Triunghiul lui Pascal. Proprietățile triunghiului lui Pascal

Progresul omenirii este în mare măsură legat de descoperirile făcute de geniali. Unul dintre ei este Blaise Pascal. Biografia sa creatoare confirmă încă o dată adevărata expresie a lui Lyon Feuchtwanger "Omul Talentat, Talentat în Toți". Toate realizările științifice ale acestui mare om de știință sunt greu de recitit. Printre ele este una dintre cele mai elegante invenții din lumea matematicii - triunghiul lui Pascal.

Câteva cuvinte despre geniu

Blaise Pascal a murit la începutul standardelor moderne, la vârsta de 39 de ani. Cu toate acestea, în scurta sa viață, sa arătat un fizician, matematician, filozof și scriitor remarcabil. Recunoscătorii descoperiți au numit în cinstea sa o unitate de presiune și o limbă de programare populară Pascal. Acesta a fost folosit timp de aproape 60 de ani pentru a preda scrierea diferitelor coduri. De exemplu, cu ajutorul său, fiecare student poate scrie un program pentru calcularea ariei unui triunghi pe "Pascal", precum și pentru a investiga proprietățile schemei, care vor fi discutate mai jos.

Activitatea acestui om de știință cu gândire extraordinară acoperă o gamă largă de domenii ale științei. În special, Blaise Pascal este unul dintre fondatorii hidrostaticelor analizei matematice, unele direcții de geometrie și teoria probabilităților. În plus, el:

• a creat un calculator mecanic, cunoscut sub numele de Roata Pascal;
• a prezentat dovezi experimentale că aerul are elasticitate și greutate;
• a constatat că barometrul poate fi folosit pentru a prezice vremea;
• a inventat o roabă;
• a venit cu o căruță omnibus-cai cu rute fixe, care mai târziu a devenit primul tip de transport public regulat etc.

Pasajul Triunghiului Aritmetic al lui Pascal

După cum am menționat deja, acest mare om de știință francez a adus o mare contribuție la știința matematică. Una dintre capodoperele sale științifice necondiționate este tratatul despre triunghiul aritmetic, care constă în coeficienți binomi aranjați într-o anumită ordine. Proprietățile acestui sistem uimește cu diversitatea sa, iar ea însăși confirmă proverbul "Totul ingenios este simplu!".

Un pic de istorie

În mod corect, trebuie spus că, de fapt, triunghiul lui Pascal era cunoscut în Europa încă de la începutul secolului al XVI-lea. În special, imaginea sa poate fi văzută pe coperta manualului de aritmetică al faimosului astronom Peter Apian de la Universitatea din Ingolstadt. Un triunghi similar este prezentat și ilustrat în cartea matematicianului chinez Yang Hui, publicată în 1303. Proprietățile sale erau cunoscute și de poetul și filozoful persan, Omar Khayyam, încă de la începutul secolului al XII-lea. Și se crede că el sa familiarizat cu el din tratatele învățatelor arabe și indiene, scrise mai devreme.

descriere

Înainte de a explora proprietatea interesantă triunghiul lui Pascal, frumos în simplitatea și perfecțiunea sa, este necesar să se știe ce este ca.

Științific vorbind, acest sistem numeric - o masă fără sfârșit de formă triunghiulară formată din coeficienții binomiali aranjate într-o anumită ordine. La partea de sus și laturile sale sunt numărul 1. Pozițiile rămase sunt ocupate de un număr egal cu suma a două numere dispuse deasupra lor viitoare de mai sus. În acest caz, toate liniile triunghiului Pascal sunt simetrice în raport cu axa sa verticală.

Proprietăți de bază

Triunghiul lui Pascal impresionează cu perfecțiunea sa. Pentru orice linie numerotată n (n = 0, 1, 2hellip-) este adevărată:

• primul și ultimul număr sunt 1;
• al doilea și penultim - n;
• al treilea număr este egal cu numărul triunghiular (numărul de cercuri care pot fi aranjate în formular un triunghi echilateral, adică 1, 3, 6, 10): T_n-1 = n (n-1) / 2.
• al patrulea număr este tetraedric, adică este o piramidă cu un triunghi la baza sa.

Mai mult decât atât, relativ recent, în 1972, a fost stabilită încă o proprietate a triunghiului lui Pascal. Pentru a le detecta, trebuie să scrieți elementele acestei scheme sub forma unui tabel cu o linie de 2 poziții. Apoi, numerele sunt împărțite la numărul de linie. Se pare că numărul coloanei în care sunt selectate toate numerele este un număr prime.

