Calculul diferențial al unei funcții de una și mai multe variabile

Calculul diferențial este o secțiune a analizei matematice care studiază derivatul, diferențialele și utilizarea lor în studiul funcțiilor.

Istoria apariției

Calculul diferentiala a apărut ca o disciplină independentă în a doua jumătate a secolului al 17-lea, datorită muncii lui Newton și Leibniz, care a formulat prevederile de bază în calcularea diferențelor și a observat legătura între integrare și diferențiere. Din moment ce el a dezvoltat disciplina, impreuna cu calculul integralelor, constituind astfel baza analizei matematice. Apariția acestor calculi a deschis o nouă perioadă modernă în lumea matematică și a determinat apariția unor discipline noi în știință. De asemenea, sa extins posibilitatea aplicării științei matematice în domeniul științei și tehnologiei naturale.

Concepte de bază

Calculul diferențial se bazează pe conceptele fundamentale ale matematicii. Acestea sunt: numărul real, continuitate, funcție și limită. După un timp au luat un aspect modern, datorită calculului integral și diferențial.

Procesul de creare

Formarea calculului diferențial sub formă de metodă aplicată și apoi științifică a apărut înainte de apariția teoriei filosofice create de Nikolai Kuzansky. Lucrarea sa este considerată o evoluție evolutivă din judecățile științei antice. În ciuda faptului că filosoful însuși nu era un matematician, contribuția sa la dezvoltarea științei matematice este incontestabilă. Kuzansky a fost unul dintre primii care lasă considerația de aritmetică drept cel mai precis domeniu al științei, punând sub semnul întrebării matematica din acea vreme.

În matematicienii antic, criteriul universal era o unitate, în timp ce filosoful oferă ca infinitate nouă măsură în locul unui număr exact. În acest sens, reprezentarea acurateței în știința matematică este inversată. Cunoștințele științifice, potrivit lui, sunt împărțite în rațional și intelectual. Cel de-al doilea este mai precis, potrivit unui om de știință, deoarece prima oferă doar un rezultat aproximativ.

idee

Ideea de bază și conceptul în calculul diferențial sunt legate de funcția din cartierele mici ale anumitor puncte. Pentru aceasta, este necesar să se creeze un aparat matematic pentru investigarea unei funcții a cărei comportare într-o mică vecinătate a punctelor stabilite este apropiată de comportamentul unui polinom sau al unei funcții lineare. Aceasta se bazează pe definiția derivatului și a diferențialului.

Apariția conceptului de derivat a fost cauzată de un număr mare de probleme din domeniul științelor naturii și matematicii, care au condus la găsirea valorilor limitelor de un singur tip.

Una dintre sarcinile principale care sunt date ca exemplu, începând cu cele mai vechi clase de școală, este de a determina viteza de deplasare a unui punct într-o linie dreaptă și construcția liniei tangente la această curbă. Diferentialul legat de acest lucru, deoarece este posibil să aproximeze funcția într-un mic cartier al punctului unei funcții liniare.

În comparație cu conceptul de derivat funcțiile unei variabile reale, definiția diferențelor se îndreaptă pur și simplu către o funcție de natură generală, în special, la imaginea unui spațiu euclidian pe altul.

Derivatul

Fie ca punctul să se deplaseze de-a lungul axei Oy, în timp vom lua x, care este măsurat de la un anumit început al momentului. Putem descrie această deplasare prin funcția y = f (x), care este asociată cu fiecare moment x al coordonatei punctului mutat. Această funcție în mecanică ar trebui să fie numită legea mișcării. Caracteristica principală a mișcării, în special inegală, este viteza instantanee. Atunci când punctul se deplasează de-a lungul axei Oy în conformitate cu legea mecanicii, atunci la un timp aleator x acesta dobândește coordonatele f (x). Momentul x + Delta-x, unde Delta-x reprezintă creșterea timpului, cadinatul său va fi f (x + Delta-x). Deci formula se formează Delta-y = f (x + Delta-x) -f (x), care se numește incrementarea funcției. Este o cale traversată într-un timp de la x la x + Delta-x.

În legătură cu apariția acestei viteze, un derivat este introdus în momentul de timp. Într-o funcție arbitrară derivatul la un punct fix se numește limita (sub condiția existenței sale). Poate fi desemnat prin anumite simboluri:

frsquo- (x), yrsquo, ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Procesul de calcul al unui derivat se numește diferențiere.

Calculul diferențial al unei funcții a mai multor variabile

Această metodă de calcul este utilizată în studiul unei funcții cu mai multe variabile. În prezența a două variabile x și y, derivatul parțial față de x la punctul A se numește derivatul acestei funcții în raport cu x cu y fix.

