Problemele rezolvate folosind ecuația. Rezolvarea problemelor din matematică

În cursul matematicii școlare există în mod necesar probleme. Unii sunt îmblânziți în mai multe acte, alții necesită un puzzle.

Sarcini de rezolvat cu ajutorul unei ecuații, la prima vedere dificilă. Dacă practici, atunci acest proces va ajunge la automatizare.

Forme geometrice

Pentru a înțelege întrebarea, trebuie să înțelegeți esența. Citiți cu atenție situația, este mai bine să citiți din nou de mai multe ori. Problemele pentru ecuații sunt doar la prima vedere dificile. Să considerăm un exemplu pentru început cel mai simplu.

Având un dreptunghi, trebuie să-i găsiți zona. Având în vedere: lățimea este cu 48% mai mică decât lungimea, perimetrul dreptunghiului este de 7,6 centimetri.

Rezolvarea problemelor în matematică necesită lectură atentă, logică. Să o rezolvăm împreună. Ce trebuie să țineți cont mai întâi de toate? Indicăm lungimea lui x. Prin urmare, în ecuația noastră, lățimea este de 0,52x. Ne este dat un perimetru - 7,6 centimetri. Să găsim o jumătate de perimetru, pentru acest 7.6 cm coborâm cu 2, este egal cu 3,8 centimetri. Am obținut o ecuație prin care găsim lungimea și lățimea:

0,52x + x = 3,8.

Când obținem x (lungime), nu va fi dificil să găsești 0,52x (lățime). Dacă cunoaștem aceste două cantități, atunci găsim răspunsul la întrebarea principală.

Problemele rezolvate cu ajutorul ecuației nu sunt atât de complexe cum se pare, am putea înțelege acest lucru din primul exemplu. Am găsit lungimea x = 2,5 centimetri, lățimea (vom marca y) de 0,52 x = 1,3 centimetri. Trecem în piață. Se găsește prin formula simplă S = x * y (pentru dreptunghiuri). În problema noastră, S = 3,25. Acesta va fi răspunsul.

Să luăm în considerare câteva exemple de rezolvare a problemelor legate de găsirea unei zone. Și de data asta luăm un dreptunghi. Soluția de probleme în matematică pentru găsirea perimetrului, zona de cifre diferite este destul de des. Am citit starea problemei: este dat un dreptunghi, lungimea acestuia fiind de 3,6 centimetri mai mare decât lățimea, care este de 1/7 din perimetrul figurii. Găsiți zona acestui dreptunghi.

Va fi convenabil să indicați lățimea variabilei x și lungimea după (x + 3,6) centimetri. Găsiți perimetrul:

P = 2x + 3,6.

Nu putem rezolva ecuația, deoarece avem două variabile în ea. Prin urmare, ne uităm din nou la această condiție. Se spune că lățimea este de 1/7 din perimetru. Obținem ecuația:

1/7 (2x + 3,6) = x.

Pentru confortul soluției, se înmulțește fiecare parte a ecuației cu 7, astfel încât să scăpăm de fracție:

2x + 3,6 = 7x.

După soluție, obținem x (lățime) = 0,72 centimetri. Cunoscând lățimea, găsim lungimea:

0,72 + 3,6 = 4,32 cm.

Acum știm lungimea și lățimea, răspundem la întrebarea principală despre ce este egal cu aria dreptunghiului.

S = x * y, S = 3,1104 cm.

Trestia cu lapte

Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuațiilor provoacă multe dificultăți elevilor, în ciuda faptului că acest subiect începe în clasa a IV-a. Sunt multe exemple, ne-am uitat la găsirea zonei figurilor, acum puțin distrasă de geometrie. Să ne uităm la sarcini simple cu tabulare, vă ajută vizual: pentru a vedea datele care ajută la rezolvare.

Invitați copiii să citească starea problemei și să creeze o masă care să vă ajute să compuneți ecuația. Iată condiția: există două cutii, în primul trei ori mai mult lapte decât în ​​al doilea. Dacă primul se toarnă cinci litri în al doilea, laptele va fi egal. Întrebare: Cat de mult lapte era în fiecare cutie?

Pentru a vă ajuta cu soluția, trebuie să creați un tabel. Cum arata?

Cum va ajuta acest lucru în formularea ecuației? Știm că, ca urmare a faptului că laptele a devenit egal, ecuația va arăta astfel:

3x-5 = x + 5-

2x = 10-

x = 5.

Am constatat cantitatea inițială de lapte din cea de-a doua cutie, ceea ce înseamnă că în primul au fost: 5 * 3 = 15 litri de lapte.

Acum, o mică explicație privind compilarea tabelului.

