod regulat și neregulat. Această clasificare este mai potrivită pentru fracțiile obișnuite.

O fracțiune corectă este un număr al cărui numărător este mai mic decât numitorul. În consecință, fracțiunea neregulată este un număr al cărui numărător este mai mare decât numitorul. Al doilea tip este de obicei scris sub forma unui număr mixt. Această expresie constă dintr-un întreg și o parte fracționată. De exemplu, 1frac12-. 1 este partea intreg, frac12- - fracțional. Cu toate acestea, dacă trebuie să faceți o anumită manipulare cu expresia (împărțirea sau multiplicarea fracțiunilor, reducerea lor sau conversia acestora), numărul mixt se traduce într-o fracțiune incorectă.

Expresia fracționată corectă este întotdeauna mai mică decât una, iar expresia fracționară incorectă este mai mare sau egală cu 1.

În ceea ce privește fracții zecimale, atunci prin această expresie înțelegem un registru în care este reprezentat un număr, numitorul expresiei fracționare a căruia poate fi exprimat în termeni de unitate cu mai multe zerouri. Dacă fracțiunea este corectă, atunci partea intregă în notația zecimală va fi zero.

Pentru a scrie o zecimală, mai întâi trebuie să scrieți întreaga parte, să o separați de fragmentul cu virgulă și apoi să scrieți expresia fracționată. Trebuie să ne amintim că, după o virgulă, numărul de numerotare trebuie să conțină cât mai multe caractere numerice ca și zerourile din numitor.

exemplu. Prezentați o fracțiune de 7²¹/₁₀₀₀ în notația zecimală.

Algoritmul de conversie a unei fracții neregulate la un număr mixt și invers

Pentru a înregistra fracțiunea greșită în răspunsul la problema este incorectă, prin urmare trebuie să fie tradusă într-un număr mixt:

• pentru a împărți numitorul cu numitorul existent;
• într-un exemplu particular, un coeficient incomplet este un număr întreg;
• iar restul este numitorul părții fracționare, iar numitorul rămâne neschimbat.

exemplu. Traduceți fracțiunea greșită într-un număr mixt: ⁴⁷/₅.

Soluția. 47: 5. Un coeficient incomplet este egal cu 9, restul = 2. Prin urmare, ⁴⁷/₅ = 9²/₅.

Uneori este necesar să prezentăm un număr mixt ca fracție neregulată. Apoi trebuie să utilizați următorul algoritm:

• întreaga parte este înmulțită cu numitorul expresiei fracționare;
• produsul rezultat este adăugat numărătorului;
• rezultatul este scris în numărător, numitorul rămâne neschimbat.

exemplu. Reprezentați numărul într-o formă mixtă ca o fracție neregulată: 9⁸/₁₀.

Soluția. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 este numărul de numerotare.

răspuns: ⁹⁸/_10.

Înmulțirea fracțiunilor obișnuite

Peste fracțiuni obișnuite, este posibil să se efectueze diverse operații algebrice. Pentru a multiplica două numere, numărul trebuie să fie înmulțit cu numărătorul și numitorul cu numitorul. În plus, multiplicarea fracțiunilor cu numitorii diferiți nu se deosebește de produsul numerelor fracționate cu aceiași numitori.

Se întâmplă că după ce ați găsit rezultatul, trebuie să reduceți fracțiunea. Este absolut necesar să se simplifice cât mai mult expresia rezultată. Desigur, nu putem spune că fracțiunea greșită a răspunsului este o greșeală, dar este, de asemenea, dificil de a apela un răspuns corect la acesta.

exemplu. Găsiți produsul a două fracții obișnuite: frac12- și ²⁰/₁₈.

După cum se poate vedea din exemplu, după găsirea produsului, s-a obținut o înregistrare fracționabilă reductibilă. Atât numerotatorul, cât și numitorul în acest caz sunt împărțiți la 4, iar rezultatul este răspunsul ⁵/₉.

