Ce este egalitatea? Primul semn și principiile egalității

"Egalitatea" este un subiect pe care elevii continuă să îl aibă în școala primară. Ea îi însoțește, de asemenea, "inegalitățile". Aceste două concepte sunt strâns legate între ele. În plus, ele sunt asociate cu termeni precum ecuații, identități. Deci, ce este egalitatea?

Noțiunea de egalitate

Sub acest termen înțelegeți afirmațiile, în înregistrările care conțin un semn "=". Egalitățile sunt împărțite în adevărate și false. Dacă este în intrare în loc de = este <,>, atunci vorbim de inegalități. Apropo, primul semn al egalității spune că ambele părți ale expresiei sunt identice în rezultatul sau înregistrarea lor.

Pe lângă noțiunea de egalitate, școala studiază și tema "egalității numerice". Prin această afirmație înțelegem două expresii numerice care se află pe ambele părți ale semnului. De exemplu, 2 * 5 + 7 = 17. Ambele părți ale înregistrării sunt egale una cu cealaltă.

În expresiile numerice de acest tip, pot fi utilizate paranteze care afectează ordinea acțiunilor. Deci, există 4 reguli care trebuie luate în calcul la calcularea rezultatelor expresiilor numerice.

1. Dacă nu există paranteze în înregistrare, atunci acțiunile sunt efectuate din etapa superioară: III → II → I. Dacă există mai multe acțiuni dintr-o categorie, atunci ele sunt executate de la stânga la dreapta.
2. Dacă există paranteze în înregistrare, atunci acțiunea este efectuată în paranteze, și apoi luați în considerare pașii. Poate că vor exista mai multe acțiuni în paranteze.
3. Dacă expresia este reprezentată ca o fracțiune, atunci numerotatorul trebuie mai întâi să fie calculat, atunci numitorul, atunci numitorul este împărțit de numitor.
4. Dacă în înregistrare există paranteze imbricate, atunci expresia din paranteze este evaluată mai întâi.

Deci, acum este clar ce este egalitatea. În viitor vor fi luate în considerare noțiunile de ecuație, identități și metode de calcul al acestora.

Proprietăți ale egalității numerice

Ce este egalitatea? Studiul acestui concept necesită cunoașterea proprietăților identităților numerice. Următoarele formule de text vă permit să studiați mai bine acest subiect. Desigur, aceste proprietăți sunt mai potrivite pentru studierea matematicii în clasele superioare.

1. Egalitatea numerică nu va fi încălcată dacă în ambele părți este adăugat un singur număr la expresia existentă.

A = B harr-A + 5 = B + 5

2. Ecuația nu va fi încălcată dacă ambele părți sunt înmulțite sau împărțite în același număr sau expresie, care sunt diferite de zero.

P = 0 harr- P ∙ 5 = O ∙ 5

P = 0 harr-P: 5 = 0: 5

3. Adăugând la ambele părți ale identității aceeași funcție, care are sens pentru orice valori admisibile ale variabilei, obținem o nouă egalitate, echivalentă celei originale.

F (X) = Psi-(X) harr- F (X) + R (X) = Psi-(X) + R (X)

4. Orice termen sau expresie poate fi transferat pe cealaltă parte a semnului egal, în timp ce schimbarea semnelor la contrariul.

X + 5 = Y-20 harr- X = Y - 20 - 5 harr- X = Y - 25

5. multiplica sau împărți ambele părți de aceeași funcție care este diferită de zero și având semnificația pentru fiecare valoare a lui X de la DHS, obținem o nouă ecuație, care este echivalent cu originalul.

F (X) = Psi- (X) harr- F (X) ∙ R (X) = Psi- (X) ∙ R (X)

F (X) = Psi-(X) harr- F (X): G (X) = Psi-(X): G (X)

Regulile de mai sus indică în mod explicit principiul egalității, care există în anumite condiții.

