Metoda axiomatică: descriere, etape de formare și exemple

Metoda axiomatică este o metodă de construire a teoriilor științifice care au fost deja stabilite. Baza se bazează pe argumente, fapte, declarații care nu necesită dovada sau respingere. De fapt, această versiune a cunoașterii este prezentată sub forma unei structuri deductive, care include inițial rațiunea pentru conținutul fundațiilor - axiome.

Această metodă nu poate fi o deschidere, ci este doar un concept de clasificare. Este mai potrivită pentru predare. În esență, există ipoteze inițiale, iar informațiile rămase urmează o consecință logică. Unde este metoda axiomatică de construire a teoriei? Se află în structura celor mai moderne și mai bine stabilite științe.

Formarea și dezvoltarea conceptului de metodă axiomatică, definirea unui cuvânt

În primul rând, acest concept a provenit din Grecia antică datorită lui Euclid. El a devenit fondatorul metodei axiomatice în geometrie. Astăzi este obișnuit în toate științele, dar mai ales în matematică. Această metodă se formează pe baza afirmațiilor stabilite, iar teoriile ulterioare sunt derivate din construcția logică.

Acest lucru este explicat după cum urmează: există cuvinte și concepte care sunt definite de alte concepte. Ca rezultat, cercetătorii au ajuns la concluzia că există concluzii elementare care sunt justificate și sunt permanente - fundamentale, adică axiome. De exemplu, atunci când se dovedește o teoremă, ei se bazează de obicei pe fapte care sunt deja stabilite și nu necesită o respingere.

Dar înainte de aceasta au trebuit să fie justificați. În acest proces se dovedește că o afirmație nejustificată este luată ca o axiomă. Pe baza unui set de constante, alte teoreme dovedesc. Ele formează baza planimetriei și sunt structura logică a geometriei. Axiomele stabilite în această știință sunt definite ca obiecte de orice natură. Ei, la rândul lor, au proprietăți indicate în conceptele permanente.

Studii ulterioare ale axiomelor

Metoda a fost considerată ideală până în secolul al XIX-lea. Mijloacele logice de căutare a conceptelor de bază nu au fost studiate în acele vremuri, însă în sistemul euclidian se poate observa structura obținerii unor consecințe semnificative din metoda axiomatică. Cercetătorul de cercetare a arătat ideea de a obține un sistem complet de cunoștințe geometrice pe baza unei căi pur deductive. Li sa oferit un număr relativ mic de axiome aprobate, care sunt adevărate vizual.

Meritul minții antice grecești

Euclid a demonstrat multe concepte, unele dintre ele fiind justificate. Cu toate acestea, cele mai multe atribuie aceste merite Pitagora, Democritului și Hipocratei. Acesta din urmă a compilat un curs complet de geometrie. Cu toate acestea, mai târziu în Alexandria a ieșit colecția "Începutul", autorul căruia era Euclid. Apoi, a fost redenumită "Geometrie elementară". După ceva timp a fost criticat pe baza unor motive:

• toate valorile au fost construite numai cu ajutorul unui conducător și a unei busole;
• Geometria și aritmetica au fost dezbinate și dovedite cu respectarea numerelor și conceptelor rezonabile;
• axiome, unele dintre ele, în special cel de-al cincilea postulat, propuse a fi eliminate din lista generală.

Ca rezultat, geometria non-euclidiană apare în secolul al XIX-lea, în care nu există un postulat în mod obiectiv. Această acțiune a dat un impuls dezvoltării ulterioare a sistemului geometric. Astfel, cercetătorii matematici au ajuns la metode deductive de construcție.

Dezvoltarea cunoștințelor matematice bazate pe axiome

Când noul sistem de geometrie a început să se dezvolte, sa schimbat și metoda axiomatică. În matematică au început să se transforme mai des în construcția pur deductivă a teoriei. Drept rezultat, un întreg sistem de dovezi a apărut în logica numerică modernă, care este ramura principală a întregii științe. Structura matematică a început să înțeleagă nevoia de justificare.

