Integral dublu. Sarcini. proprietăţi

Probleme care conduc la conceptul de "dublu integral".

1. Să presupunem că în plan este dată o placă plană de material, în fiecare punct al cărei densitate este cunoscută. Trebuie să găsim masa acestei plăci. Deoarece această placă are dimensiuni clare, ea poate fi închisă într-un dreptunghi. Densitatea plăcii poate fi de asemenea înțeleasă după cum urmează: la acele puncte ale dreptunghiului care nu aparțin plăcii, presupunem că densitatea este zero. Definim o împărțire uniformă într-un număr egal de particule. Astfel, forma dată va fi împărțită în dreptunghiuri elementare. Luați în considerare unul dintre aceste dreptunghiuri. Alegem orice punct al acestui dreptunghi. Din cauza dimensiunii mici a unui astfel de dreptunghi, vom presupune că densitatea la fiecare punct al dreptunghiului dat este o valoare constantă. Apoi, masa unei astfel de particule dreptunghiulare va fi definită ca multiplicarea densității în acest punct de către zona dreptunghiului. Zona, după cum știți, este înmulțirea lungimii dreptunghiului cu lățimea. Și pe planul de coordonate - această schimbare cu un pas. Apoi masa întregii plăci va fi suma masei acestor dreptunghiuri. Dacă mergem la limită într-o astfel de relație, atunci putem obține o relație exactă.
2. Definim un corp spațial, care este limitat de origine și de o anumită funcție. Este necesar să găsiți volumul corpului specificat. Ca și în cazul precedent, divizăm zona în dreptunghiuri. Vom presupune că la puncte care nu aparțin domeniului, funcția va fi 0. Luați în considerare una din partițiile dreptunghiulare. Prin laturile acestui dreptunghi tragem planuri care sunt perpendiculare pe axele abscisei și ordonate. Obținem un paralelipiped, care este mărginit de planul inferior față de axa aplicatorului și de mai sus de funcția specificată în starea problemei. Selectăm un punct în mijlocul dreptunghiului. Din cauza dimensiunii mici a acestui dreptunghi, putem presupune că funcția din acest dreptunghi are o valoare constantă și apoi puteți calcula volumul dreptunghiului. Și volumul unei cifre va fi egal cu suma tuturor volumelor acestor dreptunghiuri. Pentru a obține valoarea exactă, trebuie să mergeți la graniță.

După cum se poate observa din problemele prezentate, în fiecare exemplu ajungem la concluzia că diferite probleme conduc la luarea în considerare a unor sume duble de același tip.

Proprietățile integralelor duble.

Să punem problema. Să presupunem că într-o anumită regiune închisă este dată o funcție de două variabile și dată funcția este continuă. Deoarece zona este limitată, o puteți pune în orice dreptunghi care conține complet proprietățile punctului din zona dată. Împărțim dreptunghiul în părți egale. Se numește diametrul spargerii celei mai mari diagonale din dreptunghiurile rezultate. Acum alegem un punct în limitele unui astfel de dreptunghi. Dacă găsim o valoare în acest moment pentru a adăuga suma, atunci o astfel de sumă va fi numită integrală pentru o funcție într-un anumit domeniu. Gasim granița unei astfel de sume integrale în condițiile în care diametrul defalcării urmează la 0, iar numărul de dreptunghiuri până la infinit. Dacă există o astfel de limită și nu depinde de modul în care regiunea este împărțită în dreptunghiuri și din alegerea unui punct, atunci se numește un integrale dublu.

Conținutul geometric al integratului dublu: integramentul dublu este numeric egal cu volumul corpului, care a fost descris în Problema 2.

Cunoscând integrarea dublă (definiție), puteți seta următoarele proprietăți:

1. Constanta poate fi luata in afara semnului integral.
2. Integratul sumei (diferenței) este egal cu suma (diferența) integralelor.
3. Dintre funcții, mai puțin este cel al cărui integrată dublă este mai mică.
4. Modulul poate fi introdus sub semnul integrat dublu.