Ce este aritmetica? Principala teoremă a aritmeticii. Aritmetica binară

Ce este aritmetica? Când a început omenirea să folosească numere și să lucreze cu ei? În cazul în care rădăcinile unor concepte obișnuite ca numerele merg, fracții, scădere,

Poate că aritmetica nu este la fel de adâncă ca alte științe, dar ce s-ar fi întâmplat cu ei, să uităm tabelul elementar de multiplicare? Gândirea logică obișnuită, folosind numere, fracțiuni și alte instrumente, nu a fost ușor dată oamenilor și pentru mult timp nu era disponibilă pentru strămoșii noștri. De fapt, înainte de dezvoltarea aritmetică, nici un câmp al cunoașterii umane nu era cu adevărat științific.

Aritmetica este alfabetul matematicii

Aritmetica este știința numerelor, cu care orice persoană începe să se familiarizeze cu lumea fascinantă a matematicii. După cum a spus dl Lomonosov, aritmetica este poarta bursieră, care ne deschide calea către cunoașterea lumii. Dar are dreptate, cunoașterea lumii poate fi separată de cunoașterea numerelor și a literelor, de matematică și de vorbire? Poate în vremurile vechi, dar nu în lumea modernă, unde dezvoltarea rapidă a științei și tehnologiei își dictează legile.

Cuvântul "aritmetică" (greacă "arithmos") de origine greacă înseamnă "număr". Ea studiază numărul și tot ceea ce poate fi conectat cu ei. Aceasta este o lume a numerelor: acțiuni diferite pe numere, numerice reguli, rezolvarea problemelor care implică înmulțirea, scăderea și așa mai departe.

Este general acceptat faptul că etapa inițială este aritmetică matematică și bază solidă pentru mai complexe secțiunile sale, cum ar fi algebra, analiza matematică, matematică superioare și t. D.

Obiectul principal al aritmeticii

Baza aritmetică este un întreg al cărui proprietăți și regularități sunt considerate în aritmetică sau superioară teoria numerelor. De fapt, puterea întregii clădiri - matematica depinde de cât de bine se ia abordarea corectă în considerarea unui bloc atât de mic ca un număr natural.

Prin urmare, întrebarea a ceea ce este aritmetică, puteți răspunde pur și simplu: este știința numerelor. Da, despre cele șapte, nouă și toate aceste comunități diverse. Și așa cum nu poți scrie poezii bune și mediocre fără alfabete elementare, fără aritmetică, nici măcar nu poți rezolva o problemă elementară. De aceea, toate științele au avansat numai după dezvoltarea aritmeticii și a matematicii, fiind mai presus de toate un set de ipoteze.

Știință aritmetică - fantomă

Ce este aritmetica - știința naturală sau fantoma? De fapt, așa cum argumentează filozofii antice greci, în realitate nu există cifre sau cifre. Acesta este doar un fantom care este creat în gândirea umană atunci când se ia în considerare mediul cu procesele sale. De fapt, ce este un număr? Nicăieri în jur nu vedem așa ceva, care ar putea fi numit un număr, mai degrabă, un număr este un mod al minții umane de a studia lumea. Și poate acesta este un studiu despre noi înșine din interior? Filosofii au susținut acest lucru de mai multe secole la rând, deci nu luăm un răspuns exhaustiv. Într-un fel sau altul, aritmetica a reușit să-și ia poziția atât de ferm încât în ​​lumea de astăzi nimeni nu poate fi considerat adaptat social fără cunoașterea bazelor sale.

Cum a apărut un număr natural?

Desigur, obiectul principal operat de aritmetică este un număr natural, cum ar fi 1, 2, 3, 4, hellip-, 152 ... etc Aritmetica numerelor naturale este rezultatul numărării obiectelor obișnuite, de exemplu, vacile într-o pajiște. Totuși, definiția "mult" sau "puțin" a încetat să se potrivească oamenilor și a trebuit să inventez tehnici mai bune de numărare.

Dar o adevărată descoperire a avut loc atunci când gândirea umană a atins punctul în care este posibil să se desemneze același număr "doi" și 2 kilograme, și 2 cărămizi și 2 părți. Faptul este că trebuie să rezumați din formele, proprietățile și semnificația obiectelor, atunci puteți face unele acțiuni cu aceste obiecte sub formă de numere naturale. Astfel sa născut aritmetica numerelor, care s-au dezvoltat și s-au extins, ocupând poziții tot mai mari în viața societății.

Astfel de noțiuni în profunzime despre numere, ca număr zero și un număr negativ, fracțiuni, desemnări de numere în număr și în alte moduri, au cea mai bogată și mai interesantă istorie a dezvoltării.

