Cum de a găsi înălțimea într-un triunghi isoscel? Formula de găsire, proprietățile de înălțime într-un triunghi isoscel

Geometria nu este doar un obiect în școală, de care trebuie să obțineți o evaluare excelentă. Este, de asemenea, o cunoaștere adesea necesară în viață. De exemplu, atunci când construiți o casă cu un acoperiș înalt, trebuie să calculați grosimea bustenilor și numărul acestora. Acest lucru este ușor dacă știți cum să găsiți înălțimea într-un triunghi isoscel. Structurile arhitecturale se bazează pe cunoașterea proprietăților formelor geometrice. Formele de clădiri seamănă adesea cu aspect vizual. Piramidele egiptene, pachetele cu lapte, broderii artistice, picturile nordice și chiar patatele sunt toate triunghiurile care înconjoară o persoană. După cum a spus Platon, întreaga lume se bazează pe triunghiuri.

Triunghiul izoscel

Pentru a face mai clară, ceea ce va fi discutat în continuare, merită să ne amintim elementele de bază ale geometriei.

Un triunghi este isoscele dacă are două laturi egale. Ele sunt numite întotdeauna lateral. Partea, a cărei mărimi diferă, a fost numită motiv.

Concepte de bază

Ca orice știință, geometria are propriile reguli de bază și concepte. Sunt mulți. Luați în considerare numai acelea fără de care tema noastră va fi oarecum de neînțeles.

Înălțimea este o linie dreaptă trasată perpendicular pe partea opusă.

Medianul este un segment direcționat de la orice vârf al triunghiului exclusiv la mijlocul părții opuse.

Bisectorul unghiular este un fascicul care împarte unghiul în jumătate.

Bisectorul unui triunghi este o linie dreaptă sau mai degrabă un segment bisectori de unghi, conectând vârful cu partea opusă.

Este foarte important să ne amintim că bisectorul unghiular este în mod necesar o rază, iar bisectorul unui triunghi face parte dintr-o astfel de rază.

Unghiuri la bază

Teorema spune că unghiurile situate la baza oricărui triunghi isoscel sunt întotdeauna egale. Este foarte simplu să demonstrați această teoremă. Luați în considerare triunghiul izoscel ABC arătat, pentru care AB = BC. Din unghiul ABC este necesar să se deseneze un bisector al VD. Acum luați în considerare cele două triunghiuri obținute. Prin condiția AB = BC, partea AP a triunghiurilor este comună, iar unghiurile ABD și SVD sunt egale, deoarece VD este bisectorul. Reamintind primul semn al egalității, putem ajunge la concluzia că triunghiurile luate în considerare sunt egale. Și, prin urmare, toate unghiurile corespunzătoare sunt egale. Și, desigur, partidele, dar în acest moment ne vom întoarce mai târziu.

Înălțimea unui triunghi isoscel

Teorema principală pe care se bazează rezolvarea tuturor problemelor este următoarea: înălțimea într-un triunghi isoscel este un bisector și o valoare mediană. Pentru a înțelege sensul său practic (sau esența), este necesar să se facă o alocație auxiliară. Pentru aceasta este necesar să se taie un triunghi isoscel din hârtie. Cea mai ușoară modalitate de a face acest lucru este de la o foaie tetrad standard în celulă.

Îndoiți triunghiul rezultat în jumătate, aliniați laturile. Ce sa întâmplat? Două triunghiuri egale. Acum trebuie să verificați presupunerile. Deschideți origami. Desenați o linie de ori. Folosind protractorul, verificați unghiul dintre linia trasată și baza triunghiului. Ce spune unghiul de 90 de grade? Faptul că linia trasată este perpendiculară. Prin definiție - înălțime. Cum să găsim înălțimea într-un triunghi isoscel, l-am sortat. Acum, să ne ocupăm de colțurile de sus. Folosind același proiector, verificați unghiurile formate acum de înălțime. Sunt egali. Aceasta înseamnă că înălțimea este, de asemenea, un bisector. Înarmați cu un conducător, măsurați lungimile pe care se rupe înălțimea bazei. Sunt egali. În consecință, înălțimea într-un triunghi isoscel împarte baza în jumătate și este mediană.

Dovada teoremei

Ajutorul vizual demonstrează clar adevărul teoremei. Dar geometria - știința este destul de precisă, de aceea necesită dovadă.

Pe parcursul examinării egalității de unghiuri la bază, sa demonstrat egalitatea triunghiurilor. Amintiți-vă că VD este un bisector, iar triunghiurile AVD și SVD sunt egale. Concluzia a fost aceasta: părțile corespunzătoare ale triunghiului și, bineînțeles, unghiurile sunt egale. Prin urmare, AD = SD. Prin urmare, VD este mediana. Rămâne să se demonstreze că VD este o înălțime. Plecând de la egalitatea triunghiurilor luate în considerare, se pare că unghiul ADB este egal cu unghiul VDV. Dar aceste două colțuri sunt contigue și, după cum se știe, dau un total de 180 de grade. Prin urmare, cu ce sunt egale? Desigur, 90 de grade. Astfel, VD este înălțimea într-un triunghi izoscel atrăgat de bază. După cum este necesar pentru a dovedi.