Pot fi notate cu următoarele caractere:

(x) (x, y), ursquo- (x), part-u / part-x sau parte-f (x, y) rsquo- / part-x.

Competențe necesare

Pentru a învăța cu succes și pentru a putea rezolva difuzoarele, sunt necesare competențe în integrare și diferențiere. Pentru a face mai ușor înțelegerea ecuațiilor diferențiale, trebuie să înțelegeți bine subiectul derivatului și indeterminat integral. De asemenea, nu durează să înveți cum să căutați un derivat al unei funcții implicite. Acest lucru se datorează faptului că în procesul de studiu este adesea necesar să se utilizeze integrale și diferențiere.

Tipuri de ecuații diferențiale

Practic, în toate lucrările de control legate de ecuații diferențiale de ordinul întâi, există trei tipuri de ecuații: omogene, cu variabile separabile, liniar non-omogene.

Există, de asemenea, mai multe soiuri de ecuații: cu diferențiale complete, ecuații Bernoulli și altele.

Soluții de bază

În primul rând, trebuie să ne amintim ecuațiile algebrice de la cursul școlii. Ele conțin variabile și numere. Pentru a rezolva ecuația obișnuită, este necesar să găsim un set de numere care să satisfacă condiția dată. De regulă, aceste ecuații aveau doar o singură rădăcină, iar pentru a verifica corectitudinea, era necesar doar înlocuirea acestei valori pentru locul necunoscutului.

Ecuația diferențială este similară cu aceasta. În cazul general, această ecuație de ordinul întâi include:

• Valoare independentă.
• Derivatul primei funcții.
• Funcție sau variabilă dependentă.

În unele cazuri, poate exista nici un necunoscut, x sau y, dar nu este la fel de important, deoarece este necesar să aibă primul derivat, fără derivați de ordin superior la soluție și calculul diferențial au fost adevărate.

Pentru a rezolva o ecuație diferențială este de a găsi setul de toate funcțiile care se potrivesc expresiei date. Un astfel de set de funcții este deseori numit soluția generală a DW.

Calcul integrat

calcul integral este una dintre secțiunile de analiză matematică, care examinează conceptul, proprietățile și metodele de calcul sale integrale.

Adesea, calculul integrității are loc atunci când se calculează suprafața unei figuri curbilinii. Prin aceasta înseamnă o zonă limită, față de care o suprafață predeterminată a formei poligon înscris cu o creștere treptată în mână, iar partea de date poate fi mai mică decât orice specificat anterior arbitrar o valoare mică.

Ideea principală în calcularea zonei unei figuri geometrice arbitrare este de a calcula aria dreptunghiului, adică de a dovedi că suprafața sa este egală cu produsul de lungime și lățime. Când vine vorba de geometrie, atunci toate construcțiile sunt realizate folosind o riglă și o busolă, iar apoi raportul dintre lungime și lățime este o valoare rațională. Când se calculează aria unui triunghi dreptunghiular, puteți determina că, dacă puneți același triunghi lângă el, se formează un dreptunghi. În paralelogramă, zona este calculată printr-o metodă similară, dar ușor mai complicată, printr-un dreptunghi și un triunghi. În poligoane, zona este calculată prin triunghiurile care o introduc.

Când se determină mila unei curbe arbitrare, această metodă nu funcționează. Dacă o împărțiți în pătrate unice, vor exista spații goale. În acest caz, încercați să utilizați două capace, cu dreptunghiuri în partea de sus și de jos, astfel încât acestea să includă un grafic de funcții și să nu le includeți. Important este modul de a sparge aceste dreptunghiuri. De asemenea, dacă luăm pauză mai mult și mai redus, zona de sus și de jos ar trebui să conveargă la o anumită valoare.

Este necesar să reveniți la metoda de împărțire în dreptunghiuri. Există două metode populare.

Riemann a fost formalizată definiția integralei, creat de Leibniz și Newton, ca zona subgrafic. În acest caz, am considerat forme formate dintr-un număr de dreptunghiuri verticale și obținute prin împărțirea segmentului. Când rupere o scădere există o limită căreia suprafața redusă a unei astfel de figură, această limită se numește integrala Riemann a unei funcții la un interval specificat.

O a doua metodă este de a construi Lebesgue integral, care constă în faptul că, în loc de separare zonă desemnată pe o parte a integrantul și compilarea atunci suma integrală a valorilor obținute în aceste părți, la intervale de timp împărțit gama de valori și apoi însumate cu măsurile corespunzătoare imagini inverse ale acestor integralele.

