Progresia geometrică. Exemplu cu soluție

Considerăm o anumită serie.

7 28 112 448 1792 ...

Este foarte clar că valoarea oricăror elemente este de patru ori mai mare decât cea precedentă. Prin urmare, această serie este o progresie.

Progresia geometrică este o secvență infinită de numere, principala caracteristică a căreia este că numărul următor este obținut de la cel precedent prin înmulțirea cu un anumit număr. Aceasta se exprimă prin următoarea formulă.

o_z+1= a_zmiddot-q, unde z este numărul elementului selectat.

În consecință, z N. isin-

Perioada în care progresia geometrică este studiată în școală este gradul 9. Exemple vă vor ajuta să înțelegeți conceptul:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 6 2 ...

În urma acestei formule, numitorul progresiei poate fi găsit după cum urmează:

Nici q, nici b_z nu poate fi zero. De asemenea, fiecare dintre elementele serii numerice progresia nu ar trebui să fie zero.

În consecință, pentru a găsi numărul următor al seriei, trebuie să înmulțim ultimul cu q.

Pentru a specifica această evoluție, trebuie să specificați primul ei element și numitor. După aceasta, este posibil să găsiți oricare dintre membrii ulteriori și suma acestora.

specie

În funcție de q și a₁ această evoluție este împărțită în mai multe tipuri:

• Dacă a₁, și q este mai mare decât unul, atunci o astfel de secvență este o creștere progresivă geometrică cu fiecare element ulterior. Un exemplu de acest lucru este prezentat mai jos.

Exemplu: a₁= 3, q ​​= 2 - ambii parametri sunt mai mari decât unul.

Apoi, secvența numerică poate fi scrisă ca:

3 6 12 24 48 ...

• Dacă | q | mai puțin de unu, adică multiplicarea de către el este echivalentă cu împărțirea, atunci o evoluție cu condiții similare este o progresie geometrică descrescătoare. Un exemplu de acest lucru este prezentat mai jos.

Exemplu: a₁= 6, q = 1/3 - a₁ mai mult de unul, q - mai puțin.

Apoi, secvența numerică poate fi scrisă astfel:

6 2 2/3 ... - orice element este mai mare decât cel care îl urmează, de 3 ori.

• Este alternativ. Dacă q<0, atunci semnele numerelor de secvență se alternează în mod constant, indiferent de a₁, iar elementele nu cresc sau scad.

Exemplu: a₁ = -3, q = -2 - ambii parametri sunt mai mici de zero.

Apoi, secvența numerică poate fi scrisă ca:

-3, 6, -12, 24, ...

formulă

Pentru folosirea convenabilă a progresiilor geometrice, există mai multe formule:

• Formula formulării z. Vă permite să calculați un element care se află sub un anumit număr fără a calcula numerele anterioare.

exemplu: q = 3, o₁ = 4. Este necesar să se calculeze al patrulea element al progresiei.

soluţie: o₄ = 4 middot- 3^4-1= 4 middot-3³ = 4 middot- 27 = 108.

• Suma primelor elemente, al căror număr estez. Vă permite să calculați suma tuturor elementelor unei secvențe înainte o_z inclusiv.

Deoarece (1-q) este în numitor, apoi (1 - q) ne-0, prin urmare, q nu este egal cu 1.

Notă: dacă q = 1, progresia va fi o serie de numere care se repetă infinit.

Suma progresiei geometrice, exemple: o₁ = 2, q = -2. Calculați S₅.

soluţie: S₅ = 22 - calculul prin formula.

• Suma, dacă |q| | < 1 și dacă z tinde spre infinit.

exemplu: o₁ = 2_, q = 0,5. Găsiți suma.

soluţie: S_z = 2middot- = 4

Dacă numărați în mod manual suma mai multor membri, puteți observa că are chiar tendința de a ajunge la patru.

S_z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Unele proprietăți:

• Proprietate caracteristică. Dacă următoarea condițiese efectuează pentru orice z, atunci seria numerică dată este o progresie geometrică:

o_z²= o_z-1middot- o_{z + 1}

• În mod similar, pătratul oricărui număr de progresie geometrică se găsește adăugând pătraturile a două alte numere dintr-o serie dată dacă acestea sunt echidistant de la acest element.

o_z² = o_z-T² + o_z+T², unde T - distanța dintre aceste numere.

• element diferă în q timp.
• Logaritmii elementelor progresiei formează de asemenea o progresie, dar deja aritmetică, adică fiecare dintre ele este mai mare decât cea anterioară cu un anumit număr.

Exemple de probleme clasice

Pentru a înțelege mai bine ce este progresia geometrică, exemplele cu o soluție pentru clasa 9 pot ajuta.

• Termeni și condiții: o₁ = 3, o₃ = 48. Găsiți q.

Soluție: fiecare element ulterior este mai mare decât cel precedent qtimp. Este necesar să exprimăm unele elemente prin intermediul altora folosind numitorul.

Prin urmare, o₃ = q²middot-o₁

Când se substituie q=4

• Termeni și condiții: o₂ = 6, o₃ = 12. Calculați S₆.

soluţie: Pentru a face acest lucru, este suficient să găsiți q, primul element și să îl înlocuiți în formula.

o₃ = qmiddot-o₂, Prin urmare, q = 2

o₂ = qmiddot- un₁, prin urmareo₁ = 3

S₆ = 189

• middot- o₁ = 10, q = -2. Găsiți al patrulea element al progresiei.

Soluție: pentru aceasta este suficient să exprime al patrulea element prin primul și prin numitor.

o₄ = q³middot-o₁ = -80

Exemplu de aplicație:

• Clientul băncii a făcut o contribuție la suma de 10.000 de ruble, în termenii căruia în fiecare an clientului la suma principală va fi adăugat 6% din ea. Câți bani vor fi în cont în 4 ani?

Decizie: Suma inițială este de 10 mii de ruble. Prin urmare, la un an după depunere, va exista o sumă egală cu 10.000 + 10.000middot-0,06 = 10000 middot-1,06

În consecință, suma din cont în alt an va fi exprimată după cum urmează:

(10.000 middot- 1.06) middot - 0,06 + 10,000 middot-1.06 = 1.06 middot-1,06 middot- 10000

Adică, în fiecare an suma este mărită de 1,06 ori. Deci, pentru a găsi suma fondurilor pe cont în 4 ani, este suficient să găsim al patrulea element al progresiei, care este stabilit de primul element egal cu 10 mii, iar numitorul este egal cu 1,06.

S = 1,06middot-1,06middot-1,06middot-1,06middot-10000 = 12625

Exemple de sarcini pentru calcularea sumei:

În diverse probleme se utilizează o progresie geometrică. Un exemplu de găsire a unei sume poate fi specificat după cum urmează:

o₁ = 4, q = 2, se calculează S₅.

Soluție: toate datele necesare pentru calcul sunt cunoscute, trebuie doar să le înlocuiți în formula.

S₅= 124

• o₂ = 6, o₃ = 18. Calculați suma primelor șase elemente.

soluţie:

În geom. progresie, fiecare element următor este mai mare decât cel precedent în q ori, adică, pentru a calcula suma, este necesar să cunoaștem elementul o₁ și numitorul q.

o₂middot-q = o₃

q = 3

În mod similar, este necesar să găsim o₁, cunoaștere o₂ și q.

o₁middot-q = o₂

o₁ = 2

Și suficient de mult pentru a înlocui datele cunoscute în formula sumei.

S₆= 728.