Ecuații ecuații egale - exemple cu soluții, singularități și formule

În societatea modernă, capacitatea de a efectua acțiuni cu ecuații care conțin o variabilă pătrată poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizată pe scară largă în practică în dezvoltarea științifică și tehnică. Dovada acestui lucru poate servi drept proiectarea navelor maritime, fluviale, rachetelor și a aeronavelor. Cu ajutorul acestor calcule se determină traiectoriile mișcării diferitelor corpuri, inclusiv obiectele cosmice. Exemplele cu soluția de ecuații patratice găsesc aplicații nu numai în prognozarea economică, în proiectarea și construcția clădirilor, dar și în cele mai obișnuite condiții de zi cu zi. Acestea pot fi necesare în drumeții, în sport, în magazine atunci când fac cumpărături și în alte situații foarte frecvente.

Am împărțit expresia în factori componenți

Gradul ecuației este determinat de valoarea maximă a gradului y al variabilei pe care expresia dată o conține. În cazul în care este egal cu 2, atunci o astfel de ecuație se numește quadratic.

Dacă se vorbește limba formulelor, atunci aceste expresii, oricare ar arăta ele, pot fi întotdeauna reduse la forma atunci când partea stângă a expresiei este formată din trei termeni. Printre ei: topor² (Adică variabilă, construită în pătrat cu raportul său), bx (necunoscute fără pătrat cu coeficientul său) și c (componenta liberă, adică numărul obișnuit). Toate acestea în partea dreaptă sunt egale cu 0. În cazul în care un astfel de polinom nu conține unul dintre termenii săi constituenți, cu excepția axului², se numește o ecuație parțială incompletă. Exemple cu rezolvarea unor astfel de probleme, importanța variabilelor în care este ușor de găsit, ar trebui să fie luate în considerare mai întâi.

Dacă expresia arată astfel în așa fel încât termenii din partea dreaptă a expresiei să aibă două, mai precis topor² și bx, este mai ușor să găsești x luând variabila din paranteze. Acum ecuația noastră va arăta astfel: x (ax + b). În plus, devine evident că fie x = 0, fie problema reduce la găsirea unei variabile din următoarea expresie: ax + b = 0. Aceasta este dictată de una dintre proprietățile multiplicării. Regula spune că produsul a doi factori dă 0 ca rezultat numai dacă unul dintre ei este zero.

exemplu

8x² - 3x = 0

x (8x - 3) = 0

Procedăm conform regulii descrise.

x = 0 sau 8x - 3 = 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest fel pot descrie deplasarea corpurilor sub acțiunea gravitației, pornind de la un anumit punct luat ca origine. Aici notația matematică are următoarea formă: y = v₀t + gt²/ 2. Înlocuind valorile necesare, echivalând partea dreaptă a lui 0 și găsind necunoscute, se poate afla timpul care trece de la momentul ridicării corpului până în momentul căderii sale, precum și multe alte cantități. Dar vom vorbi despre asta mai târziu.

Extinderea expresiei în multiplicatori

Norma descrisă mai sus permite rezolvarea acestor probleme în cazuri mai complicate. Să luăm în considerare exemplele cu soluția de ecuații patratice de acest tip.

X² - 33x + 200 = 0

Acest trinomial patrat este complet. În primul rând, transformăm expresia și extindem-o în multiplicatori. Există două dintre acestea: (x-8) și (x-25) = 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemplele cu soluția de ecuații patratice din clasa a IX-a permit acestei metode să găsească o variabilă în expresiile nu numai celei de a doua, dar și a celei de-a treia și a patra ordine.

De exemplu: 2x³ + 2x² - 18x - 18 = 0. Când descompuneți partea dreaptă în factori cu o variabilă, obțineți trei, adică (x + 1), (x-3) și (x + 3).

Ca rezultat, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3- -1-3.

Extragerea rădăcinii pătrată

Un alt caz al unei ecuații incomplete de ordinul doi este o expresie în limba literelor reprezentată astfel încât partea dreaptă să fie construită din componentele axei² și c. Aici, pentru a obține valoarea variabilei, termenul liber este transferat în partea dreaptă și apoi se extrage o rădăcină pătrată din ambele părți ale egalității. Trebuie remarcat că în acest caz rădăcinile ecuației sunt de obicei două. Excepțiile sunt doar egalități care nu conțin deloc termenul c, unde variabila este zero, precum și variante de expresii, atunci când partea dreaptă se dovedește a fi negativă. În ultimul caz, nu există soluții, deoarece acțiunile de mai sus nu pot fi efectuate cu rădăcini. Trebuie luate în considerare exemple de soluții de ecuații patratice de acest tip.

