Seturi de putere: exemple. Puterea de unificare a seturilor

Destul de des în știința matematică apar o serie de dificultăți și întrebări și multe răspunsuri nu sunt întotdeauna clarificate. Nici o excepție nu a devenit un astfel de subiect ca puterea seturilor. De fapt, nu este nimic mai mult decât o expresie numerică a numărului de obiecte. În sens general, setul este o axiomă, nu are nicio definiție. La bază sunt obiectele sau, mai degrabă, colecția lor, care poate fi goală, finită sau infinită. În plus, conține numere întregi sau numere naturale, matrice, secvențe, segmente și linii.

Pe variabilele existente

Un set nul sau gol care nu are o valoare proprie este considerat un element de putere, deoarece acesta este un subset. Colecția tuturor subseturilor dintr-un set nonempty S este un set de seturi. Astfel, setul de putere al unui set dat este considerat a fi mult, imaginabil, dar unificat. Acest set este numit setul de puteri de S și este notat cu P (S). Dacă S conține elemente N, atunci P (S) conține 2 subseturi n, deoarece subsetul P (S) este fie sau un subset care conține elemente r din S, r = 1, 2, 3, ... Construit din întregul set infinit M se numește o cantitate de putere și este marcat simbolic cu P (M).

Elemente ale teoriei seturilor

Această arie de cunoaștere a fost dezvoltată de George Cantor (1845-1918 ani de viață). Astăzi este folosit aproape în toate ramurile matematicii și servește drept parte fundamentală a acesteia. În set de elemente de teorie sunt reprezentate sub formă de listă și sunt date tipuri (set de gol, un singur element, set finit și infinit egal și echivalent, universală) numere, uniune, intersecție, diferență, și de adiție. În viața de zi cu zi, se spune adesea despre colectarea de obiecte, cum ar fi o grămadă de chei, un stol de păsări, un pachet de cărți, și așa mai departe .. În clasa de matematică 5 nu numai că îndeplinesc naturale, întreg, prim și numere compuse.

Putem considera următoarele seturi:

• numere naturale;
• literele alfabetului;
• coeficienți primari;
• triunghiuri cu diferite laturi.

Se poate observa că aceste exemple sunt seturi de obiecte clar definite. Să luăm în considerare câteva exemple:

• cei mai cunoscuți cinci oameni de știință ai lumii;
• șapte fete frumoase în societate;
• cei mai buni trei chirurgi.

Aceste exemple de putere a unui set nu sunt colecții de obiecte clar definite, deoarece criteriul "cel mai faimos", "cel mai frumos", "cel mai bun" variază de la persoană la persoană.

seturi

Această valoare reprezintă un număr clar definit de obiecte diferite. Presupunând că:

• un set de cuvinte este un sinonim, un agregat, o clasă și conține elemente;
• obiectele, membrii sunt egali în sens;
• Seturile sunt de obicei indicate cu majuscule A, B, C;
• elementele setului sunt reprezentate prin literele mici a, b, c.

Dacă "a" este un element al setului A, atunci se spune că "a" aparține lui A. Denumiți fraza "aparține" simbolului grecesc "isin;" (epsilon). Astfel, se dovedește că a isin- A. Dacă `b` este un element care nu aparține lui A, el este reprezentat ca b A. Anumite seturi importante folosite în matemaia de clasa 5 sunt reprezentate folosind următoarele trei metode:

• cerere;
• registre sau tabele;
• regulă pentru crearea unei clădiri.

După o examinare atentă, formularul de cerere se bazează pe următoarele. În acest caz, este prezentată o descriere clară a elementelor setului. Toate sunt închise în bretele. De exemplu:

• setul de numere impare mai mici de 7 - este scris ca {mai puțin de 7};
• un set de numere mai mare de 30 și mai mic de 55;
• numărul de elevi ai clasei, a căror greutate este mai mare decât cea a profesorului.

Sub forma registrului (tabular), elementele setului sunt listate într-o pereche de paranteze {} și separate prin virgule. De exemplu:

1. Fie N un set de primele cinci numere naturale. Prin urmare, N = → forma registrului
2. Un set de toate vocalele alfabetului englez. Prin urmare, V = {a, e, i, o, u, y} → forma registrelor
3. Setul de numere impare este mai mic de 9. Prin urmare, X = {1, 3, 5, 7} → forma registrelor
4. Un set de litere din cuvântul "Matematică". Prin urmare, Z = {M, A, T, H, E, I, C, S} → Forma registrului
5. W este un set din ultimele patru luni ale anului. Prin urmare, W = {septembrie, octombrie, noiembrie, decembrie} → înregistrați.

Merită menționat faptul că ordinea în care elementele sunt enumerate nu contează, însă nu trebuie repetate. Forma stabilită a construcției, într-un anumit caz, o regulă, formulă sau instrucțiune este scrisă într-o pereche de paranteze astfel încât setul să fie corect definit. În formularul constructor set, toate elementele trebuie să aibă o proprietate pentru a deveni membru al valorii în cauză.