Aritmetici și practic egipteni

Doi dintre cei mai vechi tovarăși umani în studiul lumii înconjurătoare și rezolvarea problemelor de zi cu zi sunt aritmetici și geometrie.

Se crede că istoria aritmetică provine din Orientul Antic: în India, Egipt, Babilon și China. Astfel, papirusul de Rinda de origine egipteană (numit așa, pentru că aparținea proprietarului eponim), datează din secolul XX. BC, cu excepția altor date valoroase, conține descompunerea unei fracții cu suma fracțiunilor cu numitorii diferiți și cu un numărător egal cu unul.

De exemplu: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Dar care este punctul de descompunere atât de complex? Faptul este că abordarea egipteană nu a tolerat gândirea abstractizată cu privire la numere, dimpotrivă, calculele au fost făcute doar în scopuri practice. Asta înseamnă că egipteanul va fi angajat într-un astfel de lucru ca și calcule, doar pentru a construi un mormânt, de exemplu. A fost necesar să se calculeze lungimea marginii structurii, iar aceasta a forțat persoana să se așeze pentru papirus. Se pare că progresul egiptean în calcule a fost cauzat mai degrabă de construcție masivă decât de dragostea științei.

Din acest motiv, calculele găsite pe papiru nu pot fi numite reflexii privind fracțiile. Cel mai probabil, aceasta este o achiziție practică, care a ajutat în viitor la rezolvarea problemelor cu fracțiunile. Egiptenii vechi, care nu cunoșteau tabelele de multiplicare, au produs calcule destul de lungi, descompuse în mai multe sub-sarcini. Poate că acesta este unul dintre sub-sarcini. Nu este dificil să vedem că calculele cu astfel de preparate sunt foarte laborioase și de puține perspective. Poate, din acest motiv, nu vedem marea contribuție a Egiptului Antic la dezvoltarea matematicii.

Grecia antică și aritmetica filosofică

Multe dintre cunoștințele din Anticul Antic au fost bine stăpânite de vechii greci, cunoscuți iubitori de reflecții abstracte, abstracte și filosofice. Practica celor interesați nu mai puțin, dar este dificil să găsiți cei mai buni teoreticieni și gânditori. Acest lucru a beneficiat de știință, deoarece este imposibil să se înrobească în aritmetică fără a se rupe cu realitatea. Desigur, puteți multiplica 10 vaci și 100 de litri de lapte, dar departe nu va reuși.

Gândindu-ne profund grecii au lăsat un semn semnificativ în istorie, iar lucrările lor ne-au atins:

• Euclid și "Începutul".
• Pitagora.
• Archimede.
• Eratostene.
• Zenon.
• Anaxagora.

Și, desigur, se transformă toată filozofia grecilor, și mai ales urmașii lui Pitagora cazuri au fost atât de pasionat de numere, pe care le-o armonie mister mondial luate în considerare. Numerele au fost studiate atât și investigate, că unii dintre ei și cuplurile lor atribuite proprietăți speciale. De exemplu:

• Numerele perfecte sunt cele care sunt egale cu suma tuturor divizoarelor lor, cu excepția numărului însuși (6 = 1 + 2 + 3).
• Numerele prietenoase sunt numere, dintre care unul este egal cu suma tuturor divizoarelor celui de-al doilea și viceversa (Pythagoreans cunoștea doar o astfel de pereche: 220 și 284).

Grecii, care credeau că știința ar fi trebuit să fie iubiți și nu a fi cu ea de dragul câștigului, au obținut un mare succes, explorând, jucând și adăugând numere. Trebuie remarcat faptul că nu toate cercetările lor au găsit o aplicare largă, unele dintre ele rămânând doar "pentru frumusețe".

Gânditori orientali din Evul Mediu

În mod similar, în Evul Mediu, aritmetica își datorează dezvoltarea contemporanilor de răsărit. Indienii ne-au dat figuri pe care le folosim în mod activ, un "zero" și o opțiune pozițională sisteme de calcul, familiarizat cu percepția modernă. De la al-kasha, care a lucrat în secolul al XV-lea la Samarkand, am moștenit zecimale, fără de care este dificil să ne imaginăm aritmetica modernă.

În multe feluri, Europa familiarizat cu realizările din Est a fost posibilă datorită muncii savantului italian Leonardo Fibonacci, care a scris o carte „Liber Abaci“, cu inovații orientale familiarizare. Ea a devenit piatra de temelie a dezvoltării algebra și aritmetica, de cercetare și activități științifice în Europa.

