Un patrulater cu unghiuri drepte este ... Suma unghiurilor unui patrulater

Unul dintre cele mai interesante subiecte despre geometrie de la cursul școlii este "Quadrangles" (clasa a 8-a). Ce tipuri de astfel de figuri există, ce proprietăți speciale au acestea? Care este unicitatea cuadraturilor cu unghiuri de nouăzeci de grade? Să ne uităm la toate astea.

Ce figură geometrică se numește un quadrangle

Poligoanele care constau din patru laturi și, respectiv, din patru vârfuri (unghiuri) sunt numite patrulaterale în geometria euclidiană.

Interesat de istoria acestui tip de cifre nume. În limba rusă a „patrulaterul“ substantiv este derivat din expresiile „patru colțuri“ (în același mod ca „triunghiul“ - cele trei unghiuri, „pentagon“ - cinci unghiuri, etc ...).

Cu toate acestea, în limba latină (prin intermediul căruia au fost mediere multe termeni geometrici în majoritatea limbilor lumii) se numește patrulaterală. Acest cuvânt este format din quadri (patru) și substantiv latus (lateral). Deci putem concluziona că în vechime acest poligon a fost numit doar "patrulaterală".

Apropo, acest nume (cu accent pe prezența a patru laturi, nu unghiuri) în această figură a fost păstrat în unele limbi moderne. De exemplu, în limba engleză - patrulaterală și în limba franceză - quadrilatère.

În cele mai multe limbi slave această specie este identificată cifrele în continuare cu privire la numărul de colțuri, nu laturile. De exemplu, în Slovacă (scaron-tvoruholník), în limbile bulgară ( „chetiriglnik«), în Belarus (»chatyrohkutnіk«) în limba ucraineană (»chotirikutnik„), în Cehia (čtyřúhelník), dar în patrulaterul polonez a făcut apel la numărul de partide - czworoboczny .

Ce fel de quadrangles sunt studiate în curriculum-ul școlar

În geometria modernă se disting patru tipuri de poligoane cu patru laturi. Cu toate acestea, din cauza proprietăților prea complicate ale unora dintre ele, doar două tipuri sunt predate în clasele de geometrie ale elevilor.

• Paralelogramă (paralelogramă). Liniile opuse ale unui patrulater sunt paralel pereche unul cu celălalt și, prin urmare, sunt și pereche.
• Trapez (trapez sau trapez). Acest quadrangle constă din două laturi opuse, paralele unul cu celălalt. Cu toate acestea, cealaltă pereche de părți nu are o astfel de caracteristică.

Tipurile de quadrangles care nu sunt studiate în cursul școlii de geometrie

În plus față de cele de mai sus, există și alte două tipuri de cadre pe care elevii nu le cunosc în clasele de geometrie, datorită complexității lor deosebite.

• Deltoid (kite) - o figură în care fiecare dintre cele două perechi de laturi adiacente este egală în lungime una cu cealaltă. Numele acestui quadrangle se datorează faptului că, în aparență, este destul de similar cu litera alfabetului grecesc - "delta".
• Antiparalelogramă (antiparalelogramă) - această cifră este la fel de complexă ca și numele ei. În ea două laturi opuse sunt egale, dar ele nu sunt paralele între ele. În plus, laturile lungi opuse ale acestei suprapuneri patrulaterale, ca și extensiile celorlalte două laturi mai scurte.

Tipuri de paralelogram

Având în vedere principalele tipuri de quadrangles, merită să fiți atenți la subspecii sale. Astfel, toate paraleleogramele, la rândul lor, sunt împărțite în patru grupe.

• Paralelogram clasic.
• Rhombus (romb) - o figură quadrangulară cu laturi egale. Diagonalele sale se intersectează într-un unghi drept, împărțind diamantul în patru triunghiuri dreptunghiulare egale.
• Dreptunghi (dreptunghi). Numele vorbește de la sine. Deoarece acesta este un patrulater cu unghiuri drepte (fiecare dintre ele este egal cu nouăzeci de grade). Liniile opuse ale acestuia nu sunt doar paralele între ele, ci și egale.
• Pătrat (pătrat). Ca un dreptunghi, este un patrulater cu unghiuri drepte, dar toate laturile sunt egale unul cu altul. Această cifră este aproape de romb. Deci, se poate argumenta că un pătrat este o cruce între un diamant și un dreptunghi.

Proprietăți speciale ale dreptunghiului

Având în vedere cifrele în care fiecare dintre unghiurile dintre laturi este egal cu nouăzeci de grade, merită să ne uităm mai îndeaproape la dreptunghi. Deci, ce caracteristici speciale are el care îl diferențiază de alte paralelograme?

Pentru a afirma că paralelogramul în cauză este un dreptunghi, diagonalele sale trebuie să fie egale unul cu celălalt și fiecare dintre unghiuri este drept. În plus, pătratul diagonalele sale trebuie să îndeplinească suma pătratelor celor două laturi adiacente ale figurii. Cu alte cuvinte, dreptunghiul clasic este format din două triunghiuri unghi drept, așa cum sunt ele cunoscute, suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul ipotenuzei. În rolul ipotezei, apare diagonala patrulaterală luată în considerare.

Ultimul dintre caracteristicile enumerate în această cifră este și proprietatea sa specială. În afară de aceasta, există și alții. De exemplu, faptul că toate laturile patrulaterale studiate cu unghi drept sunt simultan înălțimile lor.

În plus, dacă trageți un cerc în jurul oricărui dreptunghi, diametrul său va fi egal cu diagonala figurii înscrise.

Printre alte proprietăți ale acestui patrulater, faptul că este plat și în geometrie neeclidiană nu există. Acest lucru se datorează faptului că în acest sistem nu există cifre quadrangulare a căror sumă de unghiuri este egală cu trei sute șaizeci de grade.