3x²- 48 = 0

3x² = 48

În acest caz, rădăcinile ecuației sunt numerele -4 și 4.

Calcularea parcelei de teren

Nevoia de astfel de calcule a apărut în cele mai vechi timpuri, deoarece dezvoltarea matematicii în multe privințe în acele timpuri îndepărtate sa datorat necesității de a determina cu cea mai mare precizie zonele și perimetrele pământului.

Exemple de soluție de ecuații pătratice, compilate pe baza acestui tip de probleme ar trebui să fie luate în considerare și noi.

Deci, să presupunem că există o bucată de pământ dreptunghiulară, a cărei lungime este cu 16 metri mai mare decât lățimea. Este necesar să se găsească lungimea, lățimea și perimetrul sitului, dacă se știe că suprafața acestuia este de 612 m².

Noțiuni de bază pentru afaceri, vom face mai întâi ecuația necesară. Fie x lățimea secțiunii, atunci lungimea ei va fi (x + 16). Din cele de mai sus rezultă că aria este determinată de expresia x (x + 16), care, conform condiției problemei noastre, este 612. Aceasta înseamnă că x (x + 16) = 612.

Soluția ecuațiilor quadratice complete, iar această expresie este exact așa, nu poate fi făcută prin metoda anterioară. De ce? Deși partea stângă a acestuia încă conține doi factori, produsul lor nu este deloc egal cu 0, deci alte metode sunt folosite aici.

discriminantă

Mai întâi de toate proizvedom modificările necesare, apoi apariția expresiei ar arata astfel: x² + 16x - 612 = 0. Aceasta înseamnă că am primit expresia în forma corespunzătoare standardului de mai sus, unde a = 1, b = 16, c = -612.

Acesta poate fi un exemplu al soluției de ecuații patratice prin intermediul discriminatorului. Aici calculele necesare sunt efectuate conform schemei: D = b² - 4ac. Această cantitate auxiliară nu numai că face posibilă găsirea cantităților necunoscute în ecuația de ordinul doi, ci determină numărul de variante posibile. În cazul în care D> 0, există două dintre ele, pentru D = 0 există o rădăcină. În cazul în care D<0, nu există șanse pentru rezolvarea ecuației.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminantul este: 256-4 (-612) = 2704. Aceasta indică faptul că există răspunsul la problema noastră. Dacă știm, de exemplu, discriminantul, soluția ecuațiilor patratice trebuie continuată cu aplicarea formulei de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că în cazul prezentat: x₁= 18, x₂= -34. Un al doilea exemplu de realizare în această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunea porțiunii de teren nu poate fi măsurată în valori negative, atunci x (adică porțiunea lățime) este de 18 m De aceea vom calcula lungimea :. 18 + 16 = 34, iar perimetrul 2 (toatal de aproximativ 34 18) = 104 (m²).

Exemple și sarcini

Continuăm să studiem ecuațiile patratice. Exemple și soluții detaliate ale câtorva dintre ele vor fi date mai jos.

1) 15x² + 20x + 5 = 12x² + 27x + 1

Transferăm totul în partea stângă a ecuației, facem o transformare, adică obținem forma ecuației, care se numește standard, și o echivalează cu zero.

15x² + 20x + 5 - 12x² - 27x - 1 = 0

Adăugând acestea, definim discriminant: D = 49 - 48 = 1. Deci, ecuația noastră va avea două rădăcini. Le calculam conform formulei de mai sus, ceea ce înseamnă că prima dintre ele va fi de 4/3, iar cea de-a doua.

2) Acum rezolvați ghicitorii de altă natură.

Să aflăm dacă există rădăcini x² - 4x + 5 = 1? Pentru a obține un răspuns exhaustiv, reducem polinomul la forma familiară corespunzătoare și calculează diferențiatul. În exemplul de mai sus, nu este necesar să se producă o ecuație patratică, deoarece esența problemei nu este deloc în acest sens. În acest caz, D = 16 - 20 = -4, ceea ce înseamnă că într-adevăr nu există nici o rădăcină.

Teorema lui Vieta

Este convenabil să se rezolve ecuațiile patratice prin formulele de mai sus și discriminant, atunci când rădăcina pătrată este extrasă din valoarea ultimului. Dar nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține valorile variabilelor în acest caz. Exemplu: soluții de ecuații patratice de teorema lui Viet. Este numit în onoarea lui Francois Vieta, care a trăit în secolul al XVI-lea în Franța și a făcut o carieră strălucitoare datorită talentului și conexiunilor sale matematice în instanță. Puteți vedea portretul său în articol.

