Metoda de tangente: descriere

Chinuit la școală pentru a rezolva ecuațiile din clasa de matematică, mulți studenți de multe ori cred că timpul lor este absolut nimic, și totuși o astfel de abilitate va veni la îndemână în viața nu numai cei care decid să urmeze pe urmele lui Descartes, Euler sau Lobachevsky.

În practică, de exemplu, în medicină sau economie, de foarte multe ori există situații în care este nevoie de un specialist pentru a afla când concentrația substanței active a unui medicament ajunge la nivelul dorit în sângele pacientului, sau au nevoie pentru a calcula timpul este nevoie de o anumită companie pentru a deveni profitabile.

Cel mai adesea vorbim despre rezolvarea unor ecuații neliniare de diferite tipuri. Pentru a face acest lucru cât mai repede posibil, în special cu utilizarea computerelor, permiteți metode numerice. Ele sunt bine studiate și s-au dovedit de mult timp eficiente. Printre acestea se numără și metoda tangentelor lui Newton, la care este dedicat acest articol.

Formularea problemei

În acest caz, există o funcție g definită pe segmentul (a, b) și ia anumite valori pe ea, adică este posibil să asocieze un anumit număr g (x) fiecărui x care aparține (a, b).

Este necesar să se stabilească toate rădăcinile ecuației din intervalul dintre punctele a și b (inclusiv capetele) pentru care funcția este resetată. Evident, acestea sunt punctele de intersecție ale lui y = g (x) cu OX.

În unele cazuri, este mult mai convenabil să înlocuiți g (x) = 0 cu un analog similar cu forma g₁(x) = g₂(X). În acest caz, abscisa (valoarea lui x) a punctelor de intersecție a grafurilor g₁(x) și g₂(X).

Soluția ecuației neliniare este, de asemenea, importantă pentru problemele de optimizare pentru care condiția locală extremă este inversarea derivatului funcției. Cu alte cuvinte, o astfel de problemă poate fi redusă la găsirea rădăcinilor ecuației p (x) = 0, unde p (x) este identitatea lui g `(x).

Metode de soluționare

Pentru unele tipuri de ecuații neliniare, de exemplu, ecuații trigonometrice simple sau simple, se pot găsi rădăcini în moduri destul de simple. În special, fiecare elev știe formulele prin care puteți găsi cu ușurință valorile argumentului punctelor în care se resetează trinomialul pătrat.

Metodele de extragere a rădăcinilor ecuațiilor neliniare sunt de obicei împărțite în analiză (directă) și iterativă. În primul caz, soluția dorită are forma unei formule, folosind pentru un număr de operații aritmetice o valoare a rădăcinilor necunoscute. Metode similare sunt dezvoltate pentru ecuațiile algebrice exponențiale, trigonometrice, logaritmice și simple. În rest, trebuie să folosim metode numerice speciale. Ele sunt ușor de implementat cu ajutorul calculatoarelor, care vă permit să găsiți rădăcinile cu precizia necesară.

Printre acestea se numără așa-numita metodă numerică a tangentelor, aceasta fiind propusă de marele om de știință Isaac Newton la sfârșitul secolului al XVII-lea. În secolele următoare metoda a fost îmbunătățită în mod repetat.

localizare

Metodele numerice de rezolvare a ecuațiilor complexe care nu dispun de soluții analitice se realizează de obicei în 2 etape. Mai întâi trebuie să le localizați. Această operație constă în găsirea unor astfel de segmente pe OX, pe care există o singură rădăcină a ecuației solvabile.

Luați în considerare intervalul [a, b]. Dacă g (x) nu are discontinuități și ia valori de la punctele de capat ale semne opuse, între a și b sau în sine este cel puțin o rădăcină de g (x) = 0. Pentru aceasta era necesar numai g (x) pe [a, b] a fost monoton. După cum se știe, această proprietate va avea un semn constant acordat grsquo- (x).

Cu alte cuvinte, în cazul în care [a, b] g (x) nu are nici un discontinuități și monoton crește sau scade, iar valoarea sa la punctele finale nu au același semn, apoi pe [a, b] există unul și numai unul rădăcina g (x ).

Trebuie remarcat faptul că acest criteriu nu va fi valabil pentru rădăcinile ecuațiilor multiple.

Soluția ecuației prin bisecție

Înainte de a analiza un număr mai complex metode (metoda tangent și soiurile sale) merită să se cunoască cel mai simplu mod de a dezvălui rădăcinile. Se numește o dihotomie și se referă la un intuitiv metode. algoritmul găsirea rădăcinilor se bazează pe teorema că dacă pentru g (x) care este continuă pe [x₀, x₁] condiția de dezacord este îndeplinită, apoi pe intervalul consideratexistă cel puțin o rădăcină g (x) = 0.

Pentru a găsi acest lucru, trebuie să împărțiți segmentul [x₀, x₁] în jumătate și să desemneze punctul de mijloc ca fiind x₂. Apoi există două variante posibile: g (x₀) * g (x₂) sau g (x₂) * g (x₁) sunt egale sau mai mici decât 0. Alegeți una pentru care una dintre aceste inegalități este adevărată. Repetați procedura descrisă mai sus până la lungimea [x₀, x₁] nu devine mai mică decât o valoare preselectată care determină corectitudinea determinării rădăcinii ecuației pe [x₀, x₁].

Meritele metodei includ fiabilitatea și simplitatea acesteia, iar dezavantajul este nevoia de a identifica inițial punctele în care g (x) are semne diferite, deci nu poate fi aplicat la rădăcinile care au o multiplicitate uniformă. În plus, nu generalizează cazul unui sistem de ecuații sau dacă vorbim de rădăcini complexe.

Exemplul 1

Să vrem să rezolvăm ecuația g (x) = 2x⁵ + x - 1 = 0. Pentru a nu căuta un segment adecvat pentru o lungă perioadă de timp, vom construi un grafic folosind, de exemplu, bine-cunoscutul program Excel. Vedem că, ca segment pentru localizarea rădăcinii, este mai bine să luăm valori din intervalul [0,1]. Putem fi siguri că există cel puțin o rădăcină a ecuației dorite.

g `(x) = 10x⁴ + 1, adică este o funcție în creștere monotonică, prin urmare, există doar o rădăcină în intervalul ales.

Substituim punctele finale din ecuație. Avem 0 și respectiv 1. În primul pas, luăm punctul 0.5 pentru soluție. Apoi g (0,5) = -0,4375. Prin urmare, următorul segment pentru împărțirea în jumătate va fi [0,5, 1]. Punctul său mediu este de 0,75. În ea, valoarea funcției este 0.226. Luăm în considerare segmentul [0,5, 0,75] și mijlocul acestuia, care se situează la 0,625. Calculam valoarea g (x) la 0.625. Este -0,11, adică negativă. Bazându-se pe acest rezultat, alegem intervalul [0,625, 0,75]. Obținem x = 0.6875. Apoi g (x) = -0,00532. Dacă precizia soluției este de 0,01, putem presupune că rezultatul dorit este 0,6875.

Baza teoretică

Această metodă de găsire a rădăcinilor prin metoda tangentelor lui Newton este populară datorită convergenței foarte rapide.

Se bazează pe faptul că, dacă x_n - o aproximare la radacina f (x) = 0, astfel încât f C¹, atunci aproximația următoare va fi în punctul în care ecuația tangentei la f (x) este zero, adică,

Înlocuim x = x_{n + 1} și zero y.

atunci algoritmul de metodă tangentele arată astfel:

Exemplul 2

Să încercăm să folosim metoda clasică a tangentelor lui Newton și să găsim soluția unor ecuații neliniare care sunt dificil sau imposibil de găsit analitic.

Să se solicite identificarea rădăcinilor pentru x³ + 4x - 3 = 0 cu o anumită precizie, de exemplu, 0,001. După cum se știe, graficul oricărei funcții sub forma unui polinom de grad impare trebuie cel puțin o dată să traverseze axa OX, adică nu există nicio îndoială cu privire la existența rădăcinilor.

