Sisteme de ecuații algebrice liniare. Sisteme omogene de ecuații algebrice liniare

Înapoi la școală, fiecare dintre noi a studiat ecuațiile și, probabil, un sistem de ecuații. Dar nu mulți oameni știu că există mai multe modalități de a le rezolva. Astăzi vom discuta în detaliu toate metodele de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare care constau din mai mult de două egalități.

poveste

Până în prezent, se știe că arta de a rezolva ecuațiile și sistemele lor a provenit chiar din vechiul Babilon și din Egipt. Cu toate acestea, egalitatea în forma obișnuită pentru noi a apărut după apariția semnului egalității "=", introdus în 1556 de către matematicianul englez Record. Apropo, acest semn a fost ales dintr-un motiv: înseamnă două segmente paralele egale. Într-adevăr, cel mai bun exemplu de egalitate nu poate fi imaginat.

Fondatorul denumirilor moderne alfabetice de necunoscuți și semne de grade este matematicianul francez Francois Viet. Cu toate acestea, desemnările sale au fost semnificativ diferite de ziua de azi. De exemplu, pătratul unui număr necunoscut a fost notat cu litera Q (latină "quadratus"), iar cubul cu litera C (latină "cubus"). Aceste denumiri par acum incomode, dar atunci a fost cel mai ușor de înțeles mod de a scrie sisteme de ecuații algebrice liniare.

Cu toate acestea, dezavantajul în metodele de rezolvare de atunci a fost acela că matematicienii au considerat doar rădăcinile pozitive. Poate că acest lucru se datorează faptului că valorile negative nu au avut o aplicație practică. Într-un fel sau altul, dar primul care urmează să fie considerate rădăcini negative, a început după matematica italian Niccolo Tartaglia, Girolamo Cardano și Raphael Bombelli în secolul al 16-lea. Un aspect modern, principala metodă de soluționare ecuațiile etajate (prin discriminant) a fost creat abia în secolul al XVII-lea datorită lucrărilor lui Descartes și Newton.

În mijlocul matematicianului elvețian din secolul al 18-lea Gabriel Cramer a găsit un nou mod de a face soluția sistemelor de ecuații liniare mai ușor. Această metodă a fost ulterior numită după el și până astăzi o folosim. Dar, pe metoda de a vorbi lui Kramer un pic mai târziu, dar acum vom discuta despre ecuații liniare și soluțiile lor separat de sistem.

Ecuații liniare

Ecuațiile liniare sunt cele mai simple ecuații cu o variabilă (e). Ele sunt clasificate ca algebrice. Ecuații liniare scrieți în forma generală după cum urmează: a₁* x₁+și_{2 *}x₂+...și_n* x_n= b. Reprezentarea acestora in aceasta forma este necesara in continuare pentru compilarea sistemelor si matricelor.

Sisteme de ecuații algebrice liniare

Definiția acestui termen este: este un set de ecuații care au cantități comune necunoscute și o soluție comună. De regulă, în școală, totul a fost rezolvat de sisteme cu două sau chiar trei ecuații. Dar există sisteme cu patru sau mai multe componente. Să ne uităm la prima, cum să le scriem, pentru ca în viitor să fie convenabil să rezolve. În primul rând, sistemele de ecuații algebrice liniare vor arăta mai bine dacă toate variabilele sunt scrise ca x cu indicele corespunzător: 1,2,3 și așa mai departe. În al doilea rând, este necesar să se aducă toate ecuațiile în forma canonică: a₁* x₁+și_{2 *}x₂+...și_n* x_n= b.

După toate aceste acțiuni, putem începe să spunem cum să găsim o soluție la sistemele de ecuații liniare. Foarte mult pentru asta avem nevoie de matrice.

matrice

O matrice este o tabelă care constă din rânduri și coloane, iar la intersecția lor sunt elementele ei. Acestea pot fi valori sau variabile specifice. De cele mai multe ori, pentru a desemna elementele, ele sunt plasate sub indiciile (de exemplu, a₁₁ sau a₂₃). Primul indice este numărul rândului, iar al doilea este coloana. Pe matrici, precum și pe orice alt element matematic, este posibil să se efectueze diverse operații. Astfel, puteți:

1) Extrageți și adăugați tabele de aceeași mărime.

2) Înmulțiți matricea cu un număr sau cu un vector.

3) Transpuneți: convertiți rândurile matricei în coloane și coloanele - în linii.

4) Înmulțiți matricile dacă numărul de rânduri ale uneia dintre ele este egal cu numărul de coloane ale celeilalte.

Vom discuta toate aceste tehnici în detaliu, deoarece ele vor fi utile pentru noi în viitor. Extragerea și adăugarea matricelor este foarte simplă. Din moment ce luăm matrici de aceeași mărime, fiecare element al unei mese se corelează cu fiecare element al celeilalte. Astfel, adăugăm (scădea) aceste două elemente (este important să stea în aceleași locuri în matricele lor). Multiplicată cu numărul de matrice sau vector înmulțiți pur și simplu fiecare element al matricei prin acel număr (sau vector). Transpunerea este un proces foarte interesant. Este foarte interesant, uneori, să îl vezi în viața reală, de exemplu, atunci când schimbi orientarea unui tabletă sau a unui telefon. Pictogramele de pe desktop este o matrice, și cu o schimbare a poziției, este transpusă și devine mai mare, dar scade în înălțime.