Modelul observat de celebrul francez a fost următorul. El a dovedit că rădăcinile ecuației din sumă sunt numeric egale cu -p = b / a, iar produsul lor corespunde q = c / a.

Acum, să analizăm anumite sarcini.

3x² + 21x - 54 = 0

Pentru simplitate, traducem expresia:

x² + 7x - 18 = 0

Folosim teorema lui Vieta, ceea ce ne va da următoarele: suma rădăcinilor este -7, iar produsul lor este -18. Prin urmare, constatăm că rădăcinile ecuației sunt numerele -9 și 2. face o verificare de fond, asigurați-vă că aceste variabile se potrivesc într-adevăr în expresie.

Graficul și ecuația parabolică

Conceptele funcției patratice și ecuațiile patrate sunt strâns legate. Exemple de acest lucru au fost deja date mai devreme. Acum ia în considerare unele puzzle-uri matematice un pic mai mult. Orice ecuație de tipul descris poate fi vizualizată. O dependență asemănătoare, desenată sub forma unui grafic, se numește parabolă. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabola are un vârf, adică un punct din care ies ramurile. Dacă o> 0, ei merg în sus la infinit și când a<0, sunt trase în jos. Cel mai simplu exemplu de astfel de dependență este funcția y = x². În acest caz, în ecuația x²= 0, necunoscutul poate avea doar o valoare, adică x = 0, ceea ce înseamnă că există doar o rădăcină. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece aici D = 0, deoarece a = 1, b = 0, c = 0. Formula rădăcinii (mai precis, o rădăcină) a ecuației patrate este scrisă ca: x = -b / 2a.

Imaginile vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv cele pătrate. Această metodă se numește grafică. Și valoarea variabilei x este coordonatele absciselor în punctele în care linia graficului se intersectează cu 0x. Coordonatele vârfului pot fi găsite din formula x₀ = -b / 2a. Și înlocuind valoarea obținută în ecuația inițială a funcției, se poate găsi y₀, adică cea de-a doua coordonată a vârfului parabolului, care aparține axei de coordonate.

Intersecția ramurilor parabolice cu axa abscisa

Există o mulțime de exemple cu soluția de ecuații patrate, dar există legi generale. Luați în considerare. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x pentru a> 0 este posibilă numai dacă y₀ ia valori negative. Și pentru a<0 coordonata y₀ trebuie să fie pozitivă. Pentru variantele indicate D> 0. În caz contrar, D<0. Și când D = 0, vârful parabolei este situat direct pe axa 0x.

Conform parcelei parabolei, se pot determina și rădăcinile. Converse este, de asemenea, adevărat. Asta este, dacă aveți o reprezentare vizuală a unei funcții pătratică nu este ușor, poate fi asimilată cu partea dreaptă a expresiei la 0 și de a rezolva ecuația rezultată. Și cunoscând punctul de intersecție cu axa 0x, este mai ușor să trasați graficul.

Din istorie

Folosind ecuațiile ce conțin variabile, crescute într-un pătrat pe vremuri, nu doar calcule matematice și suprafață măsurată de forme geometrice. Calcule similare au fost nevoie vechi pentru marile descoperiri în fizică și astronomie, precum și pentru elaborarea de prognoze astrologice.

După cum presupun oamenii de știință moderni, una dintre primele soluții de ecuații patratice a fost ocupată de locuitorii Babilonului. Sa întâmplat cu patru secole înainte de debutul erei noastre. Desigur, calculele lor diferă radical de cele care au fost adoptate acum și s-au dovedit a fi mult mai primitive. De exemplu, matematicienii mezopotamieni nu aveau idee despre existența unor numere negative. În plus față de ele erau și alte subtilități din cele pe care le știe orice elev școlar din prezent.

Poate chiar și oamenii de știință anterioare soluție Babilon de ecuații pătratice angajat salvie din India Baudhayama. Sa întâmplat cam opt secole înainte de debutul erei lui Hristos. Adevăratele ecuații de ordinul doi, metodele de rezolvare pe care le-a citat, au fost cele mai simple. În plus, matematicienii chinezi au fost interesați de întrebări similare în zilele vechi. În Europa, am început să rezolve ecuații pătratice doar la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în lucrările sale astfel de oameni de știință, cum ar fi Newton, Descartes și multe altele.