Probleme incomplete: ecuațiile Navier-Stokes, ipoteza lui Hodge, ipoteza lui Riemann. Obiectivele mileniului

Sarcinile incomplete sunt 7 probleme matematice interesante. Fiecare dintre ele a fost propusă în timp util de oameni de știință bine cunoscuți, de regulă, sub forma unor ipoteze. Timp de decenii, peste hotărârea lor, ei au rupt șefii de matematică din întreaga lume. Cei care vor reuși vor fi recompensați cu premiul de un milion de dolari oferit de Institutul de Clay.

preistorie

În 1900 marele matematician german, David Gilbert, a prezentat o listă de 23 de probleme.

Studiile efectuate pentru a le rezolva au avut un impact enorm asupra științei secolului al XX-lea. În prezent, majoritatea au încetat deja să fie ghicitori. Dintre părțile nerezolvate sau rezolvate au rămas parțial:

• consistența axiomelor aritmetice;
• legea generală de reciprocitate privind spațiul din orice domeniu;
• studiul matematic al axiomelor fizice;
• Studiul formelor patrate pentru coeficienții numerici algebrici arbitrari;
• Problema justificării riguroase a geometriei calculului lui Fedor Schubert;
• și altele.

Următoarele sunt neașteptate: problema extinderii spre orice domeniu algebric a raționalității binecunoscutei teoreme a lui Kronecker și ipoteza lui Riemann.

Institutul de argilă

Sub această denumire este cunoscută o organizație privată non-profit, al cărei sediu se află în Cambridge, Massachusetts. A fost fondată în 1998 de matematicianul Harvard A. Jeffey și de omul de afaceri L. Clay. Scopul Institutului este popularizarea și dezvoltarea cunoștințelor matematice. Pentru a realiza acest lucru, organizația acordă premii oamenilor de știință și sponsorilor care promit cercetarea.

La începutul secolului 21 Clay matematică Institutul a oferit o primă pentru cei care vor rezolva problemele, care sunt cunoscute ca fiind problema de nerezolvat cele mai complexe, de asteptare lista de Millennium Probleme Premiul. Din "Lista lui Hilbert" a intrat doar ipoteza lui Riemann.

Obiectivele mileniului

Lista Institutului de Argila inițial a inclus:

• ipoteza privind ciclurile Hodge;
• ecuațiile teoriei cuantice Yang-Mills;
• presupunerea lui Poincare;
• problema egalității clasei P și NP;
• ipoteza lui Riemann;
• Ecuațiile lui Navier Stokes, existența și netezirea soluțiilor sale;
• Problema Birch-Swinnerton-Dyer.

Aceste probleme matematice deschise sunt de mare interes, deoarece pot avea multe implementări practice.

Ce-a dovedit Grigory Perelman

În 1900, celebrul om de știință și filozof Henri Poincaré a sugerat că fiecare compact 3-colector pur și simplu conectat fără limită este homeomorf în sfera 3-dimensională. Dovada, în cazul general, nu a fost în peste un secol. Numai în 2002-2003, St. Petersburg, matematicianul G. Perelman a publicat o serie de articole cu soluția problemei Poincare. Ei obuz. În 2010, conjectura Poincaré a fost exclus din lista de „problemă nesoluționată“ Institutul Clay, și Perelman a fost invitat pentru a obține o remunerație considerabil din cauza lui, pe care acesta din urmă a refuzat fără a explica motivele deciziei sale.

Explicația cea mai ușor de înțeles de ce-ar putea dovedi matematician rus, poate fi dat, cu condiția ca o gogoasa (torus), trageți discul de cauciuc, și apoi încercați să trageți marginea circumferinței sale la un moment dat. Evident, acest lucru este imposibil. Este o altă chestiune dacă faceți acest experiment cu o minge. În acest caz, pare a fi sferă tridimensională, obținem de pe circumferința discului legat la cablul ipotetic punct este tridimensional în înțelegerea persoana medie, ci o bidimensional în termeni de matematică.

Poincare a sugerat că sfera tridimensională este singurul "obiect" tridimensional, a cărui suprafață poate fi trasă într-un punct, iar Perelman a reușit să dovedească acest lucru. Astfel, lista "sarcinilor insolvabile" astăzi constă în 6 probleme.

Teoria Yang-Mills

Această problemă matematică a fost propusă de autori în 1954. Formularea științifică a teoriei este după cum urmează: pentru orice grup există ecartament teorie simplu spațiu cuantic compact creat de Yang și Millsom, și, astfel, are la zero defect în masă.

Vorbind într-o limbă înțeleasă de o persoană obișnuită, interacțiunile dintre obiectele naturale (particule, corpuri, valuri etc.) sunt împărțite în 4 tipuri: electromagnetice, gravitaționale, slabe și puternice. De mulți ani, fizicienii au încercat să creeze o teorie generală a câmpului. Ar trebui să fie un instrument pentru a explica toate aceste interacțiuni. Teoria Yang-Mills este un limbaj matematic, cu ajutorul căruia a devenit posibil să se descrie 3 din cele 4 forțe de bază ale naturii. Nu se aplică gravitației. Prin urmare, nu se poate presupune că Yangu și Mills au reușit să creeze o teorie a câmpului.