Vom analiza încă un astfel de proces, ca multiplicarea matricelor. Deși nu vine la îndemână, va fi totuși util să-l cunoașteți. Multiplicați două matrice numai dacă numărul de coloane dintr-un tabel este egal cu numărul de rânduri al celeilalte. Acum luăm elementele rândului unei matrice și ale elementelor coloanei corespunzătoare a celuilalt. Îi înmulțim unul pe altul și apoi le adăugăm (adică, produsul elementelor a₁₁ și a₁₂ la b₁₂ și b₂₂ va fi: a₁₁* b₁₂ + și₁₂* b₂₂). Astfel, primim un element al mesei și este completat în același mod.

Acum putem începe să analizăm cum se rezolvă sistemul de ecuații liniare.

Metoda Gauss

Acest subiect începe să aibă loc la școală. Știm bine conceptul de "sistem de două ecuații liniare" și le putem rezolva. Dar dacă numărul de ecuații este mai mare de două? Acest lucru ne va ajuta Metoda Gaussiană.

Desigur, este convenabil să folosim această metodă dacă facem o matrice din sistem. Dar nu o poți transforma și rezolva în forma sa pură.

Deci, cum rezolvă această metodă sistemul de ecuații liniare Gauss? Apropo, deși această metodă este numită după el, dar a fost descoperită în cele mai vechi timpuri. Gauss sugerează următoarele: să efectueze operații cu ecuații, pentru a conduce în cele din urmă întregul agregat la o formă asemănătoare pasului. Adică, este necesar ca din partea de sus în jos (dacă este aranjată corespunzător) de la prima ecuație la cea de-a treia să scadă cu un necunoscut. Cu alte cuvinte, trebuie să facem acest lucru pentru a obține, să zicem, trei ecuații: în primul - trei necunoscute, în al doilea - două, în al treilea - unul. Apoi, din ultima ecuație găsim primul necunoscut, înlocuim valoarea lui în a doua sau prima ecuație și apoi găsim celelalte două variabile.

Metoda lui Cramer

Pentru a stăpâni această metodă, este foarte important să ai abilitățile de a adăuga, de a scădea matricele și de a găsi factori determinanți. Prin urmare, dacă o faceți rău sau nu știți cum, va trebui să învățați și să practici.

Care este esența acestei metode, și cum să facă acest lucru, pentru a obține un sistem de ecuații liniare Cramer? Este foarte simplu. Avem nevoie de a construi o matrice de numere (aproape întotdeauna) coeficienții unui sistem de ecuații algebrice liniare. Pentru a face acest lucru, pur și simplu să ia numărul de necunoscut, și vom aranja o masă în ordinea în care sunt înregistrate în sistem. Dacă există un semn ";" în fața numărului, scrieți un coeficient negativ. Deci, am făcut prima matrice a coeficienților de necunoscutele, fără a include numărul după semnul egal (desigur, că ecuația trebuie să fie redus la forma canonică, atunci când dreptul este doar un număr, iar stânga - toate necunoscutele cu coeficienți). Apoi trebuie să creăm mai multe matrici, câte una pentru fiecare variabilă. Pentru aceasta, înlocuiți fiecare coloană din prima matrice cu coloana cu numărul coloanei după semnul egal. Astfel obținem mai multe matrici și apoi găsim determinanții lor.

După ce am găsit determinanții, este un lucru mic. Avem o matrice inițială și există mai multe matrici derivate care corespund diferitelor variabile. Pentru a obține soluțiile de sistem, împărțim determinantul tabelului obținut în determinantul tabelului inițial. Numărul rezultat este valoarea uneia dintre variabile. În mod similar, găsim toate necunoscutele.

Alte metode

Există mai multe metode pentru obținerea unei soluții de sisteme de ecuații liniare. De exemplu, așa-numita metodă Gauss-Jordan, care este utilizat pentru găsirea de soluții ale sistemului de ecuații pătratice și, de asemenea, se referă la utilizarea matricelor. Există, de asemenea, metoda Jacobi pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Este cel mai adaptabil pentru un computer și este folosit în tehnologia informatică.

Cazuri complexe

Complexitatea apare de obicei în cazul în care numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile. Apoi putem spune cu certitudine că fie sistemul este incompatibil (adică nu are rădăcini), fie numărul soluțiilor sale tinde spre infinit. Dacă avem al doilea caz, atunci trebuie să notăm soluția generală a sistemului de ecuații liniare. Acesta va conține cel puțin o variabilă.

concluzie

Așa că am ajuns până la capăt. Să rezumăm: am analizat ce sistem și matrice sunt și am învățat să găsim o soluție generală a unui sistem de ecuații liniare. În plus, am considerat alte opțiuni. Au aflat cum se rezolvă sistemul de ecuații liniare: metoda Gauss și Metoda lui Cramer. Am vorbit despre cazuri complicate și alte modalități de găsire a soluțiilor.

De fapt, acest subiect este mult mai amplu, iar dacă vreți să îl înțelegeți mai bine, vă recomandăm să citiți mai mult literatura de specialitate.