Ecuații diferențiale liniare și omogene de ordinul întâi. Exemple de soluții

Cred că ar trebui să începem cu istoria unui astfel de instrument matematic glorios ca ecuații diferențiale. Ca toate calculii diferențiale și integrale, aceste ecuații au fost inventate de Newton la sfârșitul secolului al XVII-lea. El a considerat că această descoperire este atât de importantă încât chiar a criptat mesajul, care astăzi poate fi tradus astfel: "Toate legile naturii sunt descrise prin ecuații diferențiale". Poate părea o exagerare, dar este adevărat. Orice lege a fizicii, chimiei, biologiei poate fi descrisă de aceste ecuații.

O contribuție uriașă la dezvoltarea și crearea teoriei ecuațiilor diferențiale a fost făcută de matematicienii Euler și Lagrange. Deja în secolul al XVIII-lea au descoperit și au dezvoltat ceea ce se studiază acum la cursurile universitare de vârf.

O nouă piatră de hotar în studiul ecuațiilor diferențiale a început cu Henri Poincare. El a creat o "teorie calitativă a ecuațiilor diferențiale", care, în combinație cu teoria funcțiilor unei variabile complexe, a contribuit semnificativ la fundamentarea topologiei - știința spațiului și a proprietăților sale.

Care sunt ecuațiile diferențiale?

Mulți se tem de o singură expresie "ecuația diferențială". Cu toate acestea, în acest articol vom detalia întreaga esență a acestui aparat matematic foarte util, care de fapt nu este atât de complex cum pare din titlu. Pentru a începe să vorbim despre ecuațiile diferențiale de ordinul întâi, trebuie mai întâi să cunoaștem conceptele de bază asociate în mod inerent acestei definiții. Și vom începe cu diferența.

diferențială

Mulți oameni cunosc acest concept de la școală. Cu toate acestea, vom vorbi despre aceasta în detaliu. Imaginați-vă un grafic de funcții. Putem o crește într-o asemenea măsură încât oricare dintre segmentele sale să ia forma unei linii drepte. Pe ea luăm două puncte care sunt infinit apropiate unul de celălalt. Diferența dintre coordonatele lor (x sau y) este infinitezimală. Se numește diferențialul și este marcat de semnele dy (diferența de y) și dx (diferența dintre x). Este foarte important să înțelegem că diferența nu este o cantitate finită și aceasta este semnificația și funcția sa de bază.

Și acum trebuie să luăm în considerare următorul element, care este util pentru explicarea conceptului de ecuație diferențială. Acesta este un derivat.

Derivatul

Probabil că am auzit probabil în școală și în acest concept. Se spune că derivatul este rata de creștere sau descreștere a funcției. Cu toate acestea, o mare parte din această definiție devine de neînțeles. Să încercăm să explicăm derivatul prin diferențiale. Să ne întoarcem la o piesă infinitezimală cu două puncte, care se află la o distanță minimă unul față de celălalt. Dar chiar și pentru această distanță funcția are timp să se schimbe într-o anumită măsură. Și pentru a descrie această schimbare și a veni cu un derivat care altfel poate fi scris ca raportul diferențialelor: f (x) `= df / dx.

Acum trebuie să luăm în considerare proprietățile de bază ale derivatului. Există doar trei dintre ele:

1. Derivatul sumei sau diferenței poate fi reprezentat ca suma sau diferența dintre derivate: (a + b) `= a` + b `și (a-b)` = a`-b `.
2. A doua proprietate este legată de înmulțire. Derivatul produsului este suma produselor dintr-o funcție pe derivatul celeilalte: (a * b) `= a` * b + a * b `.
3. Derivatul diferenței poate fi scris sub forma următoarei ecuații: (a / b) `= (a` * b-a * b `) / b².

Toate aceste proprietăți sunt utile pentru găsirea soluțiilor de ecuații diferențiale de ordinul întâi.