Înainte de a rezolva exemplul nostru prin metoda tangentelor, construim un grafic f (x) = x³ + 4x - 3 punct. Acest lucru este foarte ușor de făcut, de exemplu, folosind procesorul de masă Excel. Din graficul obținut se va observa că pe [0,1] are loc intersecția cu axa OX și funcția y = x³ + 4x - 3 crește monotonic. Putem fi siguri că pe [0,1] ecuațiile x³ + 4x - 3 = 0 are o soluție și este unică.

algoritmul

Orice soluție a ecuațiilor prin metoda tangentă începe cu calculul f `(x). Avem:

Apoi al doilea derivat va avea forma x * 6.

Folosind aceste expresii, putem scrie formula pentru găsirea rădăcinilor ecuației prin metoda tangentelor în forma:

Apoi, trebuie să alegem aproximația inițială, adică să studiem definiția punctului care este punctul de plecare (vol₀) pentru procesul iterativ_. Considerăm capetele lui [0,1]. Pentru noi unul este potrivit, pentru care condiția multivalității funcției și al doilea derivat în x₀. După cum vedem, atunci când x este înlocuit₀ = 0 este încălcat, dar x₀ = 1 este destul de potrivit.

Deci, cum

atunci dacă suntem interesați de soluție prin metoda tangentelor cu precizie e, atunci valoarea lui x_n poate fi considerată satisfacerea cerințelor problemei, cu condiția ca inegalitatea | f (x_n) / frsquo- (x_n) |< e.

În primul pas soluția problemei prin tangentele pe care le avem:

• x₁ = x₀ - (x₀³ + 4x₀ - 3) / (3x₀² + 4) = 1 - 0,2857 = 0,71429;
• deoarece condiția nu se menține, mergem mai departe;
• obținem o nouă valoare pentru x₂, care este 0,674;
• observăm că raportul dintre valoarea funcției și derivatul acesteia în x₂ mai puțin de 0,0063, oprim procesul.

Metoda de tangente în Excel

Rezolvarea exemplului anterior poate fi mult mai ușoară și mai rapidă dacă nu efectuați calculele manual (pe un calculator), dar utilizați capabilitățile unui procesor de masă de la Microsoft.

Pentru a face acest lucru, în "Excel" trebuie să creați o pagină nouă și să umpleți celulele cu următoarele formule:

• în C7 scriem "= DEGREE (B7-3) + 4 * B7 - 3";
• în D7 introducem "= 4 + 3 * DEGREE (B7-2)";
• în E7 se scrie "= (GRADUL (B7-3) - 3 + 4 * B7) / (Gradul 3 * (B7-2) + 4)";
• în D7 se introduce expresia "= B7 - E7";
• în B8 intrăm formula condiției «= IF (E7 < 0.001 - "Finalizarea iterațiilor" - D7) ".

Mai mult, este necesar să se "întindă" formulele din coloanele C, D și E de la primele la două linii, iar după ce valorile apar în ele, să se procedeze la fel cu coloana B.

În sarcina concretă, mesajul "Completarea iterațiilor" apare în celula B10, iar pentru rezolvarea problemei va fi necesar să se ia numărul înscris în celula situată cu o linie mai mare. Pentru el, puteți selecta o coloană separată "stretchable" introducând o formulă de condiție conform căreia rezultatul va fi scris acolo dacă conținutul din una sau alta celulă din coloana B devine "Repetare finală".

Implementarea în Pascal

Să încercăm să obținem o soluție a ecuației neliniare y = x⁴ - 4 - 2 x metoda tangentelor în Pascal.

Utilizăm o funcție auxiliară care va ajuta la calcularea aproximativă a f `(x) = (f (x + delta) - f (x)) / delta. Ca o condiție pentru finalizarea procesului iterativ, alegem inegalitatea | x₀-x₁| |< nu există un număr mic. În Pascal, îl scriem ca abs (x0 - x1)<= epsilon.

Programul este demn de remarcat prin faptul că nu necesită un calcul manual al derivatului.

Metoda acordurilor

Să luăm în considerare încă o modalitate de a dezvălui rădăcinile ecuațiilor neliniare. procesul de iterație constă în faptul că aproximări succesive ca la rădăcină dorită f (x) = 0 sunt intersecțiile cu abscisele coardă obiective punctele a și b cu OX, notată cu x₁, ..., x_n . Avem:

Pentru un punct în care coarda intersectează axa OX, expresia este scrisă ca:

Fie ca al doilea derivat să fie pozitiv pentru χ e [a, b] (cazul opus se reduce la cazul examinat dacă vom scrie f (x) = 0). În acest caz, graficul y = f (x) este o curbă convexă dedesubt și situată sub coardă AB. Pot exista 2 cazuri: când funcția are o valoare pozitivă la punctul a sau este negativă la punctul b.