Beneficii moderne

Unul dintre manualele principale privind studiul calculului diferențial și integral a fost scris de Fichtenholz, "Cursul Calculului Diferențial și Integral". Manualul său este un ajutor fundamental în studiul analizei matematice, care a rezistat multor publicații și traduceri în alte limbi. Creat pentru studenți și a fost folosit de mult timp într-o varietate de instituții de învățământ ca unul dintre principalele ghiduri de studiu. Oferă date teoretice și abilități practice. A fost publicată prima dată în 1948.

Algoritmul cercetării funcțiilor

Pentru a investiga metodele funcției de calcul diferențial, este necesar să urmăm algoritmul deja definit:

1. Găsiți domeniul funcției.
2. Găsiți rădăcinile unei ecuații date.
3. Calculați extrema. Pentru a face acest lucru, calculați derivatul și punctele în care acesta este egal cu zero.
4. Înlocuim valoarea obținută în ecuație.

Soiuri de ecuații diferențiale

DU de ordinul întâi (cu alte cuvinte, calculul diferențial al unei variabile) și tipurile acestora:

• Ecuația cu variabile de separare: f (y) dy = g (x) dx.
• Ecuațiile cele mai simple sau calculul diferențial al unei funcții a unei variabile au formula: y `= f (x).
• Un DD liniar non-omogen de ordinul întâi: y `+ P (x) y = Q (x).
• Ecuația diferențială Bernoulli: y `+ P (x) y = Q (x) y^o .
• Ecuația cu diferențiale totale: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Ecuații diferențiale de ordinul doi și tipurile acestora:

• O ecuație diferențială omogenă a ordinii a doua cu valori constante ale coeficientului: yⁿ+py `+ qy = 0 p, q aparține R.
• O ecuație diferențială liniară non-homogenă a ordinii a doua cu o valoare constantă a coeficienților: y<sup>n</sup>+pi `+ qy = f (x).
• Ecuația diferențială omogenă liniară: yⁿ+p (x) y `+ q (x) y = 0 și o ecuație neomogenă de ordinul doi: y<sup>n</sup>+p (x) y `+ q (x) y = f (x).

Ecuații diferențiale ale ordinelor superioare și a tipurilor lor:

• Ecuație diferențială, care permite o scădere în ordine: F (x, y^(K),y^{(k + 1)},..,y^(N)= 0.
• O ecuație liniară de ordin superior este omogenă: y^(N)+f_(N-1)y^(N-1)+...+f₁y `+ f<sub>0</sub>y = 0, și eterogen: y<sup>(N)</sup>+f<sub>(N-1)</sub>y<sup>(N-1)</sup>+...+f<sub>1</sub>y `+ f₀y = f (x).

Pași de rezolvare a unei probleme cu o ecuație diferențială

Cu ajutorul DU, nu sunt rezolvate numai chestiuni matematice sau fizice, ci și diverse probleme din biologie, economie, sociologie și așa mai departe. În ciuda unei mari varietăți de subiecte, ar trebui să urmați o singură secvență logică în rezolvarea unor astfel de probleme:

1. Realizarea DM. Una dintre etapele cele mai dificile, care necesită precizie maximă, deoarece orice eroare va duce la rezultate complet incorecte. Este necesar să se ia în considerare toți factorii care influențează procesul și să se determine condițiile inițiale. De asemenea, ar trebui să se bazeze pe fapte și concluzii logice.
2. Soluția ecuației compilate. Acest proces este mai simplu decât primul punct, deoarece necesită doar o executare strictă a calculelor matematice.
3. Analiza și evaluarea rezultatelor. Soluția rezultată trebuie evaluată pentru a stabili valoarea practică și teoretică a rezultatului.

Un exemplu de utilizare a ecuațiilor diferențiale în medicină

Utilizarea telecomenzii în domeniul medicinii se regăsește în construcția modelului matematic epidemiologice. Nu ar trebui să uităm că aceste ecuații sunt, de asemenea, găsite în biologie și chimie, care sunt aproape de medicament, deoarece aceasta joacă un rol important studiul diferitelor populatii biologice si procese chimice din corpul uman.

În cazul epidemiei, poate fi luată în considerare răspândirea infecției într-o societate izolată. Locuitorii sunt împărțiți în trei tipuri:

• Infectat, numărul x (t), constând din indivizi, purtători de infecție, fiecare fiind contagioasă (perioada de incubație este scurtă).
• A doua specie include persoane susceptibile de y (t), capabile de a contracta atunci când acestea sunt în contact cu infectate.
• Cea de-a treia specie include indivizii non-susceptibili z (t), care sunt imuni sau au murit din cauza bolii.

