Ecuațiile iraționale și modalitățile de a le rezolva

Studiind algebra, elevii întâlnesc ecuații de multe feluri. Printre cele mai simple, se pot numi cele liniare care conțin una necunoscută. Dacă o variabilă în expresia matematică este ridicată într-un anumit grad, atunci ecuația se numește pătrat, cubic, biquadratic și așa mai departe. Aceste expresii pot conține numere raționale. Dar există și ecuații iraționale. De la ceilalți, ei se disting prin prezența unei funcții în care necunoscutul se află sub semnul radicalului (adică se poate vedea o variabilă pur externă scrisă sub rădăcina pătrată). Soluția ecuațiilor iraționale are propriile caracteristici caracteristice. Atunci când se calculează valoarea unei variabile pentru a obține răspunsul corect, acestea trebuie luate în considerare.

"Cuvinte inexprimabile"

Nu este un secret faptul că matematicienii antice funcționau în principal cu numere raționale. Pentru aceasta, după cum știm, sunt întregi, exprimate prin fracțiuni periodice obișnuite și zecimale, reprezentanți ai acestei comunități. Cu toate acestea, oamenii de știință din Orientul Mijlociu și Orientul Mijlociu, precum și din India, în curs de dezvoltare trigonometrie, astronomie și algebră, ecuații iraționale, de asemenea, învățat să rezolve. De exemplu, grecii știau astfel de cantități, însă, punându-le într-o formă verbală, foloseau termenul "alogos", ceea ce însemna "nespus". Oarecum mai târziu, europenii, imitandu-i, numesc astfel de numere "surd". Din toate celelalte, ele diferă prin faptul că ele pot fi reprezentate doar sub forma unei fracții infinite neperiodice, a cărei expresie numerică finală este pur și simplu imposibil de obținut. Prin urmare, mai des, acești reprezentanți ai domeniului numerelor sunt scrise sub formă de numere și semne ca o expresie care se află sub rădăcina gradului doi sau mai mare.

Pe baza celor de mai sus, să încercăm să definim ecuația irațională. Astfel de expresii conțin așa numitele "numere inefabile" scrise folosind semnul rădăcinii pătrate. Ele pot reprezenta tot felul de variații destul de complexe, dar în forma lor cea mai simplă au forma prezentată în fotografia de mai jos.

Când ne întoarcem la soluția de ecuații iraționale, în primul rând este necesar să se calculeze intervalul de valori admisibile ale variabilei.

Expresia are sens?

Necesitatea verificării valorilor obținute rezultă din proprietățile rădăcinii pătrată aritmetice. După cum știți, o astfel de expresie este acceptabilă și are un anumit sens numai în anumite condiții. În cazurile unei rădăcini de grad egal, toate expresiile subordonate trebuie să fie pozitive sau egale cu zero. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci notația matematică prezentată nu poate fi considerată semnificativă.

Să dăm un exemplu concret de rezolvare a ecuațiilor iraționale (în fotografia de mai jos).

În acest caz, este evident că condițiile indicate nu pot fi îndeplinite pentru orice valoare luată de cantitatea necesară, deoarece se dovedește că 11 x le- 4. Aceasta înseamnă că numai Ø poate fi o soluție.

Metodă de analiză

Din cele de mai sus, devine clar cum să rezolvăm ecuațiile iraționale ale unor tipuri. Aici, o analiză simplă poate fi o metodă eficientă.

Să dăm câteva exemple, care demonstrează din nou acest lucru în mod clar (în fotografia de mai jos).

În primul caz, pe o examinare mai detaliată a expresiei, devine imediat evident că nu poate fi adevărat. Într-adevăr, la următoarea parte a ecuației trebuie obținut un număr pozitiv, care în nici un caz nu poate fi egal cu -1.

În al doilea caz, suma a două expresii pozitive poate fi considerată egală cu zero, numai atunci când x = 3 = 0 și x + 3 = 0 în același timp. Dar acest lucru este din nou imposibil. Deci, răspunsul ar trebui să scrie din nou Ø.

Al treilea exemplu este foarte similar cu cel deja luat în considerare. Într-adevăr, deoarece aici condițiile din DSA necesită îndeplinirea următoarei inegalități absurde: 5 x le- 2. O astfel de ecuație nu poate avea soluții solide în același mod.

Aproximare nelimitată

Natura irațională poate fi explicată cel mai clar și pe deplin și cunoscută doar printr-o serie nesfârșită de numere zecimale. Un exemplu concret și viu din partea membrilor acestei familii este pi-si. Nu fără niciun motiv, se presupune că această constantă matematică este cunoscută din timpuri străvechi, fiind folosită la calcularea circumferinței și a zonei unui cerc. Dar printre europeni a fost folosit prima dată în practică de către englezul William Jones și elvețianul Leonard Euler.

Această constantă apare după cum urmează. Dacă comparați o varietate de lungimi în jurul circumferinței, atunci raportul dintre lungimile și diametrele lor este în mod necesar egal cu același număr. Aceasta este pi-si. Dacă o exprimăm în termeni de fracție obișnuită, obținem aproximativ 22/7. Pentru prima dată acest lucru a fost făcut de marele Arhimede, al cărui portret este reprezentat în figura de mai sus. De aceea un număr similar a primit numele său. Dar aceasta nu este o valoare evidentă, ci o valoare aproximativă de aproape cea mai surprinzătoare a numerelor. om de știință Ingenios în intervalul 0.02 găsit cantitatea dorită, dar, de fapt, această constantă nu este valoarea reală, și este exprimată ca 3,1415926535hellip- Este un număr infinit de cifre, infinit mai aproape de o valoare mitică.