Înmulțirea zecimalelor

Produsul fracțiunilor zecimale diferă destul de puțin de produsul obișnuit în felul său. Astfel, multiplicarea fracțiunilor este după cum urmează:

• două fracții zecimale trebuie să fie scrise una sub cealaltă, astfel încât cifrele din dreapta să fie una sub cealaltă;
• Este necesar să se înmulțească numerele înregistrate, în ciuda virgulelor, adică ca numere naturale;
• Calculați numărul de cifre după punctul zecimal în fiecare dintre numere;
• în rezultatul rezultat după înmulțirea rezultatului, este necesar să numărați cât mai multe simboluri numerice ca și în suma în ambii factori după virgulă și să puneți semnul separator;
• dacă numerele din produs au fost mai mici, înainte de acestea trebuie să scrieți cât mai multe zerouri pentru a acoperi acest număr, puneți o virgulă și alocați întreaga parte egală cu zero.

exemplu. Calculați produsul dintre două fracții zecimale: 2.25 și 3.6.

Soluția.

Înmulțirea fracțiunilor mixte

Pentru a calcula produsul a două fracțiuni mixte, trebuie să folosim regula de multiplicare:

• traduce numerele în formă mixtă în fracțiuni neregulate;
• găsiți produsul numărătorilor;
• găsiți produsul numitorilor;
• înregistrarea rezultatului;
• pentru a simplifica cât mai mult expresia.

exemplu. Găsiți produsul 4frac12- și 6²/_5.

Înmulțirea unui număr cu o fracție (fracțiuni cu un număr)

Pe lângă găsirea produsului din două fracții, numere mixte, există locuri de muncă unde trebuie să se înmulțească numărul natural la fracțiune.

Deci, pentru a găsi produsul unei fracțiuni zecimale și a unui număr natural, aveți nevoie de:

• scrieți numărul sub fracție, astfel încât cifrele din dreapta să fie una deasupra celeilalte;
• găsiți produsul, în ciuda virgulei;
• în rezultatul rezultat, pentru a separa întreaga parte de fracționare cu o virgulă, numărând numărul de cifre după punctul zecimal în fracție.

Pentru a multiplica o fracțiune obișnuită cu un număr, este necesar să găsim produsul numărătorului și factorul natural. Dacă răspunsul este o fracțiune reductibilă, trebuie convertit.

exemplu. Calculați produsul ⁵/₈ și 12.

Soluția. ⁵/₈ * 12 = ^{(5 x 12)}/₈ = ⁶⁰/₈ = ³⁰/₄ = ¹⁵/₂ = 7¹/_2.

răspuns: 7¹/_2.

După cum puteți vedea din exemplul anterior, a fost necesar să scurtăm rezultatul și să convertim expresia fracționară incorectă la un număr mixt.

Multiplicarea fracțiunilor se referă, de asemenea, la găsirea produsului unui număr în formă mixtă și a factorului natural. Pentru a multiplica aceste două numere, multiplicați întreaga parte a factorului mixt cu numărul, înmulțiți numitorul cu aceeași valoare și lăsați numitorul neschimbat. Dacă este necesar, rezultatul ar trebui simplificat pe cât posibil.

exemplu. Găsiți produsul 9⁵/₆ și 9.

Soluția. 9⁵/₆ x 9 = 9 x 9 + ^{(5 x 9)}/₆ = 81 + ⁴⁵/₆ = 81 + 7³/₆ = 88¹/_2.

răspuns: 88¹/_2.

Înmulțirea cu factori de 10, 100, 1000 sau 0,1-0,01-0,001

Regula precedentă implică următoarele. Pentru înmulțirea cu 10 zecimale, 100, 1000, 10000 și așa mai departe. D. Necesitatea de a muta virgula spre dreapta prin cât mai multe simboluri de cifre ca zerouri în unitatea de multiplicare după.

Exemplul 1. Găsiți produsul de 0,065 și 1000.

Soluția. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

răspuns: 65.

Exemplul 2. Găsiți produsul 3.9 și 1000.

Soluția. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

răspuns: 3900.

Dacă doriți să multiplice un număr întreg și 0,1 0,01 0,001 0,0001 și așa mai departe. E., Ar trebui să fie mutat la stânga o virgulă în produsul rezultat în cât mai multe simboluri de cifre ca zerouri este de unitate. Dacă este necesar, sunt înscrise zerouri înaintea numărului natural în cantitate suficientă.

Exemplul 1. Găsiți produsul de 56 și 0,01.

Soluția. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

răspuns: 0,56.

Exemplul 2. Găsiți produsul 4 și 0,001.

Soluția. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

răspuns: 0,004.

Deci, găsirea produsului de fracțiuni diferite nu trebuie să cauzeze dificultăți, cu excepția faptului că calculul rezultatului, în acest caz, nu se poate face fără un calculator.