Transformarea Fourier. Rapidă transformare Fourier. Transformarea Fourier discretă

Transformarea Fourier este o transformare care asociază funcțiile cu o anumită variabilă reală. Această operație este efectuată de fiecare dată când auzim sunete diferite. Urechea produce un "calcul" automat, pe care conștiința noastră o poate face numai după ce a studiat secțiunea corespunzătoare a matematicii superioare. organ auz într-o transformare umană construiește, în care sunetul (mișcarea vibratorie convențională a particulelor într-un mediu elastic, care se propagă în formă de undă în mediu solid, lichid sau gazos) este prevăzut într-un interval de valori consecutive ale nivelului volumului de tonuri de diferite înălțimi. După aceea, creierul transformă această informație într-un sunet familiar.

Transformarea matematică Fourier

Transformarea undelor sonore sau procese alte vibrații (prin emisie de lumină și de maree oceanelor și la ciclurile stelare sau solare) poate fi realizată și prin intermediul unor metode matematice. Astfel, folosind aceste tehnici, funcțiile pot fi extinse prin introducerea proceselor vibraționale set de componente sinusoidale, adică curbele ondulate, care merg de la un minim la un maxim și apoi din nou la un nivel minim, ca valul mării. Transformarea Fourier este o transformare a cărei funcție descrie faza sau amplitudinea fiecărui sinusoid care corespunde unei anumite frecvențe. Faza este punctul de plecare al curbei, iar amplitudinea este înălțimea acesteia.

Transformarea Fourier (exemple sunt prezentate în fotografie) este un instrument foarte puternic care este folosit în diferite domenii ale științei. În unele cazuri, este folosit ca un mijloc de rezolvare a unor ecuații destul de complicate care descriu procese dinamice care apar sub influența luminii, căldurii sau energiei electrice. În alte cazuri, ne permite să determinăm componentele obișnuite în semnale de oscilație complexe, datorită acestui fapt este posibilă interpretarea corectă a diferitelor observații experimentale în chimie, medicină și astronomie.

Istoricul istoric

Prima persoană care a aplicat această metodă a fost matematicianul francez Jean Baptiste Fourier. Transformarea, denumită mai târziu după aceasta, a fost inițial utilizată pentru a descrie mecanismul de conductivitate termică. Fourier și-a petrecut întreaga viață adultă studiind proprietățile căldurii. El a adus o mare contribuție la teoria matematică de determinare a rădăcinilor ecuațiilor algebrice. Fourier a fost profesor de analiză la Ecole Polytechnique, secretarul Institutului de Egiptologie, a fost serviciul imperial, care a provocat agitație în momentul de construcție a drumului spre Torino (sub conducerea sa a fost golit de mai mult de 80 de mii de kilometri pătrați de mlaștini malarie). Cu toate acestea, toată această activitate activă nu a împiedicat omul de știință să facă analize matematice. În 1802 a derivat o ecuație care descrie propagarea căldurii în solide. În 1807, omul de știință a descoperit o metodă pentru rezolvarea acestei ecuații, numită "transformarea Fourier".

Analiza conductivității termice

Omul de știință a folosit o metodă matematică pentru a descrie mecanismul de conductivitate termică. Un exemplu convenabil, în care nu există dificultăți în calcul, este propagarea energiei termice de-a lungul unui inel de fier imersat într-o singură bucată de un incendiu. Pentru a efectua experimentele, Fourier a încălzit partea roșie a inelului și a îngropat-o în nisip fin. După aceea, măsura temperatura pe partea opusă. Inițial, distribuția căldurii este neregulată: o parte a inelului este rece și cealaltă este fierbinte, poate fi observat un gradient puternic de temperatură între aceste zone. Cu toate acestea, în procesul de propagare a căldurii pe întreaga suprafață a metalului, devine mai uniform. Deci, în curând acest proces are forma unui sinusoid. La început graficul crește treptat și, de asemenea, scade ușor, exact conform legilor schimbării funcției cosinusului sau sinusului. Valul se apleacă treptat și, ca rezultat, temperatura devine aceeași pe întreaga suprafață a inelului.

Esența analizei

Aplicând această analiză la conversia distribuției căldurii asupra obiectului solid, având o formă inelară, un matematician motivat că perioadele în creștere ale componentelor sinusoidale conduc la o amortizare rapida. Acest lucru este bine urmărit pe armonicile fundamentale și cele de-a doua. În cel de-al doilea, temperatura atinge valorile maxime și minime de două ori într-o singură trecere, iar în prima o singură dată. Se pare că distanța depășită de căldură în a doua armonică va fi jumătate față de cea principală. În plus, gradientul în al doilea va fi, de asemenea, de două ori mai mare decât primul. În consecință, deoarece un flux de căldură mai intens trece pe o distanță cât mai largă, armonica dată se va deteriora de patru ori mai repede decât cea fundamentală, în funcție de timp. În continuare, acest proces va continua chiar mai repede. Matematicianul a crezut că această metodă ne permite să calculam procesul de distribuție inițială a temperaturii în timp.

Provocați contemporanilor

Algoritmul transformării Fourier a devenit o provocare pentru fundamentele teoretice ale matematicii din acea vreme. În secolul al XIX-lea, cei mai mulți oameni de știință, inclusiv Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre și Biot nu a acceptat afirmația lui că temperatura distribuția inițială este descompus în componente sub forma undei fundamentale și frecvența mai mare. Cu toate acestea, Academia de Științe nu a putut ignora rezultatele obținute de matematician și și-a onorat premiul pentru teoria legilor conducerii căldurii și, de asemenea, a comparat-o cu experimentele fizice. În abordarea Fourier, principala obiecție a fost cauzată de faptul că funcția discontinuă este reprezentată de suma mai multor funcții sinusoidale care sunt continue. La urma urmei, descriu ruperea liniilor drepte și curbe. om de știință contemporan nu a întâlnit o astfel de situație, atunci când funcțiile discontinue descrise printr-o combinație de continuă, cum ar fi pătratică, liniare, sine sau expozant. În cazul în care matematicianul avea dreptate în declarațiile sale, suma unei serii infinite de funcții trigonometrice trebuie redusă la un pas exact. La acel moment, o asemenea declarație părea absurdă. Cu toate acestea, în ciuda îndoielilor, unii cercetători (de exemplu, Claude Navier, Sophie Germain) au extins domeniul cercetării și i-au mutat dincolo de analiza distribuției energiei termice. Și între timp matematicienii au continuat să sufere întrebarea dacă suma mai multor funcții sinusoidale poate fi redusă la o reprezentare exactă a discontinuității.

200 de ani de istorie

Această teorie sa dezvoltat pe parcursul a două secole, astăzi în cele din urmă sa format. Cu ajutorul său, funcțiile spațiale sau temporale sunt împărțite în componente sinusoidale, care au propria lor frecvență, fază și amplitudine. Această transformare se obține prin două metode matematice diferite. Prima dintre ele se aplică în cazul în care funcția inițială este continuă, iar cea de-a doua - în cazul în care este reprezentată de un set de modificări individuale discrete. Dacă expresia este obținută din valori, care sunt definite la intervale discrete, acesta poate fi împărțit în mai multe discrete frecvențe de sinusoide expresii - de la cea mai mică și apoi sa dublat, triplat, și așa mai departe deasupra fundamentală. O astfel de sumă este de obicei numită Seria Fourier. Dacă expresia inițială este dată de o valoare pentru fiecare număr real, atunci ea poate fi descompusă în mai multe frecvențe posibile sinusoidale. Acesta este de obicei numit integrale Fourier, iar soluția implică transformările integrale ale funcției. Indiferent de metoda de obținere a transformării, trebuie indicate două numere pentru fiecare frecvență: amplitudinea și frecvența. Aceste valori sunt exprimate ca un singur număr complex. Teoria expresiei variabilelor complexe în legătură cu transformarea Fourier ne-a permis să realizăm calcule pentru construirea diferitelor circuite electrice, analiza oscilațiilor mecanice, studiul mecanismului de propagare a undelor și altele.

Transformarea Fourier azi

În zilele noastre, studiul acestui proces se reduce în principal la găsirea unor metode eficiente de tranziție de la o funcție la o formă transformată și înapoi. Această soluție se numește transformarea directă și inversă Fourier. Ce înseamnă asta? Pentru a determină integritatea și pentru a produce o transformare directă Fourier, se pot folosi metode matematice sau chiar și cele analitice. În ciuda faptului că atunci când le folosesc în practică există anumite dificultăți, majoritatea integrali au fost deja găsite și incluse în cărțile de referință matematice. Utilizând metode numerice, este posibil să se calculeze expresii, ale căror forme se bazează pe date experimentale sau funcții ale căror integrale sunt absente în tabele și care sunt dificil de prezentat în formă analitică.

