Metoda elementului finit este un mod universal de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

În știința modernă, există multe abordări pentru construirea cantitative model matematic orice sistem. Și una dintre ele este considerată a fi metoda elementului finit, care se bazează pe stabilirea comportamentului elementului diferențial (infinitezimal) al acesteia, pe baza relației presupuse dintre elementele de bază care pot da o caracterizare completă a acestui sistem. Astfel, această tehnică utilizează ecuații diferențiale în descrierea sistemului.

Aspecte teoretice

Metodele teoretice sunt conduse de metoda diferențelor finite, care este strămoșul acestei serii de instrumente de calcul și este larg utilizată. În metodele de diferențe finite, aplicarea lor la orice ecuații diferențiale. Cu toate acestea, datorită greutății și programabilității dificile a contabilizării condițiilor limită ale problemei, există unele limitări în aplicarea acestor tehnici. Precizia soluției depinde de nivelul rețelei, care definește punctele nodale. Prin urmare, atunci când rezolvăm probleme de acest tip, este adesea necesar să se ia în considerare sisteme de ecuații algebrice de ordin superior.

Metoda elementului finit este o abordare care a atins un nivel foarte ridicat de precizie. Și astăzi, mulți oameni de știință observă că în stadiul actual nu există o metodă analogică capabilă să producă aceleași rezultate. Metoda cu elemente finite are o gamă largă de aplicabilitate, eficiență și ușurință, cu care sunt luate în considerare condițiile limită reale, care fac posibilă obținerea unui concurent serios pentru orice altă metodă. Cu toate acestea, în plus față de aceste avantaje, este caracterizat de unele dezavantaje. De exemplu, este reprezentat de o schemă de eșantionare, care implică în mod inevitabil utilizarea unui număr mare de elemente. Mai ales dacă vorbim de probleme tridimensionale care au limite îndepărtate și în interiorul fiecăruia, continuitatea este urmărită pentru toate variabilele necunoscute.

Abordare alternativă

Ca alternativă, unii oameni de știință propun utilizarea unei integrări analitice a unui sistem de ecuații diferențiale într-un alt mod sau prin introducerea unor aproximări. În orice caz, indiferent de metoda utilizată, ecuația diferențială trebuie mai întâi integrată. Ca primă etapă de rezolvare a problemei, este necesar să transformăm ecuațiile diferențiale într-un sistem de analogi integrale. Această operație ne permite să obținem un sistem de ecuații care are valori într-o anumită regiune.

O altă abordare alternativă este metoda elementelor limită, a căror dezvoltare este construită pe ideea ecuațiilor integrale. Această metodă este utilizată pe scară largă, fără a se evidenția unicitatea fiecărei soluții individuale, datorită căreia devine foarte populară și se realizează utilizând tehnologii informatice.

Domeniul de aplicare

Metoda elementului finit este folosită cu succes în combinație cu alte metode numerice în formularea mixtă. Această combinație ne permite să extindem domeniul de aplicare al aplicației sale.