În această formă de reprezentare a unui set, elementul setului este descris de simbolul "x" sau de orice altă variabilă urmată de un colon (":" sau "|" folosit pentru a însemna). De exemplu, P este mulțimea de numere numărare mai mare de 12. P în formă de set-builder este scrisă ca - {numar numărător și mai mare de 12}. Acest lucru va fi citit într-un anumit mod. Adică, "P este setul de elemente x, astfel încât x este un număr care poate fi numărat și mai mare de 12".

Un exemplu rezolvat utilizând trei metode de reprezentare a unui set: numărul de întregi între -2 și 3. Mai jos sunt exemple de diferite tipuri de seturi:

1. Un set gol sau zero care nu conține nici un element și este notat cu un simbol gol și citit ca phi. Sub forma unei liste gol - are o ortografie {}. Gol este un set finit, deoarece numărul de elemente este 0. De exemplu, setul de valori întregi este mai mic de 0.
2. Evident, nu ar trebui să fie
3. Un set care conține doar o singură variabilă se numește set unic. Nu este nici simplu, nici complex.

Un set finit

Un set care conține un anumit număr de elemente se numește set finit sau infinit. Gol se referă la primul. De exemplu, un set de toate culorile din curcubeu.

Un număr infinit este un set. Elementele din ea nu pot fi listate. Adică, conținând variabile similare, se numește un set infinit. exemple:

• cardinalitatea setului de toate punctele din plan;
• set de toate primes.

Dar merită să înțelegem că toate puterile de a uni un set nu pot fi exprimate sub forma unei liste. De exemplu, numere reale, deoarece elementele lor nu corespund unei anumite scheme.

Numărul cardinal al unui set este numărul de elemente diferite într-o anumită cantitate A. Este notat cu n (A).

De exemplu:

1. A {x: x isin-N, x <5}. A = {1, 2, 3, 4}. Prin urmare, n (A) = 4.
2. B = un set de litere în cuvântul ALGEBRA.

Seturi echivalente pentru compararea seturilor

Două puteri ale lui A și B sunt asemenea, dacă numărul lor cardinal este același. Simbolul pentru setul echivalent este "harr;". De exemplu: A harr- B.

Seturi egale: două puteri ale mulțimilor A și B dacă ele conțin aceleași elemente. Fiecare coeficient al lui A este o variabilă de B și fiecare din B este valoarea specificată a lui A. În consecință, A = B. Diferitele tipuri de combinații de seturi la putere și definițiile lor sunt explicate cu ajutorul acestor exemple.

Esența finității și a infinitului

Care sunt diferențele dintre puterea unui set finit și infinitul?

Prima valoare este caracterizată de următoarea denumire, dacă este goală sau are un număr finit de elemente. Într-un set finit, o variabilă poate fi specificată dacă are un număr limitat. De exemplu, folosind numărul natural 1, 2, 3. Și procesul de listare se termină pe un număr N. Numărul de elemente diferite numărate în mulțimea finită S este notat cu n (S). Și, de asemenea, numit ordin sau cardinal. Semnul simbolic prin principiul standard. Astfel, dacă setul S este un alfabet rus, atunci acesta conține 33 de elemente. De asemenea, este important să rețineți că elementul nu apare mai mult decât o dată în set.

Număr infinit în set

Se spune că un set este infinit dacă elementele nu pot fi enumerate. Dacă are un număr natural nelimitat (care este nesemnificativ) natural 1, 2, 3, 4 pentru orice n. Un set care nu este finit se numește infinit. Acum putem discuta despre exemplele valorilor numerice considerate. Variante ale valorii finale:

1. Fie Q = {numere naturale mai mici de 25}. Atunci Q este un set finit și n (P) = 24.
2. Fie R = {întregi între 5 și 45}. Apoi R este un set finit și n (R) = 38.
3. Fie S = {numere ale căror modul este 9}. Apoi S = {-9, 9} este un set finit și n (S) = 2.
4. Un set de oameni.
5. Numărul tuturor păsărilor.

Exemple de set infinit:

• numărul de puncte existente pe plan;
• numărul tuturor punctelor din segmentul de linie;
• setul de numere întregi pozitive de 3 este infinit;
• toate numerele și numerele naturale.

Astfel, din raționamentul de mai sus este clar cum se face distincția între seturile finite și infinite.

Puterea setului de continuum

Dacă comparăm valorile stabilite și alte valori existente, atunci complementul este adăugat la set. În cazul în care xi este un subset universal și A este un subset xi, atunci complementul lui A este numărul tuturor elementelor xi, care nu sunt elemente ale lui A. Simbolic, vom desemna complementul lui A cu privire la xi ca A `. De exemplu, 2, 4, 5, 6 sunt singurele elemente xi, care nu aparțin lui A. Prin urmare, A `= {2, 4, 5, 6}

Un set cu un continuu de putere are următoarele caracteristici:

• complementul cantității universale este valoarea liberă luată în considerare;
• această variabilă a setului zero este universală;
• Cantitatea și complementul ei sunt disjuncte.

