Derivații de numere: metode de calcul și exemple

Probabil, conceptul de derivat este familiar pentru fiecare dintre noi de la școală. De obicei, elevii au dificultăți în a înțelege acest lucru, fără îndoială, foarte important. Este folosit în mod activ în diferite domenii ale vieții oamenilor, iar multe dezvoltări tehnologice s-au bazat pe calcule matematice obținute cu ajutorul unui derivat. Dar înainte de a continua să analizăm ce derivate ale numerelor sunt, cum să le calculeze și unde ele vor fi utile pentru noi, să mergem puțin în istorie.

poveste

Conceptul de derivat, care este baza analizei matematice, a fost deschis (chiar mai bine să spun „inventat“, pentru că este, ca atare, nu există în natură) de Isaac Newton, care știm cu toții de la descoperirea legii gravitației. Acesta a fost primul care a aplicat acest concept în fizică pentru a asocia natura vitezei și accelerației corpurilor. Și mulți oameni de știință încă laudă Newton pentru această invenție magnifică, pentru că, de fapt, el a inventat baza de calcul diferențial și integral, baza factuală a întregului domeniu al matematicii numita „analiză matematică“. Dacă la acel moment, Premiul Nobel, Newton, cel mai probabil, l-ar fi primit de mai multe ori.

Nu fără celelalte minți mari. În plus față de Newton privind dezvoltarea unor astfel prelucrate genii eminente derivate și integrale ale matematicii ca Leonhard Euler, Lagrange și Louis Gottfried Leibniz. A fost datorită faptului că am obținut teoria calculul diferențial în forma în care există până în prezent. Apropo, acest Leibniz a descoperit sensul geometric al derivatului, care sa dovedit a fi nimic mai mult decât tangenta unghiului de panta a tangentei la graficul functiei.

Care sunt numerele derivate? Vom repeta un pic care a trecut la școală.

Ce este un derivat?

Puteți defini acest concept în mai multe moduri diferite. Cea mai simplă explicație: derivatul este rata de schimbare a unei funcții. Reprezentăm graficul unei anumite funcții y din x. Dacă aceasta nu este dreaptă, atunci are unele curbe în grafic, perioade de creștere și descreștere. Dacă luăm un interval infinit de mic al acestui grafic, acesta va fi un segment de linie dreaptă. Deci, raportul dimensiunii acestui segment infinit de mic de-a lungul coordonatei y la dimensiunea coordonatei x și va fi derivatul funcției dat la un anumit punct. Dacă luăm în considerare funcția ca un întreg și nu la un anumit punct, atunci primim o funcție a derivatului, adică o anumită dependență a jocului de x.

În plus, pe lângă asta semnificația fizică a derivatului deoarece rata de schimbare a funcției este de asemenea o semnificație geometrică. Despre el, vorbim acum.

Sens geometric

Derivații de numere în sine reprezintă un anumit număr, care fără o înțelegere corectă nu are niciun sens. Se pare că derivatul nu numai că arată rata de creștere sau descreștere a funcției, dar și tangenta unghiului de înclinare a tangentei la graficul funcției la un anumit punct. Nu este o definiție foarte clară. Să o examinăm mai detaliat. Să presupunem că avem un grafic al unei funcții (pentru interes, să luăm o curbă). Are un număr infinit de puncte, dar există zone în care numai un singur punct are un maxim sau un minim. Prin orice astfel de punct, puteți desena o linie care este perpendiculară pe graficul funcției în acel moment. O astfel de linie va fi numită tangentă. Să presupunem că am condus-o la intersecția cu axa OX. Deci, unghiul dintre tangenta si axa OX va fi determinat de derivat. Sau mai degrabă, tangenta acestui unghi va fi egală cu ea.

Să vorbim puțin despre cazuri particulare și să analizăm numerele derivate.

Cazuri speciale

Așa cum am spus deja, derivatele numerelor sunt valorile derivatului la un anumit punct. De exemplu, luați funcția y = x². Derivatul lui x este un număr, iar în cazul general o funcție egală cu 2 * x. Dacă trebuie să calculăm derivatul, să spunem, la punctul x₀= 1, atunci obținem y `(1) = 2 * 1 = 2. Este foarte simplu. Un caz interesant este derivatul număr complex. Nu vom ajunge la o explicație detaliată a numărului complex. Să spunem doar că acesta este un număr care conține așa numita unitate imaginară - un număr al cărui pătrat este -1. Calculul unui astfel de derivat este posibil numai dacă există următoarele condiții:

1) Trebuie să existe derivate parțiale de ordinul întâi din părțile reale și imaginare din joc și din x.

2) Condițiile Cauchy-Riemann asociate cu egalitatea derivatelor parțiale descrise în prima sub-secțiune sunt îndeplinite.

Un alt caz interesant, deși nu atât de complex ca cel precedent, este derivatul unui număr negativ. De fapt, orice număr negativ poate fi reprezentat ca pozitiv, înmulțit cu -1. Dar derivatul constantei si al functiei este egal cu constantul inmultit cu derivatul functiei.

Va fi interesant să învățați despre rolul derivatului în viața de zi cu zi și acest lucru discutăm acum.

cerere

Probabil, fiecare dintre noi, cel puțin o dată în viață, se prinde el însuși gândindu-se că matematica este greu de folos pentru el. Și un lucru atât de complex ca și derivatul, probabil, nu are nicio aplicație. De fapt, matematica este o știință fundamentală, iar toate fructele sale sunt dezvoltate în principal prin fizică, chimie, astronomie și chiar economie. Derivatul a marcat începutul analiza matematică, care ne-a oferit ocazia de a trage concluzii din graficele funcțiilor și am învățat să interpretăm legile naturii și să le transformăm în favoarea noastră mulțumită lui.

concluzie

Desigur, nu toată lumea poate avea nevoie de un derivat în viața reală. Dar matematica dezvoltă logică, care va fi cu siguranță necesară. Nu este absolut nimic despre faptul că matematica este numită regina științelor: ea constituie baza pentru înțelegerea altor domenii ale cunoașterii.