Numere reale și proprietățile acestora

Pitagora a susținut că numărul se află la baza lumii la egalitate cu elementele principale. Platon a crezut că numărul conectează fenomenul și noumenonul, ajutând la cunoașterea, măsurarea și tragerea concluziilor. Aritmetica vine de la cuvântul "arithmos" - numărul, începutul început în matematică. Poate descrie orice obiect - de la un măr elementar la spații abstracte.

Nevoile ca factor de dezvoltare

În etapele inițiale ale formării societății nevoilor oamenilor limitat necesitatea scoring - .. o pungă de cereale, două sac de cereale, etc. Pentru a face acest lucru, sa numere naturale, o multitudine de care este o secvență infinită de numere întregi pozitive N.

Mai târziu, odată cu dezvoltarea matematicii ca știință, a apărut nevoia unui câmp separat de întregi Z - include cantități negative și zero. Apariția lui la nivel național a fost provocată de faptul că în departamentul de contabilitate primară a fost necesar să se fixeze cumva datoriile și pierderile. La nivel științific, numerele negative au făcut posibilă rezolvarea protozoarelor ecuații liniare. Printre altele, acum a devenit posibilă afișarea unui sistem de coordonate triviale, deoarece a apărut un punct de referință.

Următorul pas a fost necesitatea introducerii unor numere fracționare, pentru că știința nu sa oprit, tot mai multe descoperiri noi au necesitat o bază teoretică pentru o nouă forță de creștere. A fost un câmp numere raționale Q.

În cele din urmă, raționalitatea a încetat să satisfacă solicitările, deoarece toate concluziile noi necesită justificare. A apărut un câmp de numere reale R, lucrările lui Euclid privind incomensurabilitatea anumitor cantități din cauza iraționalității lor. Adică, matematicienii greci antic poziționează numărul nu numai ca o constantă, ci și ca o valoare abstractă, caracterizată de raportul dintre cantitățile incomensurabile. Datorită faptului că au apărut numere reale, "valori" precum "pi" și "e" au fost "văzute", fără de care nu ar fi putut avea loc matematica modernă.

Inovația finală a fost număr complex C. A răspuns la o serie de întrebări și a respins postulatele introduse anterior. Datorită dezvoltării rapide a rezultatelor algebră a fost previzibil - cu numere reale, decizia multor probleme nu a fost posibil. De exemplu, datorită numerelor complexe, string teoria și haos, ecuațiile hidrodinamicii s-au lărgit.

Teoria seturilor. cantor

Conceptul de infinitate în orice moment a fost controversat, deoarece nu a putut fi nici dovedit, nici înlăturat. În contextul matematicii, care a funcționat cu postulate strict verificate, acest lucru sa manifestat cel mai clar, mai ales că aspectul teologic avea încă o pondere în știință.

Cu toate acestea, datorită muncii matematicianului Georg Cantor, totul a căzut în timp cu trecerea timpului. El a demonstrat că seturile infinite au un set infinit, iar faptul că câmpul R este mai mare decât câmpul N, lasă ambele să nu aibă sfârșit. La mijlocul secolului al XIX-lea, ideile sale au fost numite în mod voit iluzii și crime împotriva canoanelor clasice, de neclintit, dar timpul a pus totul în locul său.

Proprietățile de bază ale câmpului R

Numerele reale au nu numai aceleași proprietăți ca și submisele care sunt incluse în ele, dar sunt, de asemenea, completate de altele datorită greutății elementelor lor:

• Zero există și aparține câmpului R. c + 0 = c pentru orice c în R.
• Există un zero și aparține câmpului R. c x 0 = 0 pentru orice c în R.
• Raportul c: d pentru d ne-0 există și este real pentru orice c, d în R.
• Câmpul R este ordonat, adică dacă c le d, d le c, atunci c = d pentru orice c, d în R.
• Plus în câmpul R este comutativ, adică c + d = d + c, pentru orice c, d de R.
• Multiplicarea în câmpul R este comutativ, adică x c x d = d c pentru toate c, d de R.
• Adăugarea în câmpul R este asociativă, adică (c + d) + f = c + (d + f) pentru orice c, d, f în R.
• Înmulțirea în câmpul R este asociativă, adică (c x d) x f = c x (d x f) pentru orice c, d, f în R.
• Pentru fiecare număr din câmpul R există o opusă, astfel încât c + (-c) = 0, unde c, -c din R.
• Pentru fiecare număr din câmpul R există un invers astfel încât c x c^-1 = 1, unde c, c^-1 din R.
• O unitate există și aparține R, astfel încât c x 1 = c, pentru orice c în R.
• Există legea distribuției, astfel încât c x (d + f) = c x d + c x f, pentru orice c, d, f în R.
• În câmpul R, zero nu este egal cu unul.
• Câmpul R este tranzitoriu: dacă c le d, d le-f, apoi c le-f pentru orice c, d, f în R.
• În câmpul R, ordinea și adăugarea sunt interdependente: dacă c le-d, apoi c + f le-d + f pentru orice c, d, f în R.
• În câmpul R ordinea și înmulțirea sunt interdependente: dacă 0 le-c, 0 le-d, apoi 0 le-c x d pentru orice c, d din R.
• Numerele reale negative și pozitive sunt continue, adică pentru orice c, d în R, există un f în R astfel încât c f le- led.

Modulul din câmpul R

Numerele reale includ un astfel de modul ca un modul. Este notat ca | f | pentru orice f în R. | = f dacă este 0 le-f și | f | = -f dacă 0> f. Dacă considerăm modulul ca fiind o valoare geometrică, atunci este distanța parcursă - nu contează dacă ați "trecut" cu zero în minus sau înainte în plus.

Numere complexe și reale. Ce este comun și care sunt diferențele?

În general, numerele complexe și reale sunt una și aceeași, cu excepția faptului că unitatea imaginară i, a cărei pătrată este -1, sa alăturat primului. Elementele câmpurilor R și C pot fi reprezentate prin următoarea formulă:

• c = d + f x i, unde d, f aparțin câmpului R, iar i este unitatea imaginară.

Pentru a obține c de la R în acest caz, f este pur și simplu considerat egal cu zero, adică doar partea reală a numărului rămâne. Deoarece câmpul numerelor complexe are același set de proprietăți ca și câmpul numerelor reale, f x i = 0, dacă f = 0.

În ceea ce privește diferențele practice, atunci, de exemplu, în câmpul R ecuația patratică Nu este rezolvată dacă discriminantul este negativ, în timp ce câmpul C nu impune o astfel de restricție datorită introducerii unității imaginare i.

rezultate

"Cărămizile" axiomelor și postulatele pe care se bazează matematica nu se schimbă. Unele dintre ele, în legătură cu creșterea informațiilor și introducerea de noi teorii, au pus următoarele "cărămizi", care în viitor pot deveni baza pentru următorul pas. De exemplu, numerele naturale, în ciuda faptului că sunt un subset al câmpului real R, nu își pierd relevanța. Pe ei se bazează toată aritmetica elementară, cu care începe cunoașterea omului lumii.

Din punct de vedere practic, numerele reale par a fi o linie dreaptă. Pe aceasta puteți alege direcția, indicați originea și pasul. O linie dreaptă constă dintr-un număr infinit de puncte, fiecare reprezentând un singur număr real, rațional sau nu. Este evident din descriere că vorbim despre un concept pe care atât matematica în general cât și analiză matematică în special.