De exemplu:

1. Fie ca numărul de numere naturale să fie un set universal și un set unic. Apoi, atunci A `{x: x este un set impar cu aceleasi cifre}.
2. lăsa xi- = set de litere în alfabet. A = set de consoane. Atunci A `= numărul de vocale.
3. Completarea setului universal este numărul gol. Putem denumi prin XI. atunci xi- `= Setul acelor elemente de care nu aparțin XI. Scrie și desemnează un set gol phi-. prin urmare xi = phi-. Astfel, completarea setului universal este goală.

În matematică, "continuum" este uneori folosit pentru a se referi la o linie reală. Și mai general, pentru a descrie astfel de obiecte:

• continuum (în teoria mulțimilor) - o linie reală sau numărul cardinal corespunzător;
• liniar - orice set ordonat care împarte anumite proprietăți ale unei linii reale;
• Un continuum (în topologie) este un spațiu metric fără spațiu (uneori Hausdorff);
• ipoteza că seturile infinite nu sunt mai mari decât numerele întregi, dar mai mici decât numerele reale;
• puterea continuumului este un număr cardinal reprezentând dimensiunea setului de numere reale.

Pe fond, continuumul (dimensiune), teorii sau modele care explica tranzițiile graduală de la un stat la altul, fără modificări bruște.

Probleme de integrare și intersecție

Se știe că intersecția a două sau mai multe seturi este o sumă care conține toate elementele care sunt comune în aceste valori. Sarcini de cuvinte pe seturi sunt rezolvate pentru a obține idei de bază cu privire la modul de utilizare a proprietăților sindicale și de intersecție ale seturilor. Rezolvarea problemelor de bază ale cuvintelor pe seturi arată astfel:

1. Fie A și B două seturi finite. Ele sunt de așa natură încât n (A) = 20, n (B) = 28 și n (A cupa-B) = 36, este n (A cap- B).

Comunicarea în seturi utilizând diagrama Venn:

1. Unirea a două seturi poate fi reprezentată de o regiune umbrită reprezentând A cupă - B. A cupa-B, atunci când A și B sunt seturi disjuncte.
2. Intersecția a două seturi poate fi reprezentată printr-o diagramă Venn. Cu o zonă umbrită reprezentând A cap- B.
3. Diferența dintre cele două seturi poate fi reprezentată de diagramele Venn. Cu o zonă umbrită reprezentând A-B.
4. Conexiunea dintre cele trei seturi utilizând diagrama Venn. În cazul în care xi reprezintă un număr universal, apoi A, B, C sunt trei subseturi. Aici, toate cele trei seturi se suprapun.

Generalizarea informațiilor despre set

Puterea unui set este definită ca numărul total de elemente individuale din set. Ultima valoare specificată este descrisă ca numărul tuturor subseturilor. Atunci când studiază astfel de probleme, sunt necesare metode, metode și soluții. Deci, pentru puterea unui set, următoarele pot servi ca exemple:

Fie A = {0,1,2,3} | | | = 4, unde | A | reprezintă cardinalitatea setului A.

Acum puteți găsi propriul set de putere. Acest lucru este, de asemenea, destul de simplu. Așa cum am menționat deja, setul de putere este setat din toate subseturile unei anumite valori. Prin urmare, toate variabilele, elementele și alte valori ale lui A {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0,1}, {0,2} }, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {0,1,2}, {0,1,3}, {1,2,3}, {0,2,3 }, {0,1,2,3}.

Acum puterea descoperă P = {{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0,1}, {0,2}, { 1,3}, {2,3}, {0,1,2}, {0,1,3}, {1,2,3}, {0,2,3}, {0,1,2, 3}}, care are 16 elemente. Astfel, cardinalitatea setului A = 16. Este evident că aceasta este o metodă obositoare și greoaie pentru rezolvarea acestei probleme. Cu toate acestea, există o formulă simplă prin care, direct, se poate cunoaște numărul elementelor dintr-un set de putere dintr-o anumită sumă. | | P | = 2 ^ N, unde N este numărul de elemente din unele A. Această formulă poate fi obținută prin aplicarea unei combinatori simple. Astfel, întrebarea este 2 ^ 11, deoarece numărul de elemente din setul A este de 11.

Deci, setul este orice cantitate exprimată numeric, care poate fi tot felul de obiecte. De exemplu, mașini, oameni, numere. În sensul matematic al acestui concept este mai larg și mai generalizat. Dacă în etapele inițiale sunt analizate numerele și variantele soluției lor, atunci în etapele medii și superioare condițiile și sarcinile sunt complicate. De fapt, puterea de a combina un set este determinată de apartenența obiectului la un grup. Adică un element aparține unei clase, dar are una sau mai multe variabile.