Astfel, până la sfârșitul secolului s-au format sarcini clare și construirea de concepte complexe, care, dintr-o teoremă complexă, au fost reduse la cea mai simplă afirmație logică. Astfel, geometria non-euclidiană a stimulat o bază solidă pentru continuarea existenței metodei axiomatice, precum și pentru rezolvarea problemelor generale ale construcțiilor matematice:

• consistență;
• completitudinea;
• independență.

În acest proces a apărut și a dezvoltat cu succes metoda de interpretare. Această metodă este descrisă după cum urmează: pentru fiecare concept de ieșire, un obiect matematic este pus în teorie, a cărui totalitate se numește câmp. Declarația despre elementele specificate poate fi falsă sau adevărată. Drept rezultat, afirmațiile sunt date în funcție de concluzii.

Particularitățile teoriei interpretării

Ca regulă, câmpul și proprietățile sunt de asemenea examinate într-un sistem matematic și, la rândul său, pot deveni axiomatice. Interpretarea dovedește afirmații în care există o coerență relativă. O opțiune suplimentară este o serie de fapte în care teoria devine contradictorie.

De fapt, condiția este îndeplinită într-o serie de cazuri. Ca rezultat, se pare că, dacă în declarațiile uneia dintre afirmații există două concepte false sau adevărate, atunci este considerată negativă sau pozitivă. Prin această metodă, s-a dovedit consistența geometriei euclideene. Prin metoda interpretării, este posibilă rezolvarea problemei independenței sistemelor de axiome. Dacă este necesar să se respingă o teorie, este suficient să se demonstreze că unul dintre concepte nu este derivat din celălalt și este eronat.

Cu toate acestea, împreună cu declarațiile de succes, metoda are unele deficiențe. Coerența și independența sistemelor de axiomuri sunt rezolvate ca întrebări care primesc rezultate relativ în natură. Singura realizare importantă a interpretării este descoperirea rolului aritmeticii ca structură în care problema coerenței este redusă la o serie de alte științe.

Dezvoltarea modernă a matematicii axiomatice

Metoda axiomatică a început să se dezvolte în lucrarea lui Gilbert. În școala sa, chiar conceptul de teorie și sistemul formal a fost rafinat. Ca urmare, a apărut un sistem comun, obiectele matematice devenind precise. În plus, a fost posibil să se rezolve problemele justificării. Astfel, sistemul formal este construit de clasa exactă în care sunt localizate subsistemele de formule și teoreme.

Pentru a construi această structură, trebuie să fiți ghidat doar de facilitățile tehnice, deoarece acestea nu au sarcină semantică. Ele pot fi inscrise cu semne, simboluri. De fapt, sistemul în sine este construit în așa fel încât teoria formală poate fi aplicată în mod adecvat și în întregime.

Drept rezultat, un scop sau o problemă matematică specifică se toarnă în teorie pe baza conținutului real sau a raționamentului deductiv. Limba științei numerice este tradusă într-un sistem formal, în care orice expresie concretă și semnificativă este determinată de formula.

Metodă de formalizare

În starea naturală a lucrurilor, o astfel de metodă poate rezolva astfel de probleme globale ca o consistență și poate construi, de asemenea, o esență pozitivă a teoriilor matematice asupra formulelor derivate. În principiu, toate acestea vor fi rezolvate printr-un sistem formal bazat pe declarații dovedite. Teoriile matematice au fost în mod constant complicate de justificări, iar Gilbert a propus să investigheze această structură folosind metode finite. Dar acest program a eșuat. Rezultatele lui Gödel deja din secolul al XX-lea au condus la următoarele concluzii:

• consistența naturală este imposibilă datorită faptului că aritmetica formalizată sau o altă știință similară din acest sistem va fi incompletă;
• existau formule insolubile;
• afirmațiile sunt nedovedite.

Judecățile reale și finisarea finită rezonabilă sunt considerate formalizabile. În acest sens, metoda axiomatică are limite și posibilități clare și clare în cadrul acestei teorii.

