Progresie aritmetică

Probleme legate de progresul aritmetic au existat deja în antichitate. Ei au apărut și au cerut soluții, pentru că aveau o nevoie practică.

De exemplu, într-unul din papirusurile Egiptului antic, având un conținut matematic, - papirusul Rhind (secolul al XIX-lea BC) - conține o astfel de problemă: împarte cele zece măsuri de cereale pentru zece persoane, cu condiția ca în cazul în care diferența dintre fiecare dintre ele este o optime din măsurile ".

Și în lucrările matematice ale grecilor antice există teoreme elegante legate de progresul aritmetic. Astfel, Gipsicul din Alexandria (sec. Al II-lea BC) în valoare de o mulțime de sarcini interesante și adăugate paisprezece cărți la „începutul“ Euclid a formulat ideea: „In progresia aritmetică având un număr egal de membri, numărul membrilor din a doua jumătate mai mult decât suma primilor membri la multiplu de la pătratul 1/2 din numărul de termeni. "

Luăm o serie arbitrară numere naturale (mai mare de zero): 1, 4, 7, hellip-n-1, n, hellip-, care este numit secvență numerică.

Indică secvența an. Numerele secvenței sunt numite membrii ei și sunt de obicei denumiți prin litere cu indici care indică numărul ordinal al acestui membru (a1, a2, a3 hellip - este citit: "un prim", "un al doilea", "un 3-in" și așa mai departe).

Secvența poate fi infinită sau finită.

Și ce este o progresie aritmetică? Sub ea înțeleg succesiune de numere, obținut prin adăugarea termenului anterior (n) cu același număr d, care este diferența progresiei.

Dacă d<0, atunci avem o evoluție descrescătoare. Dacă d> 0, atunci o astfel de progresie este considerată a fi în creștere.

O progresie aritmetică se spune că este finită dacă se iau în considerare numai câțiva dintre primii săi termeni. Cu un număr foarte mare de membri, aceasta este o progresie infinită.

Orice progres aritmetic este dat de următoarea formulă:

an = kn + b, cu b și k fiind niște numere.

Declarația care este inversa este absolut adevărată: dacă o secvență este dată de o formulă similară, atunci aceasta este exact o progresie aritmetică care are proprietățile:

1. Fiecare membru al progresiei este media aritmetică a termenului precedent și a celei ulterioare.
2. În schimb, dacă, începând cu al doilea, fiecare termen este media aritmetică a termenului anterior și a celui ulterior, adică dacă condiția este îndeplinită, atunci această secvență este o progresie aritmetică. Această egalitate este, de asemenea, un semn al progresiei, prin urmare, de regulă, se numește proprietatea caracteristică a progresiei.
   În mod similar, teorema este adevărat că reflectă această proprietate: secvența - o progresie aritmetică numai în cazul în care această ecuație este valabil pentru oricare dintre membrii secvenței, începând cu a doua.

O proprietate caracteristică a oricăror numere pentru patru progresie aritmetică poate fi exprimată printr-o + am = ak + al, dacă n + m = k + l (m, n, k - numărul de progresie).

Într-o progresie aritmetică, orice termen (N-a) necesar poate fi găsit prin aplicarea următoarei formule:

an = a1 + d (n-1).

De exemplu: primul element (a1) într-o progresie aritmetică este dată și egal cu trei, iar diferența (d) este egal cu patru. Găsiți cel de-al patruzeci și cincilea membru al acestei progresii. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Formula o = ak + d (n - k) pentru a determina termenul n-lea al unei progresii aritmetice prin fiecare membru al său k furnizat dacă este cunoscută.

Suma termenilor progresiei aritmetice (adică primii n termeni ai progresiei finite) se calculează după cum urmează:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Dacă diferența dintre progresia aritmetică și primul termen este cunoscută, atunci o altă formulă este convenabilă pentru calcul:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Suma progresiei aritmetice, care conține n termeni, se calculează astfel:

Sn = (a1 + an) * n / 2.

Alegerea formulelor pentru calcule depinde de condițiile sarcinilor și de datele inițiale.

Seria naturală a oricărui număr, cum ar fi 1,2,3, ..., n, ... este cel mai simplu exemplu de progresie aritmetică.

În plus față de progresia aritmetică, există, de asemenea, o progresie geometrică, care are proprietățile și caracteristicile sale.