Pătrat cu pătrat

Dar să ne întoarcem la ecuațiile iraționale. Pentru a găsi necunoscutul, în acest caz se recurge adesea la o metodă simplă: ele ridică ambele părți ale egalității existente într-un pătrat. O astfel de metodă oferă, de obicei, rezultate bune. Dar trebuie să ținem seama de viclenia valorilor iraționale. Toate rădăcinile care rezultă din acest lucru trebuie să fie verificate, deoarece acestea pot să nu fie potrivite.

Dar vom continua să luăm în considerare exemplele și să încercăm să găsim variabilele în modul nou propus.

Este destul de simplu, folosind teorema lui Viet, să găsim valorile căutate ale cantităților după ce o anumită ecuație patratică a fost formată ca rezultat al anumitor operații. Aici se dovedește că printre rădăcini vor fi 2 și -19. Cu toate acestea, atunci când verificați, substituind valoarea obținută în expresia inițială, puteți să vă asigurați că niciuna dintre aceste rădăcini nu este adecvată. Acesta este un fenomen frecvent în ecuațiile iraționale. Prin urmare, dilema noastră din nou nu are soluții, iar răspunsul ar trebui să indice un set gol.

Exemplele sunt mai complicate

În unele cazuri, este necesar să se păstreze ambele părți ale expresiei, nu unul, ci mai multe ori. Luați în considerare exemplele în care acest lucru este necesar. Acestea pot fi văzute mai jos.

După ce ați primit rădăcinile, nu uitați să le verificați, deoarece ar putea fi în plus. Ar trebui explicat de ce acest lucru este posibil. Atunci când se aplică această metodă, ecuația este raționalizată într-un fel. Dar a scăpa de roots nedorite care împiedică produc aritmetică, ca și în cazul în care vom extinde gama existentă de valori, care este plină (cum se poate spune) consecințe. Anticipând acest lucru, facem un control. În acest caz, există o șansă să vă asigurați că numai una dintre rădăcini este potrivită: x = 0.

sistem

Ce să facem în cazurile în care este necesară rezolvarea sistemelor de ecuații iraționale și nu avem una, ci două necunoscute? Aici procedăm în același mod ca și în cazul obișnuit, dar luând în considerare proprietățile de mai sus ale expresiilor matematice date. Și în fiecare sarcină nouă, bineînțeles, ar trebui să folosiți o abordare creativă. Dar, din nou, este mai bine să luați în considerare totul pe exemplul concret prezentat mai jos. Aici nu este doar necesar să găsim variabilele x și y, ci și să indicăm în răspunsul lor suma lor. Astfel, există un sistem care conține cantități iraționale (a se vedea fotografia de mai jos).

După cum puteți vedea, această sarcină nu reprezintă nimic supranatural de complex. Trebuie doar să arătăm inteligența și să presupunem că partea stângă a primei ecuații este pătratul sumei. Sarcinile similare se găsesc în USE.

Irational în matematică

De fiecare dată când nevoia de a crea noi tipuri de numere a apărut în omenire atunci când nu avea "spațiul" pentru rezolvarea unor ecuații. Numerele iraționale nu fac excepție. După cum mărturisesc faptele din istorie, pentru prima dată, marii înțelepți au atras atenția asupra acestui lucru chiar înainte de epoca noastră, în secolul al VII-lea. A făcut acest matematician din India, cunoscut sub numele de Manav. El a înțeles în mod clar că este imposibil să extrageți o rădăcină din numere naturale. De exemplu, la aceștia sunt 2-17 sau 61, precum și multe altele.

Unul dintre pitagoreici numit gânditor Hippasos, a ajuns la aceeași concluzie, încercând să efectueze calcule cu expresii numerice părți Pentagram. Deschiderea elementelor matematice care nu pot fi exprimate în valori numerice și nu au proprietățile numerelor obișnuite, el a fost atât de înfuriat colegii lui, care a fost aruncat peste bord în mare. Faptul este că alți Pitagoreani i-au considerat raționamentul drept o revoltă împotriva legilor universului.

Semnul radical: evoluție

semn rădăcină pentru a exprima o valoare de numere „surzi“ a început să fie utilizate în rezolvarea ecuațiilor iraționale și a inegalităților nu este imediat. Pentru prima dată, matematicienii europeni, în special italieni, au început să se gândească la radical în secolul al XIII-lea. În același timp, pentru desemnare, a inventat să folosească latina R. Dar matematicienii germani și-au făcut munca diferită. Ele mai mult ca litera V. Simbolul germaniu V (2) răspândit în curând, V (3), care a fost destinat să exprime rădăcina pătrată a 2, 3 și așa mai departe. Ulterior, olandezul a intervenit și a schimbat semnul radicalului. Și Rene Descartes a terminat evoluția, aducând semnul rădăcinii pătrate la perfecțiunea modernă.

Să scap de irațional

Ecuațiile și inegalitățile iraționale pot include o variabilă nu numai sub semnul rădăcinii pătrată. Poate fi orice grad. Cea mai obișnuită modalitate de a scăpa de aceasta este abilitatea de a ridica ambele părți ale ecuației la un nivel corespunzător. Aceasta este acțiunea principală care ajută la tratarea celor iraționali. Acțiunile în cazuri izolate nu sunt deosebit de diferite de cele deja dezmembrate de noi. Aici trebuie luate în considerare condițiile pentru non-negativitatea expresiei radicand și la sfârșitul soluției este necesar să se testeze valorile străine ale variabilelor în modul descris în exemplele deja discutate.

Dintre transformările adiționale care ajută la găsirea răspunsului corect, se folosește adesea multiplicarea unei expresii într-o conjugată, de asemenea este adesea nevoie de introducerea unei noi variabile, ceea ce facilitează soluția. În unele cazuri, pentru a găsi valoarea necunoscutului, este recomandabil să aplicați graficele.