Conceptul de proporție

În matematică există un fel de egalitate a relațiilor. În acest caz, determinarea proporției este implicită. Dacă împărțiți A cu B, rezultatul este raportul dintre numărul A și numărul B. O proporție este egalitatea a două relații:

Uneori proporția este scrisă după cum urmează: A: B = C: D. Aceasta implică proprietatea de bază a proporției: A * D = D * C, unde A și D sunt termenii extreme ai proporției, iar B și C sunt medii.

identitățile

Identitatea este o egalitate care va fi valabilă pentru toate valorile admisibile ale acelor variabile care intră în muncă. Identitățile pot fi reprezentate ca egalități alfabetice sau numerice.

La fel de egale sunt expresiile care conțin în ambele părți ale ecuației o variabilă necunoscută care poate egala două părți ale aceluiași întreg.

Dacă înlocuim o expresie cu alta, care va fi egală cu ea, atunci vorbim de transformarea identității. În acest caz, se pot folosi formulele de multiplicare redusă, legile aritmetice și alte identități.

Pentru a reduce fracțiunea, este necesar să se efectueze transformări identice. De exemplu, este oferită o fracție. Pentru a obține rezultatul, trebuie să utilizăm formulele de multiplicare, factorizare, simplificare a expresiilor și reducerea fracțiunilor.

Trebuie luat în considerare faptul că această expresie va fi aceeași atunci când numitorul nu este egal cu 3.

5 moduri de a dovedi identitatea

Pentru a demonstra identitatea este identică, trebuie să convertim expresiile.

În felul ăsta

Este necesar să se efectueze transformări echivalente pe partea stângă. Drept rezultat, partea dreapta este obținută și putem spune că identitatea este dovedită.

II

Toate acțiunile pentru conversia expresiei apar în partea dreaptă. Rezultatul manipulărilor făcute este partea stângă. Dacă ambele părți sunt identice, identitatea este dovedită.

Metoda III

"Transformările" apar în ambele părți ale expresiei. Dacă rezultatul este două părți identice, identitatea este dovedită.

IV

Partea dreaptă este scăzută din partea stângă. Ca rezultat al transformărilor echivalente, rezultatul ar trebui să fie zero. Atunci putem vorbi despre identitatea expresiei.

În felul ăsta

Partea stângă este scos din dreapta. Toate transformările echivalente sunt reduse la zero în răspuns. Numai atunci putem vorbi despre identitatea egalității.

Proprietățile de bază ale identităților

În matematică, proprietățile de egalitate sunt adesea folosite pentru a accelera procesul de calcul. Datorită identităților de bază algebrice, procesul de calcul al unor expresii va dura câteva minute în loc de ore lungi.

• X + Y = Y + X
• X + (Y + C) = (X + Y) + C
• X + 0 = X
• X + (-X) = 0
• X ∙ (Y + C) = X ∙ Y + X ∙ C
• X ∙ (Y - C) = X ∙ Y - X ∙ C
• (X + Y) ∙ (C + E) = X ∙ C + X ∙ E + Y ∙ C + Y ∙ E
• X + (Y + C) = X + Y + C
• X + (Y-C) = X + Y-C
• X - (Y + C) = X - Y - C
• X - (Y - C) = X - Y + C
• X ∙ Y = Y ∙ X
• X ∙ (Y ∙ C) = (X ∙ Y) ∙ C
• X ∙ 1 = X
• X ∙ 1 / X = 1, unde X ne-0

Formule de multiplicare prescurtată

În esență, formulele de multiplicare redusă sunt egalități. Ele ajută la rezolvarea multor probleme de matematică datorită simplității și ușurinței manipulării.

• (A + B)² = A² + 2 ∙ А ∙ В + В² - pătratul sumei unei perechi de numere;
• (A - B)² = A² - 2 ∙ А ∙ В + В² - pătratul diferenței unei perechi de numere;
• (C + B) ∙ (C - B) = C² - În² - diferența de pătrate;
• (A + B)³ = A³ + 3 ∙ A²∙ B + 3 ∙ A ∙ B² + În³ - cubul sumei;
• (A - B)³ = A³ - 3 ∙ A²∙ B + 3 ∙ A ∙ B² - În³ - cub de diferență;
• (P + B) ∙ (P² - Р ∙ В + В²) = P³ + În³ - suma cuburilor;
• (P - B) ∙ (P² + Р ∙ В + В²) = P³ - În³ - diferența de cuburi.

Formulele de multiplicare prescurtată sunt adesea folosite dacă este necesar să se aducă un polinom în forma obișnuită, simplificând-o în toate modurile posibile. Formulele prezentate sunt dovedite simplu: este suficient să deschideți parantezele și să le acordați astfel de termeni.

ecuație

După ce ați studiat întrebarea, ce este egalitatea, puteți trece la următorul punct: că o astfel de ecuație. O ecuație este o egalitate în care sunt prezente cantități necunoscute. Soluția ecuației este găsirea tuturor valorilor variabilei sub care ambele părți ale întregii expresii vor fi egale. De asemenea, există sarcini în care găsirea de soluții pentru ecuație este imposibilă. În acest caz, ei spun că nu există rădăcini.

Ca regulă, egalitățile cu necunoscute dau numere întregi ca soluție. Cu toate acestea, există cazuri în care rădăcina este un vector, o funcție și alte obiecte.

Ecuația este unul dintre cele mai importante concepte din matematică. Majoritatea problemelor științifice și practice nu permit măsurarea sau calcularea valorii. Prin urmare, este necesar să se facă un raport care să satisfacă toate condițiile de activitate. În procesul de compunere a unei astfel de relații, apare o ecuație sau un sistem de ecuații.

De obicei, soluția de egalitate cu necunoscutul este redusă la transformarea unei ecuații complexe și să o remarcăm în forme simple. Este necesar să ne amintim că conversiile trebuie efectuate în ceea ce privește ambele părți, altfel rezultatul va avea un rezultat greșit.

4 moduri de a rezolva ecuația

Prin soluția ecuației înțelegem înlocuirea unei egalități date de o altă, echivalentă cu prima. O astfel de substituție este cunoscută sub numele de transformarea identității. Pentru a rezolva ecuația, trebuie să utilizați una dintre metode.

1. O expresie este înlocuită de o altă expresie, care va fi în mod necesar aceeași ca prima. Exemplu: (3 ∙ x + 3)²= 15 ∙ x + 10. Această expresie poate fi convertită la 9 x²+18 ∙ x + 9 = 15 ∙ x + 10.

2. Realizarea membrilor de egalitate cu necunoscutul de la o parte la alta. În acest caz, trebuie să schimbați corect semnele. Cea mai mică greșeală va distruge toată munca făcută. De exemplu, luați "proba" anterioară.

9 ∙ x² + 12 ∙ x + 4 = 15 ∙ x + 10

9 ∙ x² + 12 ∙ x + 4 - 15 ∙ x - 10 = 0

9 ∙ x² - 3 ∙ x - 6 = 0

Mai mult, ecuația este rezolvată cu ajutorul discriminantului.

3. Înmulțiți ambele părți ale unui număr egal sau expresie care nu este egal cu 0. Cu toate acestea, trebuie reamintit faptul că, atunci când noua ecuație nu este echivalentă cu egalitatea în fața schimbării, atunci cantitatea de rădăcini pot varia foarte mult.

4. Încrucișarea celor două părți ale ecuației. Această metodă este pur și simplu minunată, mai ales atunci când există expresii iraționale în ecuație, adică, rădăcină pătrată și expresia de sub ea. Există o singură nuanță: dacă ridicați ecuația într-o măsură uniformă, atunci puteți avea rădăcini străine care vor distorsiona esența sarcinii. Și dacă este greșit să extrageți rădăcina, atunci semnificația problemei în această problemă va fi neclară. Exemplu: │7 ∙ x│ = 35 → 1) 7 ∙ x = 35 și 2) - 7 ∙ x = 35 → ecuația va fi rezolvată corect.

Astfel, acest articol menționează termeni precum ecuațiile și identitățile. Toți vin din conceptul de "egalitate". Datorită diferitelor tipuri de expresii echivalente, rezolvarea unor probleme este mult facilitată.