Logaritme: exemple și soluții

După cum se știe, atunci când se înmulțesc expresii cu puteri, exponenții lor sunt întotdeauna adăugați (a^b

Definiție în matematică

Logaritmul este o expresie a formei: log_ob = c, adică logaritmul orice întreg nenegativ (adică orice pozitiv) „b“ pe baza sa „o“ este considerată a fi gradul de „c“, care este necesară pentru a construi bază „a“, la „b“ pentru a obține o valoare rezultat. Să analizăm logaritmul pe exemple, să spunem că există un jurnal de expresie₂8. Cum să găsiți răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești o diplomă pentru a obține 2 din gradul 8 necesar. După ce ai făcut niște calcule în mintea ta, primești numărul 3! Și este adevărat, pentru că 2 în puterea a 3-a da numărul 8 în răspuns.

Soiuri de logaritmi

Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și confuz, dar în realitate, logaritmii nu sunt atât de teribil, principalul lucru - pentru a înțelege sensul general al ei și le amintesc proprietățile și unele dintre regulile. Există trei tipuri distincte de expresii logaritmice:

1. Logaritmul natural este ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
2. Logaritmul zecimal este lg a, unde baza este numărul 10.
3. Logaritmul oricărui număr b pe baza a> 1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, inclusiv simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un logaritm cu ajutorul teorimelor logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, amintiți-vă proprietățile și ordinea acțiunilor lor atunci când le rezolvați.

Reguli și unele restricții

În matematică, există mai multe reguli - restricții care sunt acceptate ca axiom, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărate. De exemplu, nu puteți diviza numerele cu zero și este încă imposibil să extrageți o rădăcină de grad chiar de la numere negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile lor reguli, după care se poate învăța cu ușurință să lucrezi chiar și cu expresii logaritmice lungi și capsulate:

• bază „un“ trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și să nu fie egal cu 1, altfel expresia-ar pierde sensul, pentru că „1“ și „0“ la orice nivel este întotdeauna egală cu valorile lor;
• dacă a> 0, atunci a^b0, se pare că "c" ar trebui să fie mai mare decât zero.

Cum de a rezolva logaritmele?

De exemplu, având în vedere sarcina găsirii răspunsului la ecuația 10^x= 100. Este foarte ușor, trebuie să alegeți un astfel de grad, ridicând la zece, vom obține 100. Aceasta, desigur, este o putere patratică! 10²= 100.

Și acum să reprezentăm această expresie sub forma unei expresii logaritmice. Obținem jurnal₁₀100 = 2. Când se rezolvă logaritmul, toate acțiunile practic converg pentru a găsi gradul în care trebuie introdusă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.

Pentru a determina cu precizie valoarea unui grad necunoscut, trebuie să învățați cum să lucrați cu tabelul de grade. Se pare ca aceasta:

După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă există o mentalitate tehnică și o cunoaștere a tabelului de înmulțire. Cu toate acestea, pentru valori mari, este necesar un tabel de grade. Poate fi folosit chiar și de cei care nu înțeleg deloc nimic în subiecte matematice complexe. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul superior al cifrelor este valoarea gradului c, la care este ridicat numărul a. La intersecția în celule, valorile numerelor care sunt răspunsul (a^c= b). Luați, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și puneți-o în pătrat, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule. Totul este atât de simplu și ușor, încât chiar și un adevărat umanist va înțelege!

Ecuații și inegalități

Se pare că în anumite condiții exponentul este logaritmul. În consecință, orice expresie matematică numerică poate fi scrisă sub forma egalității logaritmice. De exemplu, 3⁴= 81 poate fi scris sub forma unui logaritm al numărului 81 cu baza 3 egală cu patru (log₃81 = 4). Pentru puteri negative, regulile sunt aceleași: 2^-5= 1/32 scriem sub formă de logaritm, obținem log₂ (1/32) = -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este tema "logaritmelor". Exemple și soluții ale ecuațiilor vor fi luate în considerare mai jos, imediat după studierea proprietăților lor. Și acum, să analizăm modul în care arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.

Expresia următoare este dată: log₂(x-1)> 3 - este o inegalitate logaritmică, deoarece valoarea necunoscută a "x" este sub semnul logaritmului. Și, de asemenea, în expresie două valori sunt comparate: logaritmul numărului necesar pe baza a două este mai mare decât numărul trei.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalitățile constă în faptul că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul₂x = Radic-9) înseamnă în răspuns unul sau mai multe valori numerice definite, în timp ce în rezolvarea inegalității sunt definite atât intervalul de valori admisibile, cât și punctele de discontinuitate ale acestei funcții. Ca urmare, răspunsul nu este un set simplu de numere individuale ca în răspunsul ecuației, ci o serie continuă sau un set de numere.

Baze de teoreme pe logaritmi

Când rezolvăm sarcini primitive pentru a găsi valorile logaritmului, proprietățile sale pot să nu fie cunoscute. Cu toate acestea, atunci când vine vorba de ecuații logaritmice sau inegalități, în primul rând, este necesar să se înțeleagă și să se aplice în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Vom cunoaște mai târziu exemple de ecuații, să analizăm mai întâi fiecare proprietate în detaliu.