Aritmetica rusească

Și, în cele din urmă, aritmetica, care și-a găsit locul și a înrădăcinat în Europa, a început să se răspândească în țările rusești. Prima aritmetică rusească a fost publicată în 1703 - era o carte despre aritmetica lui Leonty Magnitsky. Pentru mult timp a rămas singurul manual didactic pentru matematică. Conține momentele inițiale de algebră și geometrie. Cifrele utilizate în exemple sunt primele din manualul de aritmetică din Rusia, în limba arabă. Deși numeralele arabe au fost întâlnite mai devreme, pe gravuri datând din secolul al XVII-lea.

Cartea în sine este decorat cu imagini ale lui Arhimede și Pitagora, și pe prima pagină - aritmetică a imaginii ca o femeie. Ea stă pe tron, dedesubt este scris în cuvântul ebraic pentru numele lui Dumnezeu, și pe treptele care duc la altar, inscriptionate cu cuvântul „diviziune“, „creștere“, „plus“, și așa mai departe. D. Se poate imagina ce valoare trădat Astfel de adevăruri, care sunt acum considerate obișnuite.

Un manual de 600 de pagini descrie atât elementele de bază cum ar fi tabelul de adăugare și multiplicare, cât și aplicațiile pentru științele de navigație.

Nu este surprinzator, autorul a ales imaginea gânditorilor greci pentru cartea sa, pentru că el însuși a fost captivat de frumusețea aritmetică, spunând: „aritmetică a chislitelnitsa acolo ești frumoasă, nezavistnoehellip-“. Această abordare a aritmetică este întemeiată, deoarece este adoptarea sa la scara larga poate fi considerată începutul dezvoltării rapide a gândirii științifice în Rusia și educație generală.

Numerele nenumărate

Un număr prime este numărul natural, care are doar 2 divizori pozitivi: 1 și ea însăși. Toate celelalte numere, fără numărul 1, se numesc compozite. Exemple de numere prime: 2, 3, 5, 7, 11 și toate celelalte care nu au alți divizori, cu excepția numărului 1 și a celorlalți.

În ceea ce privește numărul 1, este pe un cont special - există o convingere că nu trebuie considerată nici simplă, nici complexă. Un simplu număr simplu la prima vedere ascunde o mulțime de mistere nerezolvate în sine.

Teorema lui Euclid spune că numerele prime sunt un set infinit, iar Eratosthenes a venit cu o "sită" aritmetică specială, care ridică numerele neplăcute, lăsând doar cele simple.

Esența lui este să sublinieze primul număr nedivulgat și, în viitor, să îl șterge pe cei care îi sunt multipli. Repetați această procedură de mai multe ori și obțineți un tabel cu numere prime.

Principala teoremă a aritmeticii

Dintre observațiile privind numerele prime, trebuie să menționăm într-un mod special teorema de bază a aritmeticii.

Teorema de bază a aritmeticii spune că orice număr întreg mai mare decât 1 este fie simplu, fie poate fi descompus într-un produs de primes la ordinea factorilor, într-un mod unic.

Principala teoremă a aritmeticii se dovedește a fi destul de greoaie, iar înțelegerea ei nu mai este asemănătoare cu cele mai simple baze.

La prima vedere, numerele prime sunt un concept elementar, dar nu este. De asemenea, fizica a considerat atomul drept elementar până când a găsit un întreg întreg în el. Povestea frumoasă a matematicianului Don Tsagir "Primele cincizeci de milioane de numere prime" este dedicată numerelor prime.

De la "trei mere" la legi deductive

Ceea ce poate fi numit cu adevărat fundația întărită a întregii științe este legile aritmetice. Înapoi în copilărie, toată lumea se confruntă cu aritmetică, studiind numărul de picioare și pixuri în păpuși, numărul de cuburi, mere, etc. Deci, studiem aritmetica, care se îndreaptă spre reguli mai complexe.

Toată viața ne cunoaște cu regulile aritmetice, care au devenit pentru omul obișnuit cel mai util din tot ceea ce dă știința. Studiul numerelor este "aritmetică-bebeluș", care introduce o persoană în lumea numerelor sub formă de numere în copilăria timpurie.

Aritmetica mai mare este o știință deductivă care studiază legile aritmetice. Mulți dintre ei știm, deși, probabil, nu știm exact formulele lor.

Legea adunării și înmulțirii

Orice numere naturale a și b pot fi exprimate ca a + b, care este, de asemenea, un număr natural. În ceea ce privește adăugarea, se aplică următoarele legi:

• comutabil, care spune că suma nu se schimbă de la permutarea sumelor în locuri, sau a + b = b + a.
• asociativ, care spune că suma nu depinde de modul de grupare a sumei în locurile, sau a + (b + c) = (a + b) + c.