Există și derivate parțiale. Să presupunem că avem o funcție z care depinde de variabilele x și y. Pentru a calcula derivatul parțial al acestei funcții, să spunem, în ceea ce privește x, trebuie să luăm variabila y ca o constantă și să diferențiem pur și simplu.

integrală

Un alt concept important este integratul. De fapt, acesta este opusul direct al derivatului. Integralele sunt de mai multe tipuri, dar pentru rezolvarea celor mai simple ecuații diferențiale avem nevoie de cea mai trivială indeplinite integrale.

Și așa, Ce este un integrator? Să presupunem că avem o anumită dependență de f pe x. Noi luam din el integrala si primim functia F (x) (adesea numita antiderivativa), derivata ei fiind egala cu functia initiala. Astfel, F (x) `= f (x). De asemenea, rezultă că integralul derivatului este egal cu funcția inițială.

Când rezolvăm ecuații diferențiale, este foarte important să înțelegem sensul și funcția integralului, deoarece este foarte des necesar să le luăm pentru a găsi o soluție.

Ecuațiile sunt diferite în funcție de natura lor. În următoarea secțiune, vom lua în considerare tipurile de ecuații diferențiale de ordinul întâi și apoi vom învăța cum să le rezolvăm.

Clase de ecuații diferențiale

"Difuzoarele" sunt împărțite în funcție de ordinea derivatelor care participă la acestea. Astfel, există o primă, a doua, a treia sau mai mare ordine. Ele pot fi, de asemenea, împărțite în mai multe clase: obișnuite și în derivate parțiale.

În această lucrare se iau în considerare ecuațiile diferențiale obișnuite de ordinul întâi. Exemple și metode de rezolvare a acestora vor fi, de asemenea, discutate în secțiunile următoare. Vom lua în considerare doar ODE, deoarece acestea sunt cele mai comune tipuri de ecuații. Ordinari sunt împărțiți în subspecii: cu variabile separabile, omogene și eterogene. Apoi, veți învăța cum diferă unul de celălalt și aflați cum să le rezolvați.

În plus, aceste ecuații pot fi combinate astfel încât după obținerea unui sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi. Vom analiza astfel de sisteme și vom învăța cum să le rezolvăm.

De ce considerăm doar prima comandă? Pentru că trebuie să începeți cu una simplă și este pur și simplu imposibil să descrieți toate aspectele legate de ecuațiile diferențiale într-un singur articol.

Ecuațiile cu variabile separabile

Acestea sunt, probabil, cele mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi. Acestea includ exemple care pot fi scrise astfel: y `= f (x) * f (y). Pentru a rezolva această ecuație avem nevoie de formula pentru reprezentarea derivatului ca raport al diferențialelor: y `= dy / dx. Cu ajutorul lui obținem următoarea ecuație: dy / dx = f (x) * f (y). Acum ne putem îndrepta asupra metodei de rezolvare a exemplelor standard: împărțim variabilele pe părți, adică transferăm totul de la variabila y la partea unde se află dy și facem și aceasta cu variabila x. Obținem o ecuație cu forma dy / f (y) = f (x) dx, care este rezolvată prin preluarea integralelor de ambele părți. Nu uitați de constanta, care trebuie stabilită după ce ați luat integral.

Soluția oricărui "difuzor" este o funcție a dependenței lui x de y (în cazul nostru) sau, dacă există o condiție numerică, atunci răspunsul este sub forma unui număr. Să analizăm pe un exemplu concret întregul parcurs al soluției:

y `= 2y * sin (x)

Transferăm variabilele în direcții diferite:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Acum luăm integralele. Toate acestea pot fi găsite într-o tabelă specială de integrali. Și noi obținem:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Dacă este necesar, putem exprima "yorek" în funcție de "X". Acum putem spune că ecuația noastră diferențială este rezolvată dacă condiția nu este dată. O condiție poate fi specificată, de exemplu, y (n / 2) = e. Apoi, înlocuim valoarea acestor variabile în soluție și găsim valoarea constantă. În exemplul nostru, este 1.

Ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi

Acum mergeți la partea mai complexă. Ecuațiile diferențiale omogene de ordinul întâi pot fi scrise în forma generală după cum urmează: y `= z (x, y). Trebuie remarcat faptul că funcția corectă a două variabile este omogenă și nu poate fi împărțită în două dependențe: z de la x la z din y. Pentru a verifica dacă ecuația este omogenă sau nu, este destul de simplă: facem substituția x = k * x și y = k * y. Acum am tăiat toate k. Dacă toate aceste litere sunt reduse, atunci ecuația este omogenă și puteți continua în siguranță să o rezolvați. Făcând înainte, să spunem: principiul de rezolvare a acestor exemple este, de asemenea, foarte simplu.

Trebuie să facem o substituție: y = t (x) * x, unde t este o funcție care depinde și de x. Apoi putem exprima derivatul: y `= t` (x) * x + t. Înlocuind toate acestea în ecuația noastră originală și simplificând-o, primim un exemplu cu variabilele de separare t și x. Îl rezolvăm și obținem dependența t (x). Când l-am primit, pur și simplu înlocuim y = t (x) * x în substituția noastră anterioară. Atunci obținem dependența lui y de x.

Pentru a face mai clar, să luăm un exemplu: x * y `= y-x * e^{y / x}.

La verificarea cu înlocuirea totul este redus. Prin urmare, ecuația este într-adevăr omogenă. Acum facem o altă substituție, despre care am vorbit: y = t (x) * x și y `= t` (x) * x + t (x). După simplificare, obținem următoarea ecuație: t `(x) * x = -e^T. Rezolvăm exemplul rezultat cu variabile separate și primim: e^-T= ln (C * x). Ramane doar pentru noi sa inlocuim t cu y / x (pentru ca daca y = t * x, atunci t = y / x), si primim raspunsul: e^{-y / x}= ln (x * C).

Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

Este timpul să luați în considerare un alt subiect larg. Vom analiza ecuațiile diferențiale neomogene de ordinul întâi. Cum diferă acestea de cele două anterioare? Să ne dăm seama. Ecuațiile diferențiale liniare din prima ordine pot fi scrise în formă generală prin următoarea ecuație: y `+ g (x) * y = z (x). Merită precizat că z (x) și g (x) pot fi cantități constante.

Și acum un exemplu: y `- y * x = x².

Există două modalități de a rezolva și vom rezolva ambele ordine. Prima este metoda de variație a constantelor arbitrare.

Pentru a rezolva ecuația în acest fel, trebuie mai întâi să echivalăm partea dreaptă la zero și să rezolvăm ecuația rezultată, care după transferul pieselor va avea forma:

y `= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x²/ 2 + C;

y = e^{x2 / 2}* y^C= C₁* e^{x2 / 2}.

Acum trebuie să înlocuim constanta C₁ pe funcția v (x), pe care trebuie să o găsim.

y = v * e^{x2 / 2}.

Vom înlocui derivatul:

y `= v` * e^{x2 / 2}-x * v * e^{x2 / 2}.

Și vom înlocui aceste expresii în ecuația inițială:

v `* e^{x2 / 2} - x * v * e^{x2 / 2} + x * v * e^{x2 / 2} = x².

Se poate observa că în partea stângă doi termeni se anulează. Dacă într-un exemplu nu sa întâmplat asta, atunci ați făcut ceva greșit. Să continuăm:

v `* e^{x2 / 2} = x².

Acum rezolvăm ecuația obișnuită, în care trebuie să separăm variabilele:

dv / dx = x²/ e^{x2 / 2};

dv = x²* e^{-x2 / 2}dx.

Pentru a extrage integrala, va trebui sa aplicam integrarea prin parti. Totuși, aceasta nu este subiectul articolului nostru. Dacă sunteți interesat, puteți afla cum să faceți acest lucru singur. Nu este dificil, și cu suficientă pricepere și atenție nu durează prea mult.

Să ne îndreptăm spre a doua metodă de rezolvare a ecuațiilor neomogene: metoda Bernoulli. Ce abordare este mai rapidă și mai ușoară - depinde de dvs.

Deci, atunci când rezolvăm ecuația prin această metodă, trebuie să facem o substituție: y = k * n. Aici k și n sunt câteva funcții în funcție de x. Apoi derivatul va arata astfel: y `= k` * n + k * n `. Înlocuim ambele substituții în ecuația:

k `* n + k * n` + x * k * n = x².

