Numere iraționale: ce este și pentru ce sunt folosite?

Care sunt numerele iraționale? De ce sunt așa numiți? Unde sunt folosite și ce sunt? Puțini pot răspunde la aceste întrebări fără ezitare. Dar, de fapt, răspunsurile la acestea sunt destul de simple, deși nu toate sunt necesare în situații foarte rare

Esența și denumirea

Numerele iraționale sunt infinite neperiodice zecimale fracții. Nevoia de a introduce acest concept se datorează faptului că, pentru rezolvarea unor noi probleme emergente, nu au existat suficiente concepte existente anterior despre numere reale sau reale, întregi, naturale și raționale. De exemplu, pentru a calcula, prin pătrat, ce valoare este 2, este necesar să utilizați zecimale infinite neperiodice. În plus, multe dintre cele mai simple ecuații nu au nici o soluție fără a introduce conceptul de număr irațional.

Acest set este notat cu I. Și, după cum este clar, aceste valori nu pot fi reprezentate sub forma unei fracțiuni simple, în numărătorul căruia există un număr întreg, iar în numitor - numărul natural.

Pentru prima dată, matematicienii indieni au întâmpinat acest fenomen într-un fel sau altul în secolul al VII-lea BC, când sa descoperit că rădăcinile pătrate ale anumitor cantități nu pot fi desemnate în mod clar. Iar prima dovadă a existenței unor astfel de numere este atribuită Gigului Pitagora, care a făcut acest lucru în procesul de studiere a unui triunghi drept al isoscelului. O contribuție serioasă la studiul acestui set a fost adusă de alți învățați care au trăit înainte de epoca noastră. Introducerea conceptului de numere iraționale a condus la o revizuire a sistemului matematic existent, motiv pentru care ele sunt atât de importante.

Originea numelui

Dacă raportul în traducere din latină este "fracțiune", "raport", prefixul "ir"
dă acest cuvânt înțelesul opus. Astfel, numele setului acestor numere indică faptul că ele nu pot fi corelate cu întreg sau cu fracționare, au un loc separat. Acest lucru rezultă din esența lor.

Locul în clasificarea generală

Numerele iraționale, împreună cu numerele raționale, se referă la grupul de numere reale sau reale, care la rândul lor se referă la cele complexe. Nu există subseturi, ci disting între soiurile algebrice și transcendentale, pe care le vom discuta mai jos.

proprietăţi

Deoarece numerele iraționale fac parte din setul de numere reale, toate proprietățile lor sunt aplicabile acestora, care sunt studiate în aritmetică (ele sunt numite și legi de bază algebrice).

a + b = b + a (comutativitate);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (existența numărului opus);

ab = ba (legea deplasării);

(ab) c = a (bc) (distributivitate);

a (b + c) = ab + ac (legea distribuției);

a x 1 = a

a x 1 / a = 1 (existența unui număr invers);

Comparația se realizează, de asemenea, în conformitate cu legile și principiile generale:

Dacă a> b și b> c, atunci a> c (tranzitivitatea relației) și. și așa mai departe.

Desigur, toate numerele iraționale pot fi transformate folosind operații aritmetice de bază. Nu există reguli speciale în acest caz.

În plus, numerele iraționale sunt supuse acțiunii axiomei lui Archimedes. Aceasta afirmă că pentru oricare două cantități a și b, se afirmă următoarea afirmație: luând ca sumă un număr suficient de multe ori, putem depăși b.

utilizarea

În ciuda faptului că în viața obișnuită nu trebuie adesea să te descurci cu ele, numerele iraționale nu se dau la îndemână. Sunt mulți, dar sunt aproape invizibili. Suntem înconjurați de numere iraționale peste tot. Exemplele, familiare tuturor, - numărul pi, egal cu 3.1415926 ... sau un e, în esență, este o bază de logaritmi naturali, 2.718281828 ... În algebră, trigonometrie și geometria trebuie să le folosească în mod constant. Apropo, faimosul sens al "secțiunii de aur", adică raportul majorității cu cele mai mici și invers, de asemenea se referă la acest set. Mai puțin cunoscut "argint" - de asemenea.

Pe linia numerică, ele sunt foarte dense, astfel încât între oricare două cantități care se referă la setul celor raționale, trebuie să se găsească una irațională.

Până acum, există multe probleme nesoluționate asociate cu acest set. Există astfel de criterii ca o măsură a iraționalității și a normalității unui număr. Matematicienii continuă să exploreze cele mai semnificative exemple de apartenență la un anumit grup. De exemplu, se consideră că e este un număr normal, adică probabilitatea apariției diferitelor cifre în înregistrarea sa este aceeași. În ceea ce privește pi, cercetările sunt în curs de desfășurare cu privire la acesta. O măsură a iraționalității este o cantitate care indică cât de bine poate fi un număr aproximat prin numere raționale.

Algebrice și transcendentale

După cum am menționat deja, numerele iraționale sunt arbitrar împărțite în algebrice și transcendentale. Condiționat, deoarece, strict vorbind, această clasificare este folosită pentru a împărți setul C.

Sub această notație sunt numere complexe care includ numere reale sau reale.

Astfel, un termen algebric este o valoare care este rădăcina unui polinom care nu este identic egal cu zero. De exemplu, rădăcina pătrată a lui 2 va aparține acestei categorii, deoarece este o soluție a ecuației x² - 2 = 0.

Toate celelalte numere reale care nu satisfac această condiție sunt numite transcendentale. Cele mai faimoase și deja menționate exemple se referă la acest soi - numărul pi și baza logaritmului natural e.

Interesant, nici unul, nici celălalt nu a fost inițial derivat de matematicieni în această calitate, iraționalitatea și transcendența lor s-au dovedit mulți ani după descoperirea lor. Pentru că dovada a fost dată în 1882 și simplificată în 1894, care a pus capăt dezbaterii problemei de cvadratură a cercului, care a durat 2,5 mii de ani. Încă nu este pe deplin înțeles, astfel încât matematicienii moderni au ceva de lucru. Apropo, primul calcul precis al acestei valori a fost făcut de Archimedes. Înainte de el, toate calculele erau prea aproximative.

Pentru e (numărul Euler sau Napier), dovada transcendenței sale a fost găsită în 1873. Se utilizează în rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

Printre alte exemple se numără valorile sinus, cosinus și tangent pentru orice valori algebrice non-zero.