Proprietățile gradului

Ridicarea unui număr la un nivel natural înseamnă repetarea imediată de către factorul său propriu numărul natural timp. Numărul repetat ca factor este baza gradului, iar numărul indicând numărul de factori identici se numește exponent. Rezultatul acțiunilor efectuate este gradul. De exemplu, trei în gradul al șaselea înseamnă repetarea numărului trei sub forma unui factor de șase ori.

Baza unei diplome poate fi oricare alt număr decât zero.

Al doilea și al treilea gradul de număr au nume speciale. Aceasta, respectiv, este un pătrat și un cub.

Prima putere a unui număr este luată de același număr.

Pentru numere pozitive, este de asemenea definită o notă având un exponent rațional. După cum știe fiecare, orice numărul rațional este scrisă sub forma unei fracțiuni, numitorul căruia este un întreg, numitorul este natural, adică un întreg pozitiv, diferit de unitate.

O putere cu un exponent rațional este rădăcina unui grad egal cu numitorul exponentului, iar radicandul este baza puterii ridicate la o putere egală cu numărătorul. De exemplu: trei în 4/5 sunt egale cu cea de-a cincea rădăcină a celor trei în a patra.

Observăm câteva proprietăți care rezultă direct din definiția în cauză:

orice număr pozitiv este rațional în gradul rațional;

Valoarea unei puteri cu un exponent rațional nu depinde de forma înregistrării sale;

dacă baza este negativă, atunci gradul rațional al acestui număr nu este definit.

Cu o bază pozitivă, proprietățile gradului sunt adevărate indiferent de exponent.

Proprietățile gradului cu exponent natural:

1. Înmulțirea unor grade care au aceleași baze, baza fiind lăsată neschimbată și indicatorii adăugați. De exemplu: înmulțind trei în al cincilea grad cu trei în a șaptea dă trei la gradul a douăsprezecea (5 + 7 = 12).

2. Atunci când se divizează grade având aceleași baze, acestea sunt lăsate neschimbate, iar cifrele sunt scăzute. De exemplu: dacă împărțiți trei în a opta cu trei în al cincilea, obțineți trei într-un pătrat (8-5 = 3).

3. Când gradul este ridicat la o putere, baza este lăsată neschimbată, iar indicatorii sunt multiplicați. De exemplu: când ridicați 3 în a cincea până la a șaptea primiți 3 în treizeci și cinci (5x7 = 35).

4. Pentru a ridica un produs la o putere, fiecare dintre factori este, de asemenea, construit în același mod. De exemplu: când ridicați un produs 2x3 într-o cincime, obțineți un produs de două în a cincea câte trei în a cincea.

5. Pentru a ridica o fracțiune la putere, numerotatorul și numitorul sunt ridicate în același grad. De exemplu: atunci când ridicăm 2/5 din a cincea, se obține o fracțiune, în numărătorul căruia - două în a cincea, în numitor - cinci în a cincea.

Proprietățile notate ale gradului sunt valabile și pentru exponenții fracționați.

Proprietățile unei puteri cu exponent rațional

Introducem câteva definiții. Orice altceva decât 0 numărul real, Ridicat la zero este egal cu unul.

Orice număr real nonzeros ridicat la o putere cu un exponent negativ întreg este o fracție cu un numărător de unitate și un numitor egal cu gradul aceluiași număr, dar având exponentul opus.

Completăm proprietățile gradului cu câteva noi care se referă la exponenții raționali.

O putere cu un exponent rațional nu se modifică atunci când numitorul și numitorul exponentului său se înmulțesc sau se divizează cu același număr care nu este egal cu zero.

La baza mai mult de unul: