Integralul indefinit. Calculul integralelor nedefinite

Una dintre ramurile fundamentale ale analizei matematice este calculul integral. Acesta acoperă cel mai larg câmp de obiecte, în cazul în care primul este un integral nedeterminat. Pentru a poziționa aceasta este o cheie, că chiar și în liceu aceasta relevă un număr din ce în ce mai mare de perspective și oportunități pe care le descrie matematica superioară.

apariție

La prima vedere, integramentul pare absolut modern, relevant, dar în practică se pare că a apărut în 1800 BC. Patria oficială considerată a fi Egipt, deoarece nu am obținut dovezi anterioare despre existența sa. El, din cauza lipsei de informații, tot acest timp este poziționat doar ca un fenomen. El a confirmat din nou nivelul dezvoltării științei în rândul popoarelor din acele vremuri. În cele din urmă, s-au găsit lucrări matematicieni greci vechi, datând din secolul al IV-lea î.Hr. Ele descriu metoda folosită în cazul în care indefinită integral, esența care a fost de a găsi volumul sau suprafața unei forme curbiliniu (plane tridimensionale și bidimensionale, respectiv). Principiul de calcul a fost bazat pe împărțirea cifrei inițiale în componente infinitezimale, cu condiția ca volumul (zona) lor să fie deja cunoscut. De-a lungul timpului, metoda a crescut, Archimedes a folosit-o pentru a găsi zona parabolului. Calcule analogice au fost conduse, în același timp, de oamenii de știință din China antică, în plus, au fost complet independenți de frații greci din domeniul științei.

dezvoltare

Următoarea descoperire în secolul XI î.Hr. a devenit opera savantului arab „vagon“ Abu Ali al-Basri, care a împins limitele deja cunoscute, au fost derivate din formula integrală pentru calcularea sumelor din sumele și gradele de la primul la al patrulea, care solicită acest lucru cunoscut la noi metoda de inducție matematică.
Mințile de astăzi sunt admirate de vechii egipteni au creat monumente uimitoare, fără unelte speciale, cu excepția celor din propriile lor mâini, dar nu este o putere oamenii de știință nebun a nu mai puțin timp un miracol? Comparativ cu vremurile actuale ale vieții lor par aproape primitiv, dar decizia integralelor nedefinite dedus peste tot și folosite în practică pentru dezvoltarea în continuare.

Următorul pas a avut loc în secolul al XVI-lea, când matematicianul italian Cavalieri a dedus metoda indivizibilă, pe care o luase Pierre Fermat. Acești doi indivizi au pus bazele calculului integrat modern, cunoscut în acest moment. Au legat-o concepte de diferențiere și integrare, care au fost percepute anterior ca unități autonome. În general, matematica din acele vremuri a fost fragmentată, particula de concluzii a existat singură, având un domeniu de aplicare limitat. Calea unificării și căutarea unui teren comun era singura corectă la acea vreme, datorită ei modernei analiză matematică a avut ocazia să crească și să se dezvolte.

Odată cu trecerea timpului, totul sa schimbat și desemnarea integrantă. În ansamblu, a fost semnalat de oameni de știință care, de exemplu, Newton a folosit o pictogramă pătrată în care a pus o funcție integrabilă sau a plasat-o lângă ea. Acest dezacord a continuat până în secolul al XVII-lea, când savantul iconic Gottfried Leibniz a introdus simbolul atât de familiar pentru întreaga teorie a analizei matematice. "S" întins se bazează într-adevăr pe această scrisoare alfabetul latin, deoarece ea denotă suma antiderivativelor. Numele a fost dat mulțumirilor integrale lui Jacob Bernoulli după 15 ani.

Definiție formală

Integralul nedeterminat depinde direct de definiția antiderivativei, așa că o considerăm mai întâi.

Primul este o funcție inversă a derivatului, în practică se numește și primitiv. Altfel: antiderivativul funcției d este o funcție D a cărei derivată este v <=> V `= v. Căutarea unui antiderivant este calculul unui integral nedefinit, iar procesul în sine se numește integrare.

exemplu:

Funcția s (y) = y³, și anderivativă S (y) = (y⁴/ 4).

Setul tuturor antiderivativilor funcției în cauză este un integral nedefinit și este notat după cum urmează: int-v (x) dx.

Din moment ce V (x) este doar o primitivă a funcției inițiale, se aplică următoarea expresie: int-v (x) dx = V (x) + C, unde C este o constantă. O constantă arbitrară este înțeleasă ca orice constanță, deoarece derivatul său este zero.

proprietăţi

Proprietățile pe care le posedă o integrală nedeterminată se bazează pe definiția de bază și pe proprietățile derivatelor.
Luați în considerare punctele cheie:

• integral al derivatului primitivului este el însuși un antiderivativ plus o constantă arbitrară C <=> int-V `(x) dx = V (x) + C;
• Derivatul funcției integrale este funcția inițială <=> (int-v (x) dx) `= v (x);
• Constanta este scoasă din semnul integralului <=> int-kv (x) dx = kint-v (x) dx, unde k este arbitrară;
• Integralul, care este luat din suma, este identic egal cu suma integralelor <=> int (v (y) + w (y)) dy = int-v (y) dy + int-w (y) dy.

Din ultimele două proprietăți se poate concluziona că integritatea nedeterminată este liniară. Datorită acestui lucru avem: int - (kv (y) dy + int-lw (y)) dy = kint-v (y) dy + lint-w (y) dy.

Pentru fixare, considerăm exemple de soluții de integrali nedefiniți.

Este necesar să găsim integralele int- (3sinx + 4cosx) dx:

• int- (3sinx + 4cosx) dx = int-3sinxdx + int-4cosxdx = 3int-sinxdx + 4int-cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Din exemplul respectiv, putem concluziona: nu știm cum să rezolvăm integralele nedefinite? Doar găsiți toate antitipice! Iată principiile de căutare de mai jos.

Metode și exemple

Pentru a rezolva integralele, putem recurge la următoarele metode:

• utilizați masa finită;
• integrarea pe părți;
• integrați prin schimbarea unei variabile;
• subducție sub semnul diferențialului.

tabele

Cea mai ușoară și mai plăcută cale. În prezent, analiza matematică se poate lăuda cu o masă destul de extinsă, în care sunt prescrise formulele de bază ale integralelor nedeterminate. Cu alte cuvinte, există șabloane care sunt derivate înainte de tine și pentru tine, rămâne doar să le folosești. Iată o listă a pozițiilor principale ale tabelei la care se poate obține aproape orice exemplu care are o soluție:

• int-0dy = C, unde C este o constantă;
• int-dy = y + C, unde C este o constantă;
• int-yⁿdy = (y^{n + 1}) / (n + 1) + C, unde C este o constantă și n este un număr nenul;
• int- (1 / y) dy = ln | y | + C, unde C este o constantă;
• int-e^ydy = e^y + C, unde C este o constantă;
• int-k^ydy = (k^y/ ln k) + C, unde C este o constantă;
• int-cosydy = siny + C, unde C este o constantă;
• int-sinydy = -cosy + C, unde C este o constantă;
• int-dy / cos²y = tgy + C, unde C este o constantă;
• int-dy / sin²y = -ctgy + C, unde C este o constantă;
• int-dy / (1 + y²) = arctgie + C, unde C este o constantă;
• int-chydy = timid + C, unde C este o constantă;
• int-shydy = chy + C, unde C este o constantă.

Dacă este necesar, luați câțiva pași, aduceți integrarea la masa de joc și bucurați-vă de victorie. exemplu: int-cos (5x-2) dx = 1 / 5int-cos (5x-2) d (5x-2)

Prin decizie este clar că pentru exemplul tabelului integrand nu are un multiplicator de 5. Noi îl adăugăm, înmulțind cu 1/5 în paralel, astfel încât expresia generală să nu se modifice.

Integrarea pe părți

Luați în considerare două funcții - z (y) și x (y). Ele trebuie să fie continuu diferențiate pe întregul domeniu al definiției. Prin una dintre proprietățile de diferențiere avem: d (xz) = xdz + zdx. Integrarea ambelor părți ale egalității, obținem: int-d (xz) = int- (xdz + zdx) => zx = int-zdx + int-xdz.

Rescriind ecuația rezultată, obținem o formulă care descrie metoda de integrare pe părți: int-zdx = zx - int-xdz.

De ce este nevoie? Faptul este că unele exemple au posibilitatea de a simplifica, relativ vorbind, de a reduce int-zdx la int-xdz, dacă acesta din urmă este aproape de forma tabelului. De asemenea, această formulă poate fi aplicată de mai multe ori, obținând rezultatul optim.

Cum să rezolvăm integrali nedefiniți în acest fel:

• este necesar să se calculeze int- (s + 1) e^2sds

int- (x + 1) e^2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e^2s, dy = e^2xds} = ((s + 1) e^2s) / 2-1 / 2int-e^2sdx = ((s + 1) e^2s) / 2-e^2s/ 4 + C-

• este necesar să se calculeze int-lnsds

int-lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} int-s x ds / s = slns - int-ds = slns-s + C = s (lns-1) + C.

Schimbare variabilă

Acest principiu al rezolvării integralelor nedefinite nu este mai mic decât cel al celor două, mai dificil. Metoda constă în următoarele: permite V (x) să fie integrarea unei anumite funcții v (x). În cazul în care integrarea însăși în exemplu este complexă, există o mare șansă de a deveni confuză și de a merge în mod greșit. Pentru a evita această modificare practică de variabila x la z, în care expresia generală simplificată vizual menținând z în funcție de x.

În limba matematică, se arată astfel: int-v (x) dx = int-v (y (z)) y `(z) dz = V (z) = V (y^-1(x)), unde x = y (z) este o permutare. Și, desigur, funcția inversă z = y^-1(x) descrie pe deplin dependența și interdependența variabilelor. Notă importantă - dx diferențială în mod necesar înlocuit cu un nou dz diferential, deoarece schimbarea de variabilă în integralei nedefinită implică înlocuirea acestuia peste tot, nu doar în integrandul.

exemplu:

• trebuie să găsească int- (s + 1) / (s² + 2s-5) ds

Aplicăm substituția z = (s + 1) / (s²+2s-5). Apoi dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Ca rezultat, obținem următoarea expresie, care este foarte ușor de calculat:

int- (s + 1) / (s²+2s-5) ds = int- (dz / 2) / z = 1 / 2in | z | + C = 1 / 2in | s²+2s-5 | + C;

• este necesar să găsim integralele int-2^se^sdx

Pentru soluție, rescriim expresia în următoarea formă:

int-2^se^sds = int- (2e)^sds.

Noi denotăm prin a = 2e (prin înlocuirea argumentului, acest pas nu este, este încă s), oferim, la prima vedere, un complex complex, la forma tabulară elementară:

int- (2e)^sds = int-un^sds = a^s / lna + C = (2e)^s / ln (2e) + C = 2^se^s / ln (2 + lne) + C = 2^se^s / (ln2 + 1) + C.

Desenul sub semnul diferențialului

În general, această metodă de integrali nedefinite este un frate gemene al principiului de înlocuire variabilă, dar există diferențe în procesul de proiectare. Să analizăm mai detaliat.

În cazul în care int-v (x) dx = V (x) + C și y = z (x), atunci int-v (y) dy = V (y) + C.

În același timp, nu trebuie să uităm transformările integrale triviale, dintre care:

• dx = d (x + a), unde a este orice constanta;
• dx = (1 / a) d (ax + b), unde a este din nou o constantă, dar nu egală cu zero;
• xdx = 1 / 2d (x² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Dacă luăm în considerare cazul general când se calculează un integrator nedefinit, exemplele pot fi reduse la formula generală w `(x) dx = dw (x).

exemple:

• trebuie să găsească int- (2s + 3)²ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

int- (2s + 3)²ds = 1 / 2int- (2s + 3)²d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3)²) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3)² + C;

int-tgsds = int-sin / cossds = int-d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Ajutor online

În unele cazuri, vina care poate fi fie lenea, fie o necesitate urgentă, puteți folosi sfaturi online sau, mai degrabă, utilizați calculatorul unor integrali incertați. În ciuda complexității aparente și a controversei integralelor, soluția lor este supusă unui anumit algoritm, care este construit pe principiul "dacă nu ... atunci ...".

Desigur, un exemple deosebit de complicate ale unui astfel de calculator nu va stăpâni, deoarece există cazuri în care o decizie trebuie să găsească un mod artificial „forțat“, prin introducerea unor elemente în acest proces, deoarece rezultatele sunt evidente moduri de a ajunge. In ciuda naturii controversate a acestei declarații, este adevărat, așa cum matematica, în principiu, o știință abstractă, iar obiectivul său principal consideră necesitatea de a împuternici frontierelor. Într-adevăr, pentru o buna run-in teoriile este foarte dificil să se deplaseze în sus și să evolueze, astfel încât să nu presupunem că exemplele de rezolvare a integralelor nedefinite, care ne-a dat - aceasta este înălțimea de oportunități. Totuși, să revenim la aspectul tehnic al problemei. Cel puțin pentru a verifica calculele puteți folosi serviciile în care totul a fost scris în fața noastră. În cazul în care este necesar pentru calcularea automată a expresiilor complexe, atunci ei nu trebuie să recurgă la un software mai grave. Merită să acordați atenție, în primul rând, mediului MatLab.

cerere

Soluția integralelor nedefinite la prima vedere pare complet divorțată de realitate, deoarece este dificil să vedem planurile de aplicare evidente. Într-adevăr, ele nu pot fi utilizate direct nicăieri, dar ele sunt considerate a fi un element intermediar indispensabil în procesul de găsire a soluțiilor care sunt utilizate în practică. Astfel, integrarea este invers diferențiată, datorită căreia participă activ la procesul de rezolvare a ecuațiilor.
La randul lor, aceste ecuatii au un impact direct asupra rezolvarii problemelor mecanice, calcularea traiectoriilor si conductivitatii termice - pe scurt, tot ceea ce formeaza prezentul si modeleaza viitorul. Integralul nedefinit, exemplele pe care le-am considerat mai sus, este trivial doar la prima vedere, deoarece este baza pentru a face din ce în ce mai multe descoperiri noi.