În plus, nelinearitatea ecuațiilor propuse le face extrem de greu de rezolvat. Pentru constantele de cuplare mici, ele pot fi rezolvate aproximativ sub forma unei serii de teorii de perturbare. Cu toate acestea, nu este încă clar modul în care aceste ecuații pot fi rezolvate printr-o cuplare puternică.

Ecuațiile lui Navier-Stokes

Cu ajutorul acestor expresii sunt descrise procese precum curenții de aer, fluxul de lichide și turbulențele. Pentru unele cazuri particulare, s-au găsit deja soluții analitice ale ecuației Navier-Stokes, dar nimeni nu a reușit încă să facă acest lucru pentru general. În același timp, modelarea numerică pentru anumite valori ale vitezei, densității, presiunii, timpului și așa mai departe vă permite să obțineți rezultate excelente. Putem doar spera că cineva va folosi ecuațiile Navier-Stokes în direcția opusă, adică. E. computerizată folosind parametrii lor, sau pentru a dovedi că metoda nu este soluția.

Problema Birch-Swinnerton-Dyer

Categoria "Probleme nerezolvate" include de asemenea ipoteza propusă de oamenii de știință britanici de la Universitatea Cambridge. Chiar și acum 2300 de ani, învățatul antic grec Euclid a oferit o descriere completă a soluțiilor ecuației x2 + y2 = z2.

În cazul în care pentru fiecare dintre numerele prime pentru a calcula numărul de puncte de pe curba unității sale, obținem un set infinit de numere întregi. În cazul în care un mod concret de a „lipici“ l la 1 funcție de o variabilă complexă, apoi obține funcția de zeta Hasse-Weil pentru o curbă de ordinul trei, notate cu litera L. Acesta conține informații despre comportamentul modulo toate PRIMES imediat.

Brian Birch și Peter Swinnerton-Dyer au emis ipoteze despre curbele eliptice. Potrivit acesteia, structura și numărul soluțiilor sale raționale sunt legate de comportamentul funcției L în unitate. In prezent, ipoteza nedovedit Birch - Swynnerton-Dyer depinde de ecuatii algebrice care descriu 3 grade și este singura metodă generală relativ simplă pentru calculul rangului curbe eliptice.

Pentru a înțelege importanța practică a acestei sarcini, este suficient să spunem că în criptografia modernă, o întreagă clasă de sisteme asimetrice se bazează pe curbe eliptice și utilizarea lor se bazează pe standarde interne pentru semnăturile digitale.

Egalitatea dintre clasele p și np

Dacă "Provocările Mileniului" rămase sunt pur matematice, atunci aceasta se referă la teoria actuală a algoritmilor. Problema privind egalitatea clasei p și np, cunoscută și sub numele de problema Cook-Levin, poate fi formulată într-o limbă clară în felul următor. Să presupunem că un răspuns pozitiv la o anumită întrebare poate fi verificat destul de repede, adică într-un timp polinomial (PV). Atunci este corectă afirmația că răspunsul la acesta poate fi găsit destul de repede? Chiar mai ușor această sarcină sună astfel: Este într-adevăr mai ușor să verificați o problemă decât să o găsiți? Dacă egalitatea dintre clasele p și np este dovedită vreodată, atunci toate problemele de selecție pot fi rezolvate pentru PV. În prezent, mulți experți se îndoiesc de adevărul acestei declarații, deși nu pot dovedi contrariul.

Ipoteza lui Riemann

Până în 1859, nu sa găsit nicio regularitate care să descrie modul în care numerele simple sunt distribuite între numere naturale. Poate că acest lucru se datora faptului că știința a fost implicată în alte probleme. Cu toate acestea, până la mijlocul secolului al XIX-lea situația sa schimbat și au devenit una dintre cele mai relevante, cu care matematica a început să se descurce.

Ipoteza lui Riemann care a apărut în această perioadă este presupunerea că există o anumită regularitate în distribuția primelor.

Astăzi, mulți oameni de știință contemporani consideră că, dacă este dovedit, va fi necesar să se reconsidere multe dintre principiile fundamentale ale criptografiei moderne, care formează baza multor mecanisme ale comerțului electronic.

Potrivit presupunerilor lui Riemann, natura distribuției primelor este probabil semnificativ diferită de ceea ce se presupune că ar fi în prezent. Faptul este că până acum nu sa descoperit niciun sistem în distribuirea numerelor prime. De exemplu, există o problemă de "gemeni", diferența dintre care este egală cu 2. Aceste numere sunt 11 și 13, 29. Alte prime formează clustere. Acestea sunt 101, 103, 107 etc. Oamenii de știință au susținut de mult că astfel de clustere există între numere foarte mari. Dacă s-ar găsi, rezistența cripto-cheilor moderne va fi în discuție.

Ipoteza despre ciclurile lui Hodge

Această problemă nerezolvată a fost formulată în 1941. Hodge ipoteza sugerează posibilitatea de aproximare a formei oricărui obiect prin "lipirea împreună" a corpurilor simple de dimensiuni mai mari. Această metodă a fost cunoscută și utilizată cu succes de foarte mult timp. Cu toate acestea, nu se știe în ce măsură se poate face simplificarea.

Acum știți care sunt problemele insolubile în momentul de față. Acestea sunt subiectul cercetărilor efectuate de mii de oameni de știință din întreaga lume. Rămâne să sperăm că în viitorul apropiat acestea vor fi rezolvate, iar aplicarea lor practică va ajuta omenirea să intre într-o nouă rundă de dezvoltare tehnologică.