Același truc se poate face într-un mod diferit. Pentru aceasta, în triunghiul Pascal, numerele sunt înlocuite cu restul divizării lor cu numărul rândului din tabel. Apoi, rândurile din triunghiul rezultat sunt aranjate astfel încât următoarea să pornească la dreapta a 2 coloane din primul element al celui anterior. Apoi coloanele care au numere care sunt numere prime vor consta doar din zerouri, iar cele cu numere compozite vor avea cel putin un zero.

Conectarea cu binomul lui Newton

După cum se știe, așa-numita formulă pentru descompunerea întregului termeni nonnegative măsura suma a două variabile, adică:

Coeficienții prezenți în acestea sunt egali cu C_n^m = n! / (m! (n - m)!), unde m, este numărul ordinal al numărului în șirul n al triunghiului Pascal. Cu alte cuvinte, având acest tabel la îndemână, se poate ridica cu ușurință la putere orice număr, care sa descompus anterior în două termeni.

Astfel, triunghiul lui Pascal și binomul lui Newton sunt interconectate în modul cel mai intim.

Matematică minuni

Dacă studiați cu atenție triunghiul Pascal, puteți observa că:

• suma tuturor numerelor dintr-un rând cu numărul de serie n (numărarea este de la 0) este egală cu 2ⁿ;
• dacă liniile sunt aliniate la stânga, atunci sumele numerelor care sunt aranjate de-a lungul diagonalelor triunghiului Pascal mergând de jos în sus și de la stânga la dreapta sunt egale cu numerele Fibonacci;
• Prima "diagonală" constă din numere naturale care merg în ordine;
• Orice element al triunghiului Pascal, redus cu unul, este egal cu suma tuturor numerelor situate în interiorul paralelogramului, care este marcat de diagonalele stânga și dreaptă care intersectează pe acest număr;
• în fiecare linie a schemei, suma numerelor la locurile egale este egală cu suma elementelor în locuri ciudate.

Triunghiul lui Sierpinski

O astfel de schemă matematică interesantă, destul de promițătoare din punctul de vedere al rezolvării problemelor complexe, este obținută dacă numerele parțiale ale imaginii Pascal sunt colorate într-o singură culoare și ciudate în celălalt.

Triunghiul Sierpinski poate fi construit și într-un alt mod:

• în schema vopsită a lui Pascal, triunghiul mijlociu este repetat într-o altă culoare, care se formează prin aderarea la mijlocul părților laterale ale originalului;
• În mod similar, ele vin împreună cu cele trei nevopsite situate în colțuri;
• dacă procedura continuă pe o perioadă nedeterminată, atunci o figură cu două culori ar trebui să se termine în cele din urmă.

Cea mai interesantă proprietate a triunghiului Sierpinski este similitudinea sa de sine, deoarece este alcătuită din 3 copii ale sa, care sunt reduse cu un factor de 2. Vă permite să trimiteți această schemă la curbele fractale și acestea, după cum arată cele mai recente cercetări, sunt cele mai potrivite pentru modelarea matematică a noriilor, a plantelor, a deltaselor și chiar a universului însuși.

Câteva sarcini interesante

Unde este folosit triunghiul lui Pascal? Exemple de probleme care pot fi rezolvate cu ajutorul acestuia sunt destul de diverse și se referă la diferite domenii ale științei. Luați în considerare unele dintre cele mai interesante dintre ele.

Problema 1. Un anumit oraș mare, înconjurat de un zid fortificat, are o singură poartă. La primul drum circular, drumul principal este împărțit în două. La fel se întâmplă și pe oricare alta. 210 de persoane intră în oraș. La fiecare dintre intersecții, ele sunt împărțite în două. Câți oameni vor fi la fiecare intersecție, când va fi imposibil să le împărțiți. Răspunsul său este de 10 string triunghi Pascal (formula coeficienți prezentat mai sus), în cazul în care pe ambele părți ale axei verticale sunt numărul 210.

Sarcina 2. Există 7 culori. Trebuie să facem un buchet de 3 flori. Este necesar să aflăm câte moduri diferite pot fi făcute. Această problemă este din domeniul combinatoricii. Pentru ao rezolva, din nou, folosind triunghiul lui Pascal, și de a lua pe 7 linie în al treilea număr de poziție 35 (numerotare în ambele cazuri cu 0).

Acum știi ce a inventat marele filozof și învățat francez Blaise Pascal. Triunghi său celebru atunci când sunt utilizate în mod corespunzător, poate fi un salvator pentru o varietate de probleme, în special din domeniul combinatorică. În plus, poate fi folosit pentru a rezolva numeroase puzzle-uri asociate cu fractali.