De ce am desemnat prima cană de 3 ori: în condiția în care se prevede că cel de-al doilea tun de lapte este de trei ori mai mic. Apoi am citit că din primul canistru au fost drenate 5 litri, de aici 3 - 5, și în al doilea turn turnat: x + 5. De ce am echivalat aceste condiții? În condiția problemei se spune că laptele a devenit egal.

Deci, primim răspunsul: primul tun - 15 litri, al doilea - 5 litri de lapte.

Determinarea adâncimii

Prin condiția problemei: adâncimea primului puț este de 3,4 metri mai mare decât a doua. Primul puț a fost mărit cu 21,6 metri, iar cel de-al doilea - de trei ori, după aceste acțiuni, puțurile au aceeași adâncime. Este necesar să se calculeze ce adâncime fiecare puț a avut inițial.

Metodele de rezolvare a problemelor sunt numeroase, se pot face acțiuni, se pot crea ecuații sau sistemul lor, dar a doua opțiune este cea mai convenabilă. Pentru a merge la soluție, vom crea un tabel, ca în exemplul anterior.

Acum ne îndreptăm spre formularea ecuației. Deoarece sondele au aceeași adâncime, are următoarea formă:

x + 3,4 + 21,6 = 3x-

x = 3x =-25

-2x = -25-

x = -25 / -2-

x = 12,5

Am găsit adâncimea inițială a celui de-al doilea bine, acum putem găsi primul:

12,5 + 3,4 = 15,9 m.

După acțiunile efectuate, scriem răspunsul: 15,9 m, 12,5 m.

Doi frați

Rețineți că această sarcină diferă de toate cele anterioare, deoarece prin condiția inițială a fost același număr de obiecte. În urma acestui lucru, masa auxiliară este întocmită în ordine inversă, adică de la "a devenit" la "a fost".

Stare: doi frati au primit un numar egal de nuci, dar bătrânul ia dat fratelui său 10, după care nucile celor mai tineri au devenit de cinci ori mai mari. Câți nuci sunt pentru fiecare băiat?

Formăm ecuația:

x + 10 = 5x - 10-

-4x = -20-

x = 5 - au devenit nucile fratelui mai mare;

5 * 5 = 25 - fratele mai mic.

Acum puteți scrie răspunsul: 5 piulițe - 25 nuci.

cumpărare

În școală trebuie să cumperi cărți și notebook-uri, primul mai scump decât cel de-al doilea la 4,8 ruble. Trebuie să calculați cât de mult costă un notebook și o carte, dacă cumpărați aceleași cinci cărți și douăzeci și unu de cărți cu aceeași sumă de bani.

Înainte de a ajunge la o soluție, merită să răspundeți la următoarele întrebări:

• Care este problema problemei?
• Cât au plătit ei?
• Ce ai cumpărat?
• Ce valori pot fi nivelate?
• Ce trebuie să știți?
• Care este valoarea pentru x?

Dacă ați răspuns la toate întrebările, atunci ne întoarcem la soluție. În acest exemplu, valoarea x poate fi luată ca prețul unui notebook și costul cărții. Să luăm în considerare două variante posibile:

1. x este costul unui notebook, atunci x + 4,8 - prețul cărții. Continuând de aici, obținem ecuația: 21x = 5 (x + 4,8).
2. x este costul cărții, atunci x - 4.8 - prețul notebook-ului. Ecuația are forma: 21 (x - 4,8) = 5x.

Puteți alege o opțiune mai convenabilă pentru dvs., apoi rezolvați două ecuații și comparați răspunsurile, acestea ar trebui să coincidă pe ansamblu.

Prima cale

Soluția primei ecuații este:

21x = 5 (x + 4,8) -

4,2x = x + 4,8-

4,2x-x = 4,8-

3,2 x = 4,8-

x = 1,5(RUB) - costul unui notebook;

4,8 + 1,5 = 6,3 (ruble) - costul unei cărți.

O altă modalitate de a rezolva această ecuație (deschiderea parantezelor):

21x = 5 (x + 4,8) -

21x = 5x + 24-

16x = 24-

x = 1,5 (ruble) - costul unui notebook-

1,5 + 4,8 = 6,3 (ruble) - costul unei cărți.

A doua cale

5x = 21 (x - 4,8) -

5x = 21x - 100,8-

16x = 100,8-

х = 6,3 (ruble) - costul unei cărți;

6,3 - 4,8 = 1,5 (ruble) - costul unui notebook.

După cum se poate observa din exemple, răspunsurile sunt identice, prin urmare, problema este rezolvată corect. Urmăriți corectitudinea soluției, în exemplul nostru, răspunsurile nu trebuie să fie negative.

Există și alte probleme care pot fi rezolvate cu ajutorul unei ecuații, de exemplu, asupra mișcării. Să le analizăm mai detaliat în următoarele exemple.

