Metoda lui Cramer și aplicarea acestuia

Metoda Cramer este una dintre metodele exacte de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE). Precizia sa se datorează utilizării factorilor determinanți ai matricei sistemului, precum și a anumitor restricții impuse în cursul demonstrației teoremei.

Sistemul de ecuații algebrice liniare cu coeficienți aparținând, de exemplu, mulțimii de numere R-reale, de la necunoscutele x1, x2, ..., xn este un set de expresii ale formei

ai2 x1 + ai2 x2 + hellip-ain xn = bi pentru i = 1, 2, hellip-, m, (1)

unde aij, bi sunt numere reale. Fiecare dintre aceste expresii este numită ecuația liniară, aij - coeficienți pentru necunoscuți, coeficienți bi-liberi ai ecuațiilor.

soluție de (1) se face referire la vectorul n-dimensional x ° = (x1 °, x2 °, hellip-, xn °), la care substituție în sistem pentru x1 necunoscutele, x2, ..., xn, fiecare dintre liniile din sistemul devine cel mai bun egalitate.

Se spune că un sistem este articulat dacă are cel puțin o soluție și este incompatibil dacă setul său de soluții coincide cu setul gol.

Trebuie reamintit că pentru a găsi o soluție la sistemele de ecuații algebrice liniare utilizând metoda lui Cramer, matricele sistemelor trebuie să fie pătrat, ceea ce înseamnă în esență același număr de necunoscute și ecuații din sistem.

Deci, pentru a folosi metoda lui Cramer, ceea ce este o matrice sisteme de ecuații algebrice liniare și cum este scrisă. În al doilea rând, să înțelegem ceea ce se numește determinantul matricei și să cunoaștem abilitățile calculului său.

Să presupunem că dețineți aceste cunoștințe. Minunat! Apoi, trebuie doar să vă amintiți formulele care determină metoda lui Cramer. Pentru a simplifica memorarea, folosim următoarea notație:

• Det este determinantul principal al matricei sistemului;

• deti este determinantul matricei obținute din matricea principală a sistemului dacă înlocuim coloana i a matricei cu un vector de coloană ale cărui elemente sunt părțile drepte ale sistemelor de ecuații algebrice liniare;

• n este numărul de necunoscute și ecuații din sistem.

Apoi, regula Cramer pentru calculul componentei i (x = i, 1, ... n) a vectorului n-dimensional x poate fi scrisă sub forma

xi = deti / Det, (2).

Det este strict nenul.

Unicitatea soluției sistemului atunci când este compatibilă asigură faptul că principalul determinant al sistemului este zero. Altfel, dacă suma (xi), pătrat, este strict pozitivă, atunci SLAE cu matricea pătrată va fi inconsistentă. Acest lucru se poate întâmpla, în special, atunci când cel puțin unul dintre copii este diferit de zero.

Exemplul 1. Rezolva sistemul tridimensional al LAA folosind formulele lui Cramer.
x1 + 2 x2 + 4x3 = 31,
5 x 1 + x 2 + 2 x 3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Soluția. Să scriem linia matricei de sistem pe linie, unde Ai este rândul i al matricei.
A1 = (1 2 4), A 2 = (5 1 2), A 3 = (3 -1 1).
Coloana coeficienților liberi b = (31 29 10).

Principalul determinant al sistemului Det este
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Pentru a calcula det1, vom folosi substituția a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. atunci
det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = -81.

In mod similar, pentru a calcula det2 utilizare substituție a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3, și, în consecință, să se calculeze det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Apoi puteți verifica dacă det2 = -108 și det3 = -135.
Conform formulelor lui Cramer, găsim x1 = -81 / (-27) = 3, x2 = -108 / (-27) = 4, x3 = -135 / (-27) = 5.

răspundă: x ° = (3,4,5).

Pe baza condițiilor de aplicabilitate a acestei reguli, metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare poate fi utilizată indirect, de exemplu, cu scopul de a investiga sistemul pentru un număr posibil de soluții în funcție de valoarea unui anumit parametru k.

Exemplul 2. Determinați pentru ce valori ale parametrului k inegalitatea | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 |<= 0 are exact o soluție.

Soluția.
Această inegalitate, datorită definirii modulului unei funcții, poate fi satisfăcută numai dacă ambele expresii sunt simultan zero. Prin urmare, această problemă reduce la găsirea unei soluții a unui sistem liniar de ecuații algebrice

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Soluția acestui sistem este unică dacă principalul său determinant
Det = k ^ {2} + 1 este nenul. Evident, această condiție este valabilă pentru toate valorile reale ale parametrului k.

răspundă: pentru toate valorile reale ale parametrului k.

Pentru probleme de acest tip, multe probleme practice din domeniu matematică, fizică sau chimie.