Pătrat și caracteristicile sale

Având în vedere caracteristicile și proprietățile dreptunghiului, merită atenție la al doilea quadrangle cunoscut cu unghiuri drepte (acesta este un pătrat).

Fiind de fapt același dreptunghi, dar cu laturi egale, această figură are toate proprietățile sale. Dar spre deosebire de aceasta, pătratul este prezent în geometrie non-euclidiană.

În plus, această cifră, există și alte caracteristici distincte. De exemplu, faptul că diagonalele unui pătrat nu sunt pur și simplu egale unul cu celălalt, dar se intersectează de asemenea într-un unghi drept. Astfel, ca un diamant, pătratul constă din patru triunghiuri dreptunghiulare, în care este împărțit de diagonale.

În plus, această cifră este cea mai simetrică dintre toate quadrilaterals.

Care este suma unghiurilor unui patrulater

Având în vedere singularitățile quadrilaterals de geometrie euclidiană, merită atenție la unghiurile lor.

Deci, în fiecare dintre figurile menționate mai sus, indiferent dacă are unghiuri drepte sau nu, suma lor totală este întotdeauna aceeași - trei sute șaizeci de grade. Aceasta este o trăsătură distinctivă unică a acestui tip de figuri.

Perimetrul patrularelor

După ce a ocupat de asta, ceea ce este suma unghiurilor unui patrulater și alte proprietăți speciale ale formei de acest fel, este necesar să se cunoască ce este cel mai bine să utilizeze formule pentru a calcula perimetrul și zona lor.

Pentru a determina perimetrul oricărui patrulater, trebuie doar să adăugați lungimea tuturor laturilor sale.

De exemplu, în figura KLMN, perimetrul său poate fi calculat prin formula: P = KL + LM + MN + KN. Dacă înlocuim numerele de aici, obținem: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

În cazul în care cifra considerată - un pătrat sau un romburi, pentru găsirea perimetrului formulei poate fi simplificată prin simpla înmulțirea lungimii uneia dintre laturile sale cu patru P x = KL exemplul 4. 6 x 4 = 24 (cm).

Pătraturi de formule pătrat

Având în vedere cum să găsiți perimetrul oricărei figuri cu patru colțuri și laturi, merită luate în considerare cele mai populare și mai simple căi de a-și găsi zona.

• Modul clasic de calcul al acesteia este de a folosi formula S = 1/2 KM x LN x SIN LON. Se pare că suprafața oricărui patrulater este egală cu jumătate din produsul diagonalelor sale cu sinele unghiului situat între ele.
• În cazul în care cifra a cărei suprafață trebuie să găsească - este un dreptunghi sau pătrat (a cărui diagonală este întotdeauna egală între ele), putem simplifica formula, ridicat în pătratul lungimii de o diagonală și înmulțirea cu sinusul unghiului dintre ele și împărțirea în jumătate toate. De exemplu: S = 1/2 CM ² x SIN LON.
• De asemenea, atunci când găsiți zona dreptunghiului, pot fi de ajutor informații despre perimetrul figurii în cauză și lungimea uneia dintre laturile sale. În acest caz, este mai convenabil să se folosească formula S = KN x (P - 2 KN) / 2.
• În cazul unui pătrat, proprietățile acestuia ne permit să folosim mai multe formule suplimentare pentru a găsi zona. De exemplu, știind perimetrul unei figuri, puteți folosi această opțiune: S = P ²/ 16. Și dacă este cunoscută raza unui cerc înscris într-un patrulater, pătratul pătratului este într-un mod foarte asemănător: S = 4r². Dacă este cunoscută raza cercului circumscris, atunci este adecvată o altă formulă: S = 2R². de asemenea Pătrat al unui pătrat este egală cu 0,8 din lungimea liniei trase din colțul figurinei până la mijlocul părții opuse.
• În plus față de toate cele de mai sus, există, de asemenea, o formulă separată pentru găsirea zonei, calculată special pentru paralelogramă. Acesta poate fi utilizat, dacă este cunoscută, lungimea celor două înălțimi ale figurii și mărimea unghiului dintre ele. Apoi, înălțimile trebuie să fie înmulțite între ele și sinusul unghiului dintre ele. Merită menționat faptul că puteți folosi această formulă pentru toate figurile care se referă la paralelograme (adică la un dreptunghi, un romb și un pătrat).

Alte proprietăți ale quadrilaterals: cercuri inscripționate și circumscrise

Având în vedere trăsăturile și proprietățile unui patrulater ca figuri de geometrie euclidiană, merită să se acorde atenție posibilității de a descrie sau de a închide cercuri în interiorul ei:

• În cazul în care suma unghiurilor opuse ale unei calculezi de o sută optzeci de grade și sunt egale una de alta, este posibil să se descrie un cerc în mod liber în jurul acestui patrulater.
• Conform teoremei lui Ptolemeu, dacă cercul descris în afara poligon cu patru laturi, produsul diagonalelor este egal cu suma produselor din laturile opuse ale figurii. Astfel, formula ar fi: CM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Dacă construim un patrulater în care sumele laturilor opuse sunt egale una cu cealaltă, atunci poate fi înscris un cerc.

Având în tratate cu faptul că un astfel de patrulater, pentru care există tipuri de ea, care dintre ele au doar unghiuri drepte între părți și ce proprietăți care le au, ar trebui să ne amintim toate aceste lucruri. În special, formulele pentru găsirea perimetrului și a zonei poligoanelor examinate. La urma urmei, figurile acestei forme - una dintre cele mai frecvente, și aceste cunoștințe pot fi utile pentru calcule în viața reală.