Rezultatele dezvoltării axiomelor în scrierile matematicienilor

În ciuda faptului că unele judecăți au fost respinse și nu au fost dezvoltate corespunzător, metoda conceptelor permanente joacă un rol semnificativ în formarea fundațiilor matematicii. În plus, interpretarea și metoda axiomatică în știință au dezvăluit rezultatele fundamentale ale coerenței, independenței alegerilor și ipotezelor din teoria pluralului.

În rezolvarea problemei consecvenței, principalul lucru este să se aplice nu numai conceptele stabilite. Ele trebuie, de asemenea, să fie completate cu idei, concepte și mijloace de finit. În acest caz, sunt luate în considerare diferite opinii, metode, teorii, care trebuie să țină seama de semnificația logică și rațiunea.

Coerența sistemului formal indică o aritmetică similară, care se bazează pe numărul de inducție, număr, număr transfinit. În domeniul științific, axiomatizarea este instrumentul cel mai important, având concepte și declarații incontestabile care sunt luate ca bază.

Esența declarațiilor inițiale și rolul lor în teorii

Evaluarea metodei axiomatice indică faptul că în esența ei se află o anumită structură. Acest sistem este construit prin identificarea unui concept fundamental și a unor afirmații fundamentale nedetectabile. Același lucru se întâmplă și cu teoremele care sunt considerate inițiale și sunt adoptate fără dovezi. În științele naturii, pentru astfel de afirmații, sunt reguli, ipoteze, legi.

Apoi, există un proces de stabilire a bazelor stabilite pentru raționament. De regulă, se indică imediat că o altă poziție este ieșită dintr-o poziție, în timp ce restul este produs în proces, care, în esență, coincide cu metoda deductivă.

Caracteristicile sistemului în vremurile moderne

Ca parte a sistemului axiomatic sunt:

• concluzii logice;
• termeni și definiții;
• declarații și concepte parțial incorecte.

În știința modernă, această metodă și-a pierdut abstractitatea. În axiomatizarea geometrică a lui Euclid, pozițiile intuitive și adevărate erau la bază. Și teoria a fost interpretată într-un mod unic, natural. Astăzi, axioma este o poziție care este în sine evidentă, dar un acord, orice, poate acționa ca un concept inițial care nu necesită justificare. Drept rezultat, valorile originale pot fi departe de a fi clare. Această metodă necesită o abordare creativă, cunoașterea relațiilor și teoria originală.

Principiile de bază ale deducerii concluziilor

Metoda axiomatică deductivă - este cunoașterea științifică, în construcție într-un anumit model, care se bazează pe ipoteze bine informate că declarațiile prezente pe fapte empirice. Această deducere se bazează pe structuri logice, prin eliminare tare. Axiomele sunt inițial declarații incontestabile care nu necesită dovada.

La deducerea conceptelor inițiale se aplică anumite cerințe: consecvență, exhaustivitate, independență. După cum arată practica, prima condiție se bazează pe cunoaștere formală-logică. Aceasta este, teoretic, nu trebuie să existe nici un adevăr și falsitate, pentru că nu va mai avea nici un sens sau valoare.

Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci este considerat a fi incompatibil și pierde orice sens, deoarece sarcina semantică se pierde între adevăr și falsitate. Deductiv, metoda axiomatică este o metodă de construire și fundamentare a cunoștințelor științifice.

Aplicarea practică a metodei

Metoda axiomatică de construire a cunoștințelor științifice are o aplicație practică. De fapt, această metodă influențează și exercită o semnificație globală asupra matematicii, deși această cunoaștere a atins deja vârful. Exemple de metodă axiomatică sunt următoarele:

• planurile afine au trei afirmații și o definiție;
• teoria echivalenței are trei dovezi;
• Relațiile binare sunt împărțite într-un sistem de definiții, concepte și exerciții suplimentare.

Dacă este necesar să se formuleze valoarea inițială, atunci este necesar să se cunoască natura seturilor și a elementelor. De fapt, metoda axiomatică a constituit baza diverselor domenii ale științei.