Regulile aritmetice, cum ar fi adăugarea, sunt unele dintre elementele elementare, dar sunt folosite de toate științele, ca să nu mai vorbim de viața de zi cu zi.

Orice două numere naturale a și b pot fi exprimate în produsul a * b sau a * b, care este, de asemenea, un număr natural. Aceleași legi comutative și asociative se aplică produsului în ceea ce privește adăugarea:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Este interesant faptul că există o lege care combină adăugarea și multiplicarea, numită și lege distributivă sau distributivă:

a (b + c) = ab + ac

Această lege ne învață să lucrăm cu paranteze, dezvăluindu-le astfel încât să putem lucra cu formule mai complexe. Acestea sunt exact legile care ne vor conduce prin lumea bizara si complexa a algebrei.

Legea ordinii aritmetice

Legea ordinii folosește în fiecare zi logica umană, comparând ceasurile și facturile de numărare. Și totuși, aceasta trebuie formalizată sub formă de formulări concrete.

Dacă avem două numere naturale a și b, atunci sunt posibile următoarele opțiuni:

• a este b sau a = b;
• a este mai mică decât b sau a < b;
• a este mai mare decât b, sau a> b.

Dintre cele trei opțiuni, numai unul poate fi corect. Legea fundamentală care guvernează ordinea spune: dacă a < b și b < c, atunci a< c.

Există, de asemenea, legi care reglementează ordinea cu acțiunile de multiplicare și adăugare: dacă a< b, apoi a + c < b + c și ac< bc.

Legile aritmeticii ne învață să lucrăm cu numere, semne și paranteze, transformând totul într-o simfonie armonioasă de numere.

Sisteme de poziționare și non-poziționare de calcul

Putem spune că numerele sunt o limbă matematică, din confortul căruia depinde mult. Există multe sisteme de calcul, care, la fel ca alfabetele diferitelor limbi, diferă una de cealaltă.

Luați în considerare sistemul numeric în ceea ce privește influența poziției asupra valorii cantitative a cifrei la această poziție. De exemplu, sistemul roman este ne-pozitiv, unde fiecare număr este codificat printr-un set specific de simboluri speciale: I / V / X / L / C / D / M. Acestea sunt egale cu 1/5/10/50/100/500 / 1000. În acest sistem, cifra nu se schimba determinarea sa cantitativă, în funcție de poziția în ceea ce ar trebui: .. Primul, al doilea, etc. Pentru a obține celelalte numere, este necesar să se stabilească baza. De exemplu:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Mai familiarizat, sistemul numeric care utilizează cifre arabe este pozițional. Într-un astfel de sistem, numărul numeric determină numărul de cifre, de exemplu, numerele de trei cifre: 333, 567 etc. Greutatea oricărei cifre depinde de poziția pe care este amplasată această cifră sau cifra respectivă, de exemplu, cifra 8 în a doua poziție are o valoare de 80. Aceasta este caracteristică sistemului zecimal, există și alte sisteme poziționale, de exemplu binare.

Aritmetica binară

Suntem familiarizați cu sistemul zecimal de calcul, alcătuit din numere dintr-o singură cifră și din mai multe cifre. Cifra din stânga într-un număr din mai multe cifre este de zece ori mai mare decât cea din dreapta. Deci, am citit 2, 17, 467, etc. O logică și o abordare complet diferită pentru secțiune, care se numește "aritmetică binară". Acest lucru nu este surprinzător, deoarece aritmetica binară nu este creată pentru logica umană, ci pentru calculator. Dacă aritmetica numerelor a apărut din numărarea obiectelor, care ulterior s-au abstractizat din proprietățile obiectului la aritmetică "goală", atunci aceasta nu funcționează cu calculatorul. Pentru a-și împărtăși cunoștințele cu calculatoarele, o persoană trebuia să inventeze un astfel de model de calcul.

Lucrări aritmetice binare cu un alfabet binar, care constă doar din 0 și 1. Și folosirea acestui alfabet se numește sistemul binar al calculului.

Diferența dintre aritmetica binară și zecimală este că importanța poziției din stânga nu mai este de 10, dar de 2 ori. Numerele binare au forma 111, 1001 etc. Cum să înțelegem astfel de numere? Deci, ia în considerare numărul 1100:

1. Prima cifră din stânga - 1 * 8 = 8, amintind că a patra cifră și prin urmare trebuie multiplicată cu 2, obținem poziția 8.
2. A doua cifră este 1 * 4 = 4 (poziția 4).
3. A treia cifră este 0 * 2 = 0 (poziția 2).
4. A patra cifră este 0 * 1 = 0 (poziția 1).
5. Deci, numărul nostru este 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Adică atunci când trecem la o nouă cifră în stânga, semnificația ei în sistemul binