Progresia geometrică și proprietățile acesteia

Progresia geometrică este importantă în matematică ca știință și în sens aplicat, deoarece are un domeniu foarte larg, chiar și în matematica superioară, spune, în teoria seriei. Primele informații despre evoluții au ajuns la noi din Egiptul antic, în special sub forma unei sarcini cunoscute din partea papirusului din Rhind, despre șapte persoane având șapte pisici. Variațiile acestei sarcini s-au repetat de multe ori în momente diferite în alte națiuni. Chiar și marele Leonardo din Pisa, mai cunoscut sub numele de Fibonacci (secolul al XIII-lea), sa întors spre ea în "Cartea Abacului".

Deci, progresia geometrică are o istorie antică. Reprezintă o secvență numerică cu un prim element nenul, iar fiecare ulterior, începând cu al doilea este determinată prin înmulțirea formulei recurență anterioare la un număr constant, nenul care se numește progresie numitor (desemnat de obicei, folosind litera q).
Evident, el poate fi găsit prin împărțirea fiecărui membru succesiv al secvenței cu cel precedent, adică z 2: z 1 = ... = z n: z n-1 = .... De aceea, pentru a determina progresia (z n), este suficient ca valoarea primului ei termen y 1 si numitor q sa fie cunoscuta.

De exemplu, presupunem că z 1 = 7, q = - 4 (q < 0), se obține următorul progres geometric: 7, - 28, 112, - 448, .... După cum vedem, secvența obținută nu este monotonă.

Amintiți-vă că o secvență arbitrară este monotonică (creștere / scădere), atunci când fiecare dintre termenii săi succesivi este mai mare decât / mai mic decât cel precedent. De exemplu, secvențele 2, 5, 9, ... și -10, -100, -1000, ... sunt monotone, al doilea dintre acestea fiind o evoluție geometrică descrescătoare.

În cazul în care q = 1, în progresie toți termenii sunt egali și se numește constant.

Secvența a fost progresia acestui tip, acesta trebuie să satisfacă următoarea condiție necesară și suficientă, și anume: pornind de la al doilea, fiecare dintre membrii săi ar trebui să fie media geometrică a membrilor învecinate.

Această proprietate ne permite să găsim un termen arbitrar al progresiei pentru două dintre cele cunoscute din apropiere.

Termenul n al progresiei geometrice se găsește cu ușurință din formula: z n = z 1 * q ^ (n-1), cunoscând primul termen z 1 și numitorul q.

Din moment ce secvență numerică are o sumă, câteva calcule simple ne vor da o formulă care ne permite să calculam suma primelor termeni ai progresiei, și anume:

S n = - (z n * q - z 1) / (1 - q).

Înlocuirea valorii formulei sale de expresie z n z 1 * q ^ (n-1) pentru a obține o a doua formulă suma progresiei: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Demnă de atenție este următorul fapt interesant: o tabletă de lut găsită în timpul săpăturilor Babilonul vechi, care datează din VI. BC, conține remarcabil suma de 1 + 2 + 22 + ... + 29, egală cu 2 în gradul a zecea minus 1. Soluția acestui fenomen nu a fost încă găsită.

Observăm încă o proprietate a progresiei geometrice - produsul constant al termenilor săi, distanțați la o distanță egală față de capetele secvenței.

O importanță deosebită din punct de vedere științific este noțiunea unei progresii geometrice infinite și calcularea sumei ei. Presupunând că (y n) este o progresie geometrică având un numitor q care satisface condiția | q |< 1, atunci suma sa este limita la care suma tendințelor primilor termeni, cunoscuți nouă, are o creștere nelimitată în n, adică pe măsură ce se apropie infinitul.

Găsiți această sumă în cele din urmă cu ajutorul formulei:

S n = y 1 / (1 - q).

Și, după cum a arătat practica, în spatele simplității aparente a acestei progresii se ascunde un potențial uriaș aplicat. De exemplu, dacă construim o secvență de pătrate prin algoritmul următor, conectând punctele medii ale laturilor celei anterioare, atunci zonele lor formează o progresie geometrică infinită având numitorul 1/2. Același progres se formează prin zona de triunghiuri, care sunt obținute în fiecare etapă a construcției, iar suma sa este egală cu aria pătratului original.