Cum de a rezolva ecuația unei linii drepte prin două puncte?

Matematica nu este o știință plictisitoare, așa cum pare uneori. Există o mulțime de interesante, deși uneori de neînțeles pentru cei care nu vor să o înțeleagă. Astăzi va fi vorba de unul dintre cele mai comune și mai simple subiecte din matematică, sau mai degrabă din domeniul său care se află la un pas de algebră și geometrie. Să vorbim despre direct și despre ecuațiile lor. Se pare că acesta este un subiect școlar plictisitor, care promite nimic interesant și nou. Cu toate acestea, nu este așa, și în acest articol vom încerca să vă dovedim punctul nostru de vedere. Înainte de a merge la cele mai interesante și să descrie ecuația unei linii prin două puncte, ne uităm la istoria tuturor acestor măsurători, și apoi afla de ce toate acestea au fost necesare și de ce acum nu doare să știe următoarele formule.

poveste

Chiar și în vremurile străvechi, matematicienii au avut în vedere construcțiile geometrice și tot felul de grafice. Este dificil să spun astăzi cine a venit prima dată cu ecuația unei linii drepte prin două puncte. Dar putem presupune că acest om era Euclid - un învățat și filozof grec antic. El a fost cel care, în tratatul său despre "Început", a creat baza unei viitoare geometrii euclidiene. Acum această secțiune de matematică este considerată baza reprezentării geometrice a lumii și este predată în școală. Dar ar trebui spus că geometria euclidiană funcționează numai la nivel macro în măsurarea tridimensională. Dacă privim cosmosul, nu este întotdeauna posibil să reprezentăm cu el toate fenomenele care apar acolo.

După Euclid erau și alți oameni de știință. Și au perfecționat și au înțeles ceea ce a descoperit și a scris. În cele din urmă, sa dovedit o zonă stabilă de geometrie, în care totul este încă neclintit. Și de milenii sa dovedit că ecuația unei linii drepte prin două puncte este foarte ușor de compilat. Dar înainte de a începe să explicăm cum să facem acest lucru, vom discuta un pic de teorie.

teorie

O linie dreaptă este un segment infinit în ambele direcții, care poate fi împărțit într-un număr infinit de segmente de orice lungime. Pentru a reprezenta o linie dreaptă, graficele sunt cele mai des folosite. Și graficele pot fi atât în ​​sistemul de coordonate bidimensional, cât și în cel tridimensional. Și ele sunt construite în funcție de coordonatele punctelor care îi aparțin. La urma urmei, dacă priviți la o linie dreaptă, puteți vedea că ea constă dintr-un set infinit de puncte.

Cu toate acestea, există ceva care linia este foarte diferită de alte tipuri de linii. Aceasta este ecuația ei. În general, este foarte simplu, spre deosebire de, de exemplu, ecuația unui cerc. Cu siguranță, fiecare dintre noi a trecut-o la școală. Însă scrieți totuși forma sa generală: y = kx + b. În următoarea secțiune, vom discuta în detaliu ce înseamnă fiecare dintre aceste litere și cum să rezolve această ecuație simplă a unei linii drepte care trece prin două puncte.

Ecuația liniei

Această egalitate, care a fost prezentată mai sus, este ecuația necesară pentru linia dreaptă. Merită explicat ce înseamnă aici. După cum puteți ghici, y și x sunt coordonatele fiecărui punct care aparține unei linii drepte. În general, ecuația este acolo numai pentru că fiecare punct de orice linie tind să fie în combinație cu alte puncte, și, prin urmare, există o lege care leagă o coordonată la alta. Această lege determină modul în care ecuația unei linii drepte are două puncte.

De ce două puncte? Toate acestea se datorează faptului că numărul minim de puncte necesare pentru a construi o linie dreaptă în spațiul bidimensional este de două. Dacă luăm spațiul tridimensional, atunci numărul de puncte necesare pentru a construi o singură linie dreaptă va fi, de asemenea, două, deoarece cele trei puncte deja alcătuiesc planul.

Există, de asemenea, o teoremă care demonstrează că este posibilă trasarea unei singure linii drepte prin două puncte arbitrare. Acest fapt poate fi verificat în practică prin combinarea a două puncte aleatorii pe grafic cu o riglă.

Acum, ia în considerare un exemplu concret și arată cum să rezolve această ecuație notorie a unei linii drepte care trece prin două puncte date.

exemplu

Luați în considerare două puncte prin care doriți să construiți o linie dreaptă. Le atribuim coordonate, de exemplu, M₁(2-1) și M₂(3-2). După cum știm din cursul școlii, prima coordonată este valoarea de-a lungul axei OX, iar a doua este de-a lungul axei OY. Ecuația unei linii drepte prin două puncte a fost dată mai sus, iar pentru a afla parametrii lipsiți k și b, trebuie să compilăm un sistem de două ecuații. De fapt, acesta va fi compus din două ecuații, fiecare dintre ele având două constante necunoscute:

1 = 2k + b

2 = 3k + b

Acum rămâne cel mai important lucru: rezolvarea acestui sistem. Acest lucru se face foarte simplu. În primul rând, exprimăm din prima ecuație b: b = 1-2k. Acum trebuie să înlocuim ecuația rezultantă în a doua ecuație. Aceasta se face prin înlocuirea b prin egalitatea obținută de noi:

2 = 3k + 1-2k

1 = k;

Acum, că știm care este valoarea lui k, este timpul să aflăm valoarea următoarei constante - b. Acest lucru este și mai ușor. Deoarece cunoaștem dependența lui b de k, putem substitui valoarea ei din urmă în prima ecuație și aflăm valoarea necunoscută:

b = 1-2 * 1 = -1.

Cunoscând ambii coeficienți, le putem acum înlocui în ecuația generală inițială a unei linii drepte prin două puncte. Astfel, pentru exemplul nostru obținem următoarea ecuație: y = x-1. Aceasta este egalitatea dorită pe care ar fi trebuit să o obținem.

Înainte de a ajunge la concluzie, să discutăm despre aplicarea acestei secțiuni a matematicii în viața de zi cu zi.

cerere

Ca atare, ecuația nu găsește o linie dreaptă prin două puncte. Dar asta nu înseamnă că nu avem nevoie de ea. În fizică și matematică, ecuațiile de linii și proprietăți care rezultă din ele sunt utilizate foarte activ. Este posibil să nu observați asta, dar matematica ne înconjoară. Chiar și astfel de subiecte aparent ca nimic ieșite din comun ecuația liniei prin cele două puncte care sunt foarte utile și foarte adesea aplicate la un nivel fundamental. Dacă la prima vedere se pare că acest lucru nu poate veni nicăieri, atunci vă greșiți. Matematica dezvoltă gândire logică, care nu va fi niciodată inutilă.

concluzie

Acum, când am dat seama cum să construim linii la două puncte date, nu trebuie să răspundem la nici o întrebare legată de acest lucru. De exemplu, dacă un profesor vă spune: "Scrieți ecuația unei linii drepte care trece prin două puncte, "atunci nu veți putea face acest lucru, sperăm că acest articol a fost util pentru dvs.