1. Identitatea de bază este după cum urmează: a^logaB= B. Se aplică numai dacă a este mai mare decât 0, nu egală cu una și B este mai mare decât zero.
2. Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log_d(s₁* s_{2) =} înregistra_ds₁ + înregistra_ds_2. În acest caz, condiția obligatorie este: d, s₁ și s₂ > 0-ane-1. Putem da o dovadă pentru această formulă de logaritmi, cu exemple și soluții. Să presupunem că log_os₁ = f₁ și log_os₂ = f₂, apoi a^f1= s₁, o^F2= s_2. Obținem asta₁* s₂ = a^f1* a^F2= a^{f1 + f2} (proprietăți ale puterilor) și apoi prin definiție: log_o(s₁* s₂) = f₁+ f₂ = log_os1 + log_os₂ care urma să fie dovedită.
3. logaritm privat arata ca: log_o(s_{1 /}s₂) = log_os₁- înregistra_os_2.
4. Teorema sub forma unei formule are următoarea formă: log_o^q bⁿ = log n / q_ob.

Această formulă se numește "proprietate logaritmică". Seamănă cu proprietățile unor grade obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toate matematica se bazează pe postulate logice. Să ne uităm la dovadă.

Să presupunem că log_ob = t, obținem a^T= b. Dacă ridicăm ambele părți la puterea m: a^tn = bⁿ;

dar din moment ce a^tn= (a^q)^{nt / q} = bⁿ, deci log_o^q bⁿ = (n * t) / t, apoi log_o^q bⁿ = log n / q_ob. Teorema este dovedită.

Exemple de probleme și inegalități

Cele mai frecvente tipuri de probleme pe tema logaritmilor sunt exemple de ecuații și inegalități. Acestea se găsesc în aproape toate cărțile problematice și sunt incluse și în partea obligatorie a examenelor de matematică. Pentru a intra în universitate sau pentru a lua testele de intrare în matematică, trebuie să știți cum să rezolvați corect aceste sarcini.

Din păcate, un plan comun sau schemă a deciziei și determinarea valorilor necunoscute ale logaritmului nu există, ci pentru fiecare inegalitate și ecuații matematice logaritmice se pot aplica anumite reguli. În primul rând, este necesar să aflăm dacă este posibil să simplificăm expresia sau să vedem o viziune generală. Puteți simplifica expresiile logaritmice lungi dacă le folosiți corect proprietățile. Să le cunoaștem.

În rezolvarea ecuațiilor logaritmice ar trebui să determine ce fel de logaritm în fața noastră: un exemplu al expresiei poate conține logaritmul natural sau zecimal.

Iată câteva exemple zecimale logaritmice: ln100, ln1026. Soluția lor se reduce la faptul că este necesar să se determine gradul în care baza 10 va fi egală cu 100 și, respectiv, 1026. Pentru soluțiile logaritmilor naturali, trebuie să se aplice identități logaritmice sau proprietățile lor. Să examinăm exemple de soluții de probleme logaritmice de diferite tipuri.

Cum se utilizează formulele de logaritm: cu exemple și soluții

Astfel, considerăm exemple de utilizare a teoremei fundamentale pe logaritmi.

1. Proprietatea logaritmului unui produs poate fi folosită în sarcini în care este necesar să se descompună o valoare mare a numărului b în factori simpli. De exemplu, log₂4 + log₂128 = log₂(4 * 128) = log₂512. Răspunsul este 9.
2. înregistra₄8 = log_2² 2³ = 3/2 log₂2 = 1.5 - după cum se poate vedea, folosind puterea a patra a proprietății logaritm, a fost capabil să rezolve expresie aparent complexă și nerezolvată. Este necesar doar să descompunem baza în multiplicatori și apoi să luăm valorile gradului de la semnul logaritmului.

Cesiuni din USE

Logaritmele se găsesc adesea în examenele de admitere, în special în multe probleme logaritmice din USE (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (partea cea mai ușoară de testare a examenului), ci și în partea C (sarcinile cele mai complexe și voluminoase). Examen înseamnă cunoașterea corectă și perfectă a subiectului "Logaritm natural".

Exemple și soluții de probleme sunt luate din variantele oficiale USE. Să vedem cum sunt rezolvate aceste sarcini.

Dat fiind log₂(2x-1) = 4. Soluție:
rescrie expresia, simplificând-o ușor cu jurnalul₂(2x-1) = 2², prin definirea logaritmului, constatăm că 2x-1 = 2⁴, prin urmare, 2x = 17-x = 8,5.

Mai jos sunt câteva recomandări, după care puteți rezolva cu ușurință toate ecuațiile care conțin expresii care sunt sub semnul logaritmului.

• Toate logaritmele sunt cele mai bune pentru a duce la un singur motiv, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
• Toate exprimare sub semnul logaritmului este prezentat ca un rezultat pozitiv, astfel încât atunci când se face o expresie de multiplicare exponent, care stă sub semnul logaritmului, și ca fundament acesteia, rămâne sub logaritmul expresiei trebuie să fie pozitiv.