Care sunt numerele raționale? Ce sunt?

Ce este numere raționale? Elevii de vârf și studenții de specialități matematice, probabil, vor răspunde cu ușurință la această întrebare. Dar cei care sunt departe de această profesie vor fi mai dificili. Ce este cu adevărat?

Esența și denumirea

Prin numere raționale se înțeleg cele care pot fi reprezentate ca o fracțiune simplă. Pozitive, negative și, de asemenea, zero, de asemenea, intră în acest set. Numerotatorul unei fracții trebuie să fie un număr întreg, iar numitorul trebuie să fie a numărul natural.

Acest set în matematică este notat cu Q și se numește "câmpul numerelor raționale". Acestea includ toate întregi și naturale, notat cu Z și N. același set de Q incluse în R. set Este această scrisoare reprezintă așa-numita real sau numere reale.

idee

Așa cum am menționat deja, numerele raționale sunt un set în care intră toate valorile întregi și fracționale. Ele pot fi prezentate sub diferite forme. În primul rând, sub formă de fracții ordinare: 5/7, 1/5, 11/15, etc Desigur, numerele întregi pot fi scrise într-un mod similar: 6/2, 15/5, 0/1, - .. 10/2, etc în al doilea rând, un alt tip de prezentare - o parte fracționară zecimală finită: .... 0.01, -15.001006, etc Acesta este, probabil, una dintre cele mai comune forme.

Dar există și oa treia - o fracție periodică. Acest tip nu este foarte comun, dar este încă folosit. De exemplu, fracțiunea 10/3 poate fi scrisă ca 3,33333 ... sau 3, (3). În acest caz, reprezentări diferite vor fi considerate numere analogice. Fracțiuni echivalente, de exemplu 3/5 și 6/10, vor fi de asemenea numite. Se pare că a devenit clar ce numere raționale sunt. Dar de ce folosiți acest termen pentru desemnarea lor?

Originea numelui

Cuvântul "rațional" în limba rusă modernă are, în general, un înțeles ușor diferit. Este mai degrabă "rezonabil", "deliberat". Dar termenii matematici sunt apropiați de sensul direct al acestui lucru cuvinte împrumutate. În latină, "raportul" este o "relație", "fracțiune" sau "divizare". Astfel, numele reflectă esența a numerelor raționale. Cu toate acestea, a doua valoare nu departe de adevăr.

Acționați cu ei

Atunci când rezolvăm problemele matematice, suntem constant confruntați cu numere raționale, fără să ne cunoaștem. Și au o serie de proprietăți interesante. Toate acestea urmează fie din definiția setului, fie din acțiuni.

În primul rând, numerele raționale au proprietatea unei relații de ordin. Aceasta înseamnă că între cele două numere nu poate exista decât o relație - ele sunt fie egale între ele, fie una este mai mare sau mai mică decât cealaltă. E:

sau a = b - sau a> b, sau o < b.

În plus, această proprietate implică și tranzitivitatea relației. Asta este, dacă o mai mult decât b, b mai mult decât c, o mai mult decât c. În limba matematică, se arată astfel:

(a> b) ^ (b> c) => (a> c).

În al doilea rând, există operații aritmetice cu numere raționale, adică, adunare, scădere, împărțire și, desigur, multiplicare. În acest proces, un număr de proprietăți pot fi de asemenea diferențiate în procesul de transformare.

• a + b = b + a (schimbarea locului termenilor, comutativitate) -
• 0 + a = a + 0 -
• (a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate) -
• a + (-a) = 0-
• ab = ba-
• (ab) c = a (bc) (distributivitate) -
• a x 1 = 1 x a = a-
• a x (1 / a) = 1 (aici a nu este 0) -
• (a + b) c = ac + ab-
• (a> b) ^ (c 0) => (ac> bc).

Când vine vorba de obișnuit și nu zecimale, fracții sau numere întregi, acțiunile cu ele pot provoca anumite dificultăți. Astfel, adăugarea și scăderea sunt posibile numai dacă numitorii sunt egali. Dacă acestea sunt inițial diferite, ar trebui să găsiți o comună, folosind multiplicarea întregii fracțiuni cu anumite numere. De asemenea, compararea este posibilă cel mai adesea numai dacă această condiție este îndeplinită.

Divizarea și multiplicarea fracțiunilor obișnuite se face în conformitate cu reguli destul de simple. Reducerea la numitorul comun nu este necesară. Numerotatorii și numitorii se înmulțesc separat, în timp ce în procesul de realizare a acțiunii, dacă este posibil, fracțiunea trebuie minimizată și simplificată cât mai mult posibil.

În ceea ce privește diviziunea, această acțiune este similară cu prima, cu o mică diferență. Pentru a doua fracțiune, găsiți inversul, care este "transforma" -l. Astfel, numerotatorul primei fracții va trebui să fie înmulțit cu al doilea numitor și invers.

În cele din urmă, o altă proprietate inerentă numerelor raționale se numește axiomă arhimedeană. Adesea, în literatura de specialitate există și numele "principiu". Este valabil pentru întregul set de numere reale, dar nu peste tot. Astfel, acest principiu nu se aplică anumitor seturi de funcții raționale. În esență, această axiom înseamnă că dacă există două cantități a și b, puteți lua întotdeauna un număr suficient de a pentru a depăși b.

Domeniul de aplicare

Deci, cei care sunt învățate sau amintit, că un număr rațional, este clar că acestea sunt folosite peste tot: în contabilitate, economie, statistica, fizica, chimie și alte științe. Firește, ei au, de asemenea, un loc în matematică. Nu întotdeauna știind că avem de-a face cu ei, folosim constant numere raționale. Încă copiii mici, învățând să contorizeze obiecte, să taie un măr în bucăți sau să facă alte acțiuni simple, se confruntă cu ele. Ei ne înconjoară literalmente. Cu toate acestea, pentru anumite sarcini acestea sunt insuficiente, în special, exemplul teorema lui Pitagora, puteți înțelege necesitatea introducerii conceptului de numere iraționale.