Numărul de persoane este constant, înregistrările de naștere, decesele naturale și migrația nu sunt luate în considerare. În baza vor exista două ipoteze.

procentual al bolii la un anumit moment de timp este egal cu x (t) y (t) (ipoteză bazată pe teoria că numărul de cazuri în mod proporțional cu numărul de intersecții dintre pacienți și membri care răspund, care, în primă aproximație este proporțională cu x (t) y (t)), în prin urmare, numărul de cazuri este în creștere, iar numărul de scăderi sensibile la o rată care se calculează cu formula ax (t) y (t) (a> 0).

Numărul de indivizi insensibili care au dobândit imunitate sau decedat crește cu o rată proporțională cu numărul de cazuri, bx (t) (b> 0).

Ca urmare, este posibil să se compună un sistem de ecuații care să țină cont de toți cei trei indicatori și să tragă concluzii pe baza sa.

Exemplu de utilizare în economie

Calculul diferențial este adesea folosit în analiza economică. Principala sarcină în analiza economică este studierea cantităților din economie, care sunt scrise sub forma unei funcții. Acest lucru este folosit pentru a rezolva probleme cum ar fi modificarea veniturilor imediat după majorarea impozitelor, introducerea taxelor, modificarea veniturilor companiei atunci când se modifică valoarea producției, în ce măsură angajații înlocuiți pot fi înlocuiți cu echipamente noi. Pentru a rezolva astfel de întrebări, este necesară construirea unei funcții de legătură din variabilele primite, care sunt apoi studiate folosind calcul diferențial.

În sfera economică, este adesea necesar să se găsească indicatorii cei mai optimi: productivitatea maximă a muncii, cel mai mare venit, cele mai mici costuri și așa mai departe. Fiecare astfel de indicator este o funcție a unuia sau mai multor argumente. De exemplu, producția poate fi considerată ca o funcție a cheltuielilor de muncă și de capital. În acest sens, găsirea unei valori adecvate poate fi redusă la găsirea unei valori maxime sau minime a unei funcții de la una sau mai multe variabile.

Astfel de probleme creează o clasă de probleme extreme în domeniul economic, pentru care este necesar un calcul diferențial. Atunci când este necesar indicatorul economic pentru a minimiza sau pentru a maximiza în funcție de alți parametri, raportul de creștere punctul maxim la funcția de argumentele vor tinde la zero în cazul incrementarea argumentului tinde la zero. Altfel, când o astfel de atitudine tinde la o anumită valoare pozitivă sau negativă, punctul specificat nu este adecvat, deoarece prin creșterea sau descreșterea argumentului poate fi modificată valoare dependentă în direcția dorită. În terminologia calcul diferențial, acest lucru ar însemna că condițiile necesare pentru funcția maximă este o valoare zero a derivatului său.

În economie, există adesea probleme de a găsi un extremum al unei funcții cu mai multe variabile, deoarece indicatorii economici sunt compuși din mai mulți factori. Întrebările similare sunt bine studiate în teoria funcțiilor mai multor variabile, folosind metode de calcul diferențial. Astfel de sarcini includ nu numai funcții maximizate și minimizate, ci și limitări. Întrebările similare se referă la programarea matematică și sunt rezolvate cu ajutorul unor metode special dezvoltate, bazate și pe această secțiune a științei.

Printre metodele de calcul diferențial utilizate în economie, o secțiune importantă este analiza marginală. În sfera economică, acest termen se referă la un set de metode pentru studierea indicatorilor variabili și a rezultatelor atunci când se schimbă volumul creării, consumului, pe baza unei analize a limitelor lor. Indicele de limitare este derivatul sau derivatele parțiale cu mai multe variabile.

Calculul diferențial al mai multor variabile este un subiect important din domeniul analizei matematice. Pentru un studiu detaliat, pot fi folosite diferite materiale didactice pentru instituțiile de învățământ superior. Unul dintre cele mai faimoase creaturi Fichtenholz - "Cursul calculului diferențial și integral". După cum reiese din titlu, abilitățile de lucru cu integralele au o importanță considerabilă pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale. Când are loc calculul diferențial al unei funcții a unei variabile, soluția devine mai simplă. Deși trebuie remarcat faptul că respectă aceleași reguli de bază. Pentru a exersa funcția în calculul diferențial, este suficient să urmăm algoritmul deja disponibil, care este dat în clasele superioare ale școlii și este doar puțin complicat atunci când sunt introduse variabile noi.