Proprietățile și căile de căutare a rădăcinilor ecuației patrate

Lumea este aranjată astfel încât soluția a unui număr mare de sarcini se reduce la găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Rădăcinile ecuațiilor sunt importante pentru descrierea diferitelor regularități. Acest lucru era cunoscut inspectorilor vechiului Babilon. Și astronomii și inginerii au fost forțați să rezolve astfel de probleme. Chiar și în secolul VI d.Hr. om de știință indian Aryabhata dezvoltat baza de a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Formulele au dobândit un aspect complet în secolul al XIX-lea.

Concepte generale

Propunem să ne cunoaștem legile fundamentale ale ecuațiilor patratice. În formă generală, ecuația poate fi scrisă după cum urmează:

topor² + bx + c = 0,

Numărul rădăcinilor unei ecuații patrate poate fi unul sau două. O analiză rapidă poate fi făcută folosind noțiunea de discriminant:

D = b² - 4ac

În funcție de valoarea calculată, obținem:

• Pentru D> 0, există două rădăcini distincte. Formula generală pentru determinarea rădăcinilor ecuației patratice arată (-b ± radic-D) / (2a).
• D = 0, în acest caz rădăcina este una și corespunde valorii x = -b / (2a)
• D < 0, nu există o soluție pentru discriminantul negativ al soluției ecuației.

Notă: dacă discriminantul este negativ, ecuația nu are rădăcini numai în regiunea numărului real. Dacă algebra este extinsă la conceptul de rădăcini complexe, atunci ecuația are o soluție.

Oferim un lanț de acțiuni care confirmă formula pentru găsirea rădăcinilor.

Din forma generală a ecuației, rezultă:

topor² + bx = -c

Înmulțiți părțile din dreapta și din stânga cu 4a și adăugați b², avem

4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b²

Transformăm partea stângă în forma unui pătrat al polinomului (2ax + b)². Extragem rădăcina pătrată a ambelor laturi ale ecuației 2ax + b = -b ± radic - (-4ac + b²), transferăm coeficientul b în partea dreaptă, obținem:

2ax = -b ± radic - (-4ac + b²)

Rezultă că:

x = (-b ± radic- (b² - 4ac))

Care trebuia să fie arătat.

Caz special

În unele cazuri, soluția problemei poate fi simplificată. Astfel, pentru un coeficient uniform b se obține o formulă mai simplă.

Denumeste k = 1 / 2b, atunci formula formei generale a radacinilor ecuatiei patrate are forma:

x = (-k ± radic- (k² - ac)) / a

Pentru D = 0, obținem x = -k / a

Un alt caz special este soluția ecuației pentru a = 1.

Pentru formularul x² + bx + c = 0, rădăcinile sunt x = -k ± radic- (k² - c) cu un discriminant mai mare decât 0. Pentru cazul în care D = 0, rădăcina va fi determinată printr-o formulă simplă: x = -k.

Utilizarea graficelor

Oricine nu suspectează acest lucru, se confruntă permanent cu fenomene fizice, chimice, biologice și chiar sociale, care sunt bine descrise printr-o funcție patratică.

Notă: o curbă construită pe baza unei funcții patrate este numită parabolă.

Să dăm câteva exemple.

1. La calcularea traiectoriei proiectilului folosite de mișcarea corpului parabole proprietate, eliberat la un unghi la orizont.
2. Proprietatea parabolică a unei sarcini uniform distribuite este larg utilizată în arhitectură.

Realizând importanța funcției parabolice, vom înțelege cum să folosim graficul pentru a studia proprietățile sale folosind conceptele de "discriminant" și "rădăcini ale ecuației patratice".

În funcție de valorile coeficienților a și b, există doar șase variante ale poziției curbei:

1. Discriminantul este pozitiv, a și b au semne diferite. Ramurile parabolului privesc în sus, ecuația patratică are două soluții.
2. Distribuitorul și coeficientul b sunt zero, coeficientul a este mai mare decât zero. Graficul este situat în zona pozitivă, ecuația are 1 rădăcină.
3. Discriminatorii și toți coeficienții au valori pozitive. Ecuația patratică nu are nicio soluție.
4. Discriminantul și coeficientul a sunt negative, b este mai mare decât zero. Ramurile graficului sunt îndreptate în jos, ecuația are două rădăcini.
5. Discriminantul și coeficientul b sunt zero, coeficientul a este negativ. Parabola se uită în jos, ecuația are o rădăcină.
6. Valorile diferențiatului și ale tuturor coeficienților sunt negative. Nu există soluții, valorile funcțiilor sunt complet în zona negativă.

Notă: varianta a = 0 nu este considerată, deoarece în acest caz parabola degenerează într-o linie dreaptă.

Toate cele de mai sus sunt bine ilustrate în figura de mai jos.

Exemple de rezolvare a problemelor

Stare: folosind proprietăți comune, alcătuiți o ecuație patratică, ale cărei rădăcini sunt egale una cu cealaltă.

soluţie:

de ipoteza problemei x₁ = x₂, sau -b + radic- (b² - 4ac) / (2a) = -b + radic- (b² - 4ac) / (2a). Simplificați intrarea:

-b + radic- (b² - 4ac) / (2a) - (-b- radic- (b² - 4ac) / (2a)) = 0, deschideți parantezele și dați termeni similari. Ecuația ia forma 2radic- (b² - 4ac) = 0. Această afirmație este adevărată atunci când b² - 4ac = 0, prin urmare b² = 4ac, atunci valoarea b = 2radic- (ac) este substituită în ecuație

topor² + 2radic- (ac) x + c = 0, în forma de mai sus obținem x² + 2radic- (c / a) x + c = 0.

răspundă:

pentru un nu egal cu 0 și orice c există o singură soluție dacă b = 2radic- (c / a).

Ecuațiile pătrate pentru toată simplitatea lor sunt de o mare importanță în calculele de inginerie. Practic, orice proces fizic poate fi descris cu aproximație, folosind funcțiile de putere ale ordinului n. Ecuația patratică va fi prima aproximație similară.