În primul caz, ca staționar, alegem sfârșitul a, iar pentru x₀ ia punctul b. Apoi, aproximările succesive, conform formulei prezentate mai sus, formează o secvență care scade monotonic.

În al doilea caz, capătul b este imobil pentru x₀ = a. Valorile lui x obținute la fiecare etapă a iterației formează o secvență care crește în mod monoton.

Astfel, putem afirma că:

• fixată în metoda acordurilor este sfârșitul segmentului în care semnele funcției și al doilea derivat nu coincid;
• aproximări pentru rădăcina x - x_m Lie de la el în partea unde f (x) are un semn care nu coincide cu semnul f (x).

Iterațiile pot fi continuate până când sunt îndeplinite condițiile pentru apropierea rădăcinilor la acest pas și la etapa de iterație anterioară modulo abs (x_m - x_m - ₁)< e.

Metoda modificată

Metoda combinată de acorduri și tangente vă permite să setați rădăcinile ecuației, apropiindu-le de diferite părți. O astfel de valoare, la care graficul f (x) traversează OX, face posibilă rafinarea soluției mult mai repede decât pentru fiecare dintre metode separat.

Să presupunem că trebuie să găsim rădăcinile lui f (x) = 0 dacă există pe [a, b]. Puteți aplica oricare dintre metodele descrise mai sus. Cu toate acestea, este mai bine să încercați combinația lor, din cauza căreia precizia rădăcină va fi mult îmbunătățită.

Considerăm cazul cu aproximația inițială, care corespunde condiției ca primul și al doilea derivat să aibă un semn diferit la un anumit punct x.

În aceste condiții, soluția ecuațiilor neliniare prin metoda tangentelor ne permite să găsim o rădăcină cu un exces dacă x₀= b, iar metoda folosind acorduri cu capăt fix b conduce la găsirea unei rădăcini aproximative cu un defect.

Se folosesc următoarele formule:

Acum, rădăcina dorită x trebuie căutată în intervalul [a₁, b₁]. Următorul pas este să aplicați metoda combinată acestui segment. Acționând astfel obținem formule de formă:

Dacă primul și al doilea derivat sunt diferite, atunci, argumentând într-un mod similar, pentru a rafina rădăcina, obținem următoarele formule de recurență:

Ca o condiție, inegalitatea estimată b_n+1 - o_n+1| |< e. Cu alte cuvinte, în practică este necesar să se găsească o soluție folosind două metode, dar la fiecare etapă este necesar să se afle cât de aproape sunt rezultatele obținute.

Dacă inegalitatea de mai sus este adevărată, ca rădăcină a unei ecuații neliniare la un interval predeterminat luând punctul care este exact în mijloc între soluțiile găsite într-un anumit pas iterație.

Metoda combinată este ușor de implementat în mediul TURBO PASCAL. La dorința mare este posibil să încercați să efectuați toate calculele prin metoda tabelului în programul "Excel".

În acest din urmă caz, mai multe coloane sunt selectate pentru a rezolva problema utilizând acorduri și separat pentru metoda propusă de Isaac Newton.

În acest caz, fiecare linie este folosită pentru a scrie calcule la o anumită etapă de iterație folosind două metode. Apoi, partea stanga a soluțiilor de câmp la pagina de operare activă este alocată o coloană care se potrivește rezultatul următoarei iteratie pas modulul de calcul a valorii diferenței pentru fiecare dintre metodele. Un altul poate fi folosit pentru a introduce rezultatele calculelor utilizând formula pentru calculul construcției logice "IF", utilizată pentru a determina dacă condiția este îndeplinită sau nu.

Acum știi cum să rezolvi ecuații complexe. Metoda de tangente, așa cum ați văzut deja, este realizată destul de simplu, atât în ​​Pascal, cât și în Excel. Prin urmare, puteți stabili întotdeauna rădăcinile unei ecuații care este dificilă sau imposibil de rezolvat prin intermediul formulelor.