Grupa sus:

k `* n + k * (n` + x * n) = x².

Acum trebuie să echivalăm la zero ceea ce este în paranteze. Acum, dacă combinăm cele două ecuații rezultate, obținem un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi, care trebuie rezolvate:

n `+ x * n = 0;

k `* n = x².

Prima ecuație este rezolvată ca o ecuație obișnuită. Pentru a face acest lucru, trebuie să separați variabilele:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Luăm integral și obținem: ln (n) = x²/ 2. Apoi, dacă exprimăm n:

n = e^{x2 / 2}.

Acum înlocuim egalitatea rezultantă în a doua ecuație a sistemului:

k `* e^{x2 / 2}= x².

Și transformându-ne, obținem aceeași egalitate ca și în prima metodă:

dk = x²/ e^{x2 / 2}.

De asemenea, nu vom dezasambla alte acțiuni. Merită să spunem că la început soluția ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi provoacă dificultăți semnificative. Cu toate acestea, cu o imersiune mai profundă în subiect, acesta începe să devină mai bun și mai bun.

Unde sunt utilizate ecuațiile diferențiale?

Efectele diferențiale foarte active sunt folosite în fizică, deoarece aproape toate legile de bază sunt scrise în formă diferențială, iar formulele pe care le vedem sunt soluțiile acestor ecuații. În chimie, ele sunt folosite din același motiv: legile de bază sunt derivate cu ajutorul lor. În biologie, ecuațiile diferențiale sunt folosite pentru a modela comportamentul sistemelor, de exemplu, prada prădătorilor. Ele pot fi, de asemenea, folosite pentru a crea modele de reproducere, să zicem, o colonie de microorganisme.

Cum vor ajuta ecuațiile diferențiale în viață?

Răspunsul la această întrebare este simplu: nu există nici un fel. Dacă nu sunteți un om de știință sau un inginer, este puțin probabil să le folosiți. Cu toate acestea, pentru o dezvoltare generală, nu este rău să știm ce este o ecuație diferențială și cum este rezolvată. Și apoi întrebarea fiului sau fiicei "care este ecuația diferențială?" Nu te pune într-o colț-sac. Dacă sunteți un om de știință sau un inginer, înțelegeți importanța acestui subiect în orice știință. Dar cel mai important lucru este că acum întrebarea "cum să rezolve ecuația diferențială a primei ordini?" puteți da întotdeauna un răspuns. Sunt de acord, este întotdeauna plăcut când înțelegi ceea ce oamenii chiar se tem să înțeleagă.

Principalele probleme ale studiului

Principala problemă în înțelegerea acestui subiect este abilitatea slabă de integrare și de diferențiere a funcțiilor. Dacă nu luați rău derivate și integrale, probabil că este bine să învățați, să învățați diferite metode de integrare și diferențiere și abia apoi să începeți să studiați materialul descris în articol.

Unii oameni sunt surprinși când află că dx poate fi transferat, deoarece mai devreme (la școală) sa susținut că fracțiunea dy / dx este indivizibilă. Aici trebuie să citiți literatura despre derivat și să înțelegeți că este raportul dintre cantitățile infinitezimale care pot fi manipulate în rezolvarea ecuațiilor.

Mulți oameni nu își dau seama imediat că soluția ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi este adesea o funcție sau un integru non-integral, iar această iluzie îi dă multe probleme.

Ce altceva poate fi studiat pentru o înțelegere mai bună?

Este mai bine să începeți să vă imersați în continuare în lumea calculului diferențial din manualele de specialitate, de exemplu, în analiza matematică pentru studenții de specialități non-matematice. Apoi puteți merge la o literatură mai specializată.

Merită să menționăm că, în plus față de ecuațiile diferențiale, există și ecuații integrale, astfel încât să aveți întotdeauna ceva de a căuta și de a studia.

concluzie

Sperăm că după citirea acestui articol aveți o idee despre ce ecuații diferențiale sunt și cum să le rezolvați în mod corect.

În orice caz, matematica în orice mod util pentru noi în viață. Ea dezvoltă logică și atenție, fără de care fiecare persoană este ca fără mâini.