Principalele caracteristici

• Pentru a rezolva cu succes problemele, este necesar să ne amintim caracteristicile de bază ale triunghiurilor isoscel. Ele par inverse la teoreme.
• Dacă în cursul rezolvării unei probleme se găsește egalitatea a două unghiuri, atunci aveți de-a face cu un triunghi isoscel.
• Dacă a fost posibil să se demonstreze că mediana este simultan înălțimea triunghiului, încheia cu îndrăzneală - triunghiul este izoscele.
• Dacă bisectorul este și înălțimea, atunci, pe baza principalelor caracteristici, triunghiul este denumit isoscele.
• Și, desigur, dacă mediana apare în rolul înălțimii, atunci un astfel de triunghi este izoscele.

Formula de înălțime 1

Cu toate acestea, pentru majoritatea problemelor este necesară găsirea înălțimii aritmetice. Acesta este motivul pentru care ne gândim cum să găsim înălțimea într-un triunghi isoscel.

Să ne întoarcem la figura ABC prezentată mai sus, în care a este laturile și c este baza. VD este înălțimea acestui triunghi, are denumirea h.

Care este triunghiul AED? Din moment ce VD este înălțimea, triunghiul ABD este dreptunghiular, al cărui cathet se găsește. Folosind formula lui Pythagoras, primim:

AV² = АД² + ВД²

După ce am determinat din expresia VD și înlocuind notația utilizată anterior, obținem:

H² = a² - (c / 2) ².

Este necesar să extrageți rădăcina:

H = radic-а² - ² / 4.

Dacă scoateți sub semnul rădăcină frac14-, atunci formula va arata ca:

H = frac12- radic-4a² - ².

Aceasta este înălțimea într-un triunghi isoscel. Formula rezultă din teorema lui Pythagoras. Chiar dacă uitați această intrare simbolică, atunci, știind metoda de găsire, puteți oricând să o retrageți.

Formula de înălțime 2

Formula descrisă mai sus este principala și este folosită cel mai adesea pentru a rezolva cele mai multe probleme geometrice. Dar nu este singurul. Uneori în condiție, în locul bazei, este dată valoarea unghiului. Cu astfel de date, cum să găsim înălțimea într-un triunghi isoscel? Pentru a rezolva probleme similare este recomandabil să folosiți o formulă diferită:

H = a / sin alfa-,

unde H este înălțimea îndreptată spre bază,

dar - partea,

alfa - este unghiul din partea de jos.

Dacă sarcina dă valoarea unghiului la vârf, atunci înălțimea în triunghiul isoscel este după cum urmează:

H = a / cos (beta- / 2),

unde H este înălțimea scăzută pe bază,

beta - este unghiul din partea de sus,

a este partea.

Dreptunghiular triunghi isoscel

O proprietate foarte interesantă este triunghiul, al cărui vârf este de 90 de grade. lua în considerare dreptunghi ABC. Ca și în cazurile anterioare, VD este înălțimea îndreptată spre bază.

Colțurile de la bază sunt egale. Calculează munca lor mare nu va fi:

alfa- (180-90) / 2.

Astfel, unghiurile de la bază sunt întotdeauna de 45 de grade. Acum, ia în considerare triunghiul ADV. Este, de asemenea, dreptunghiular. Să găsim unghiul ABD. Prin calcule simple, obținem 45 de grade. Și, prin urmare, acest triunghi nu este doar dreptunghiular, ci și isoscele. Părțile AD și VD sunt laturi laterale și sunt egale între ele.

Dar partea BP este, în același timp, jumătate din partea UA. Se pare că înălțimea într-un triunghi isoscel este jumătate din baza și dacă este scrisă sub forma unei formule, obținem următoarea expresie:

H = B / 2.

Ar trebui să ne amintim că această formulă este un caz exclusiv particular și poate fi utilizată numai pentru triunghiuri izocelule dreptunghiulare.

Triunghiuri de aur

Foarte interesant este triunghiul de aur. În această figură, raportul lateral cu baza este egal cu valoarea numită Phidias. Unghiul din partea de sus este de 36 de grade, la baza - 72 de grade. Acest triunghi a fost admirat de către Pythagoreans. Principiile triunghiului de aur sunt baza multor capodopere nemuritoare. Cunoscut tuturor cu cinci stele este construit la intersecția triunghiurilor isoscel. Pentru multe creații, Leonardo da Vinci a folosit principiul "triunghiului de aur". Compoziția "Gioconda" se bazează tocmai pe cifrele care creează un pentagon de stele obișnuit.

Imaginea "Cubismul", una dintre creațiile lui Pablo Picasso, fascinează punctul de vedere pus la baza triunghiurilor isosceles.