Două mașini

În această secțiune vom discuta despre sarcinile mișcării. Pentru a le putea rezolva, trebuie să cunoașteți următoarea regulă:

S = V * T,

S - la distanță, V - viteză, T - timp.

Să încercăm să luăm în considerare un exemplu.

Două mașini au plecat simultan de la punctul A la punctul B. Primul a parcurs toată distanța cu aceeași viteză, a doua jumătate a drumului a avut o viteză de 24 km / h, iar cea de-a doua - 16 km / h. Este necesar să se determine viteza primului autovehicul, dacă în punctul B acestea au venit simultan.

Ce avem nevoie pentru a compune ecuația: variabila principală V₁ (viteza primei mașini), secundar: calea S, T₁ - timp în prima mașină. ecuația: S = V₁ * T_1.

Apoi: a doua mașină prima jumătate a drumului (S / 2) a călătorit cu o viteză de V₂= 24 km / h. Obținem expresia: S / 2 = 24 * T_2.

Următoarea parte a călătoriei a călătorit cu o viteză de V₃ = 16 km / h. Avem S / 2= 16 * T₃.

Mai mult, din condiția în care se poate vedea că mașinile au ajuns simultan, de aici T₁ = T₂ + T₃. Acum trebuie să exprimăm variabilele T₁, T₂,T₃ din condițiile noastre anterioare. Obținem ecuația: S / V₁ = (S / 48) + (S / 32).

S este luat ca unitate și rezolvăm ecuația:

1 / V₁ = 1/48 + 1 / 32-

1 / V₁ = (2/96) + (3/96) -

1 / V₁ = 5 / 96-

V₁ = 96 / 5-

V₁ = 19,2 km / h.

Acesta este răspunsul. Problemele rezolvate folosind ecuația sunt complexe doar la prima vedere. În plus față de sugestiile de mai sus, sarcinile de lucru se pot întâlni, ceea ce este, ia în considerare în secțiunea următoare.

Job Challenge

Pentru a rezolva acest tip de sarcină, trebuie să cunoașteți formula:

A = VT,

unde A este lucrarea, V este productivitatea.

Pentru o descriere mai detaliată, trebuie să oferiți un exemplu. Subiectul "Rezolvarea problemelor cu o ecuație" (gradul 6) poate să nu conțină astfel de probleme, deoarece acesta este un nivel mai complex, dar totuși oferim un exemplu de cunoaștere.

Citiți cu atenție situația: doi lucrători lucrează împreună și plănuiesc să efectueze timp de douăsprezece zile. Este necesar să se determine cât timp va trebui ca primul angajat să îndeplinească aceeași normă însuși. Se știe că el efectuează numărul de muncă timp de două zile ca al doilea angajat timp de trei zile.

Rezolvarea problemelor pentru a compune ecuații necesită citirea atentă a stării. Primul lucru pe care l-am înțeles de la sarcină, că lucrarea nu este definită, înseamnă că o considerăm o unitate, adică A = 1. Dacă problema se referă la un anumit număr de piese sau litri, atunci lucrarea ar trebui luată din aceste date.

Indicați productivitatea primului și a celui de-al doilea lucrător prin V₁ și V₂ în consecință, în această etapă este posibilă următoarea ecuație:

1 = 12 (V₁ + V₂).

Ce ne spune această ecuație? Că toată lucrarea este făcută de doi oameni în douăsprezece ore.

Mai departe putem afirma: 2V₁ = 3V₂. Deoarece primul timp de două zile se face la fel de mult ca al doilea din trei. Am obținut un sistem de ecuații:

1= 12 (V1 + V2) -

2V₁ = 3V_2.

Pe baza soluției sistemului am obținut o ecuație cu o variabilă:

1 - 8V₁ = 12V_1-

V₁ = 1/20 = 0,05.

Aceasta este productivitatea muncii primului lucrător. Acum putem găsi timpul pentru care prima persoană va face față tuturor lucrărilor:

A = V₁ * T_1-

1 = 0,05 * T₁-

T₁ = 20.

Deoarece ziua a fost luată ca unitate de timp, răspunsul este: 20 de zile.

Reformularea problemei

Dacă ați învățat abilitatea de a rezolva problemele de trafic și aveți anumite dificultăți în ceea ce privește sarcinile de lucru, este posibil să obțineți traficul de la locul de muncă. Cum? Dacă luăm ultimul exemplu, atunci condiția este după cum urmează: Oleg și Dima se mișcă unul către celălalt, se întâlnesc în 12 ore. Cât de mulți vor depăși calea în mod independent Oleg, dacă se știe că în două ore călătorește drumul egal cu drumul lui Dima în trei ore.