Înainte de apariția tehnologiei computerelor, calculele unor astfel de transformări erau foarte plictisitoare, necesitau executarea manuală a unui număr mare de operații aritmetice, care depindea de numărul de puncte care descriu funcția de undă. Pentru a facilita calculele, astăzi există programe speciale care permit implementarea unor noi metode analitice. Deci, în 1965 James Cooley și John Tewki au creat software-ul care a devenit cunoscut sub numele de "transformarea rapidă a lui Fourier". Salvează timpul calculelor prin reducerea numărului de multiplicări din analiza curbei. Metoda "rapidă a transformării Fourier" se bazează pe împărțirea curbei într-un număr mare de valori uniforme ale eșantionului. În consecință, numărul de multiplicări este redus la jumătate cu aceeași scădere a numărului de puncte.

Aplicați transformarea Fourier

Acest proces este folosit în diverse domenii ale științei: în teoria numerelor, fizica, prelucrarea semnalelor, combinatorice, teoria probabilităților, criptografie, statistică, oceanologie, optică, acustică, geometrie și altele. Posibilitățile bogate ale aplicării sale se bazează pe o serie de caracteristici utile, care au fost denumite "proprietățile de transformare Fourier". Luați în considerare.

1. Transformarea unei funcții este un operator liniar și cu o normalizare corespunzătoare este unitară. Această proprietate este cunoscut sub numele de teorema lui Parseval, sau, în cazul general, teorema Plansherelja sau Pontrjagin dualismului.

2. Transformarea este reversibilă. Iar rezultatul invers are aproape aceeași formă ca și cu o soluție directă.

Expresiile de bază sinusoidale sunt funcțiile proprii. Aceasta înseamnă că o astfel de reprezentare se schimbă ecuații liniare cu un coeficient constant în cele obișnuite algebrice.

4. Conform teoremei "convoluției", acest proces transformă o operație complexă într-o multiplicare elementară.

5. Transformarea discretă Fourier poate fi rapid calculată pe un calculator folosind metoda "rapidă".

Soiurile transformării Fourier

1. Cel mai adesea termenul este folosit pentru a se referi la o transformare continuă, furnizând orice expresie quadratically integrabil ca suma expresiei exponențiale complexe cu frecvențe unghiulare specifice și amplitudini. Această specie are mai multe forme diferite, care pot fi diferite în ceea ce privește coeficienții constanți. O metodă continuă include un tabel de conversie, care poate fi găsit în cărțile de referință matematice. Un caz generalizat este o transformare fracționară, prin intermediul căreia procesul dat poate fi ridicat la puterea reală necesară.

2. Metoda continuă este o generalizare a tehnicii timpurii a seriilor Fourier definite pentru diferite funcții periodice sau expresii care există într-o zonă limitată și le reprezintă ca rânduri de sinusoide.

3. Transformare discretă Fourier. Această metodă este folosită în tehnologia computerizată pentru calcule științifice și pentru procesarea semnalelor digitale. Pentru a realiza acest tip de calcul este necesar să aibă o funcție de determinare pe un set discret de puncte individuale, regiunea periodică sau limitată în loc de integralelor Fourier continue. Convertirea semnalului în acest caz este reprezentată ca suma sinusoidelor. În același timp, utilizarea metodei "rapide" ne permite să aplicăm soluții discrete pentru orice sarcini practice.

4. Transformata Fourier fereastră este o formă generalizată a metodei clasice. Spre deosebire de soluțiile standard, atunci când se utilizează spectrul de semnal, care este luat în întreaga gamă de existență a acestei variabile este de interes particular aici este doar distribuția frecvenței locale menținând în același timp variabila original (timp).

5. Transformare Fourier bidimensională. Această metodă este folosită pentru a lucra cu seturi de date bidimensionale. În acest caz, mai întâi transformarea se face într-o direcție, apoi în cealaltă.

concluzie

Astăzi, metoda Fourier este ferm înrădăcinată în diferite domenii ale științei. De exemplu, în 1962, forma unei dublu helix ADN a fost descoperită utilizând analiza Fourier în combinație cu difracția cu raze X. Acestea din urmă s-au concentrat asupra cristalelor de fibre ADN, în urma cărora imaginea obținută în timpul difracției radiației a fost înregistrată pe film. Această imagine a furnizat informații privind valoarea amplitudinii atunci când se utilizează transformarea Fourier la structura cristalină dată. Datele privind faza au fost obținute prin compararea hărții de difracție a ADN-ului cu hărțile obținute la analizarea unor astfel de structuri chimice. Ca rezultat, biologii au restaurat structura cristalului - funcția inițială.

Transformata Fourier joaca un rol foarte important în studiul spațiului cosmic, fizica materialelor semiconductoare și a plasmei, acustica cu microunde, oceanografia, radar, Seismologie și examene medicale.