Ecuația - ce este? Definiția termenului, exemple

În cursul matematicii școlare, copilul aude mai întâi termenul "ecuație". Ce este asta, să încercăm să ne dăm seama împreună. În acest articol, vom examina tipurile și metodele de rezolvare.

Matematica. ecuație

În primul rând, oferim să înțelegem însăși noțiunea, ce este? După cum spun multe manuale de matematică, ecuația este o expresie între care există în mod necesar un semn egal. În aceste expresii există litere, așa-numitele variabile, a căror semnificație trebuie găsită.

Ce este o variabilă? Este un atribut al unui sistem care își schimbă sensul. Un exemplu clar de variabile sunt:

• temperatura aerului;
• creșterea copiilor;
• greutate și așa mai departe.

În matematică ele sunt notate cu litere, de exemplu, x, a, b, c ... De obicei, sarcina din matematică seamănă astfel: găsiți valoarea ecuației. Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți valoarea acestor variabile.

specie

Ecuația (care este cea pe care am dezasamblat-o în paragraful anterior) poate avea următoarea formă:

• liniar;
• pătrat;
• cub;
• algebrică;
• transcendental.

Pentru o cunoaștere mai detaliată cu toate speciile, vom lua în considerare fiecare separat.

Ecuația liniară

Acesta este primul tip pe care elevii îl cunosc. Ele sunt rezolvate destul de repede și simplu. Deci, ecuația liniară, ce este? Aceasta este o expresie a formei: ax = c. Deci, nu este foarte clar, deci să dăm câteva exemple: 2x = 26-5x = 40-1.2x = 6.

Să examinăm exemple de ecuații. Pentru a face acest lucru, trebuie să colectăm toate datele cunoscute dintr-o parte, iar cele necunoscute în cealaltă: x = 26 / 2- x = 40 / 5- x = 6 / 1,2. Aici am folosit regulile elementare ale matematicii: a * c = e, din acest c = e / a - a = e / c. Pentru a finaliza soluția ecuației, efectuăm o acțiune (în cazul nostru, diviziunea) x = 13-x = 8-x = 5. Acestea au fost exemple de multiplicare, acum priviti la scaderea si adunarea: x + 3 = 9 - 10x-5 = 15. Datele cunoscute sunt transferate într-o parte: x = 9-3-x = 20/10. Realizăm ultima acțiune: x = 6-x = 2.

De asemenea, sunt posibile variante de ecuații liniare, unde se utilizează mai mult de o variabilă: 2x-2y = 4. Pentru a rezolva, este necesar să adăugați fiecare parte 2Y, vom obține 2x-2y + 2y = 4-2u, așa cum am văzut, pe partea stângă a semnului egal și -2u + 2Y redus, astfel am rămas cu: 2x = 4 -2u. Ultimul pas împarte fiecare parte în două, obținem răspunsul: X este egal cu două minus jocul.

Probleme cu ecuațiile sunt întâlnite chiar și pe papiri Ahmess. Iată una dintre sarcinile: numărul și a patra parte dau un total de 15. Pentru ao rezolva, vom scrie următoarea ecuație: x plus un sfert x este egal cu cincisprezece. Vedem un alt exemplu ecuația liniară, cu privire la rezultatul soluției, primim răspunsul: x = 12. Dar această problemă poate fi rezolvată într-un alt mod, și anume egipteanul sau, așa cum se numește într-un alt mod, metoda de asumare. În papirus, se folosește următoarea soluție: luați patru și oa patra parte din ea, adică una. În concluzie, ei dau cinci, acum cincisprezece trebuie împărțit într-o sumă, primim trei, ultima acțiune trei înmulțită cu patru. Avem răspunsul: 12. De ce împărțim între 15 și 5 în decizie? Deci, știm de câte ori cincisprezece, adică rezultatul pe care trebuie să-l obținem, mai puțin de cinci. Acesta a fost modul de a rezolva problemele din Evul Mediu, el a fost numit metoda de falsitate.

Ecuații pătrate

Pe lângă exemplele examinate mai devreme, există și altele. Care dintre ele? O ecuație patratică, ce este? Ele au forma toporului²+bx + c = 0. Pentru a le rezolva, trebuie să vă familiarizați cu anumite concepte și reguli.

În primul rând, trebuie să găsim discriminantul prin formula: b²-4ac. Există trei opțiuni pentru rezultatul soluției:

• discriminantul este mai mare decât zero;
• mai puțin de zero;
• este egal cu zero.

În prima variantă, putem obține un răspuns de la două rădăcini, care se găsesc după formula: -b + -cres din discriminant împărțit de două ori cu primul coeficient, adică 2a.

În al doilea caz, ecuația nu are rădăcini. În al treilea caz, rădăcina se găsește după formula: -b / 2a.

Luați în considerare un exemplu de ecuație cuadratoare pentru o cunoaștere mai detaliată: trei x-pătrate minus paisprezece x minus cinci sunt egale cu zero. În primul rând, după cum am scris mai devreme, căutăm un discernământ, în cazul nostru este egal cu 256. Rețineți că numărul obținut este mai mare decât zero, prin urmare trebuie să obținem un răspuns format din două rădăcini. Înlocuim discriminantul primit în formula pentru găsirea rădăcinilor. Ca rezultat, avem: X este egal cu cinci și minus o treime.

Cazuri speciale în ecuațiile patratice

Acestea sunt exemple în care unele valori sunt zero (a, b sau c) și, eventual, mai multe.

De exemplu, să luăm următoarea ecuație, care este pătrați: două x în pătrat este egal cu zero, aici vedem că b și c sunt zero. Să încercăm să o rezolvăm, pentru că noi împărțim ambele părți ale ecuației în două, avem: x²= 0. Ca rezultat, obținem x = 0.

Un alt caz de 16x²-9 = 0. Aici, numai b = 0. Rezolvăm ecuația, transferăm coeficientul liber pe partea dreaptă: 16x²= 9, acum împărțim fiecare parte în șaisprezece: x²= nouăsprezece șaisprezece. Deoarece avem x în pătrat, rădăcina de 9/16 poate fi negativă sau pozitivă. Răspunsul este scris astfel: X este egal cu plus / minus trei sferturi.

O varianta a raspunsului este posibila, deoarece ecuatia radacinului nu o face. Să examinăm un exemplu: 5x²+80 = 0, aici b = 0. Pentru a rezolva termenul liber, aruncați-l în partea dreaptă, după aceste acțiuni obținem: 5x²= -80, divizați acum fiecare parte în cinci părți: x²= minus șaisprezece. Dacă un număr este pătrat, atunci nu avem o valoare negativă. Prin urmare, răspunsul nostru este: ecuația rădăcină nu.

Descompunerea trinomului

Sarcina ecuațiilor patratice poate, de asemenea, să sune într-un alt mod: să descompun trinomul pătrat în multiplicatori. Acest lucru se poate face folosind următoarea formulă: a (x-x₁) (x-x₂). Pentru aceasta, ca și în altă variantă a sarcinii, este necesar să găsim un discriminativ.

Luați în considerare următorul exemplu: 3x²-14x-5, extindeți trinomul în multiplicatori. Gasim discriminant, folosind formula deja cunoscuta de noi, este obtinuta egala cu 256. Observam imediat ca 256 este mai mare decat zero, deci ecuatia va avea doua radacini. Le găsim, ca și în paragraful precedent, avem: x = 5 și minus o treime. Utilizăm formula pentru extinderea unui trinomial în multiplicatori: 3 (x-5) (x + 1/3). În al doilea bracket, am primit semnul egal, deoarece în formula există un semn minus, iar rădăcina este de asemenea negativă, folosind cunoștințele elementare ale matematicii, în suma cu care avem un semn plus. Pentru simplitate, multiplicăm primul și al treilea termen al ecuației pentru a scăpa de fracțiunea: (x-5) (x + 1).

Ecuațiile care se reduc la un nivel patrat

În acest paragraf vom învăța să rezolvăm ecuații mai complicate. Să începem cu un exemplu:

(x² - 2x)² - 2 (x² - 2x) - 3 = 0. Putem vedea elemente duplicate: (x² - 2x), este convenabil pentru noi să îl înlocuim cu o altă variabilă, și apoi să rezolvăm ecuația obișnuită, am observat imediat că în această sarcină obținem patru rădăcini, acest lucru nu ar trebui să vă sperie. Indicăm repetarea variabilei a. Obținem: a²-2a-3 = 0. Următorul pas este să găsim discriminantul noii ecuații. Primim 16, găsim două rădăcini: minus una și trei. Ne amintim că am făcut o înlocuire, înlocuim aceste valori, în final avem ecuațiile: x² - 2x = -1 - x² - 2x = 3. Le rezolvăm în primul răspuns: x este egal cu unul, în al doilea: x este egal cu minus unul și trei. Redactăm răspunsul după cum urmează: plus / minus unul și trei. De regulă, răspunsul este scris în ordine crescătoare.

Ecuațiile cubice

Să luăm în considerare o altă variantă posibilă. Vom discuta despre ecuațiile cubice. Ele au forma: topor ³ + b x ² + cx + d = 0. Exemple de ecuații vom lua în considerare mai jos, dar pentru început o mică teorie. Acestea pot avea trei rădăcini, deoarece există o formulă pentru găsirea discriminantului pentru o ecuație cubică.

Luați în considerare un exemplu: 3x³+4²+2x = 0. Cum să o rezolvi? Pentru a face acest lucru, am pus doar x în paranteze: x (3x²+4x + 2) = 0. Tot ce trebuie să facem este să calculam rădăcinile ecuației în paranteze. Distingentul ecuației patrate în paranteze este mai mic decât zero, pe această bază expresia are o rădăcină: x = 0.

Algebra. ecuație

Continuăm la formularul următor. Acum analizăm pe scurt ecuațiile algebrice. Una dintre sarcini este următoarea: metoda de grupare se descompun în multiplicatori de 3 ori⁴+2³+8x²+2x + 5. Cea mai convenabilă este următoarea grupare: (3x⁴+3²) + (2x³+2x) + (5x²+5). Menționăm că Sx² din prima expresie, am prezentat suma de 3x² și 5x². Acum eliminăm din fiecare pereche factorul comun 3x²(x2 + 1) + 2x (x²+1) + 5 (x²+1). Vedem că avem un multiplicator comun: x într-un pătrat plus unul, îl scoatem din paranteze: (x²+1) (3x²+2x + 5). Descompunerea ulterioară este imposibilă, deoarece ambele ecuații au o discriminare negativă.

Ecuații transcendentale

Propunem să rezolvăm următorul tip. Acestea sunt ecuații care conțin funcții transcendentale, și anume, logaritmice, trigonometrice sau exponențiale. Exemple: 6sin²x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 și așa mai departe. Cum se vor rezolva, veți învăța din cursul trigonometriei.

funcție

Ultimul pas este de a lua în considerare conceptul unei ecuații funcționale. Spre deosebire de versiunile anterioare, acest tip nu este rezolvat, iar pe acesta este construit un grafic. Pentru aceasta, ecuația este bine analizată, pentru a găsi toate punctele necesare pentru construcție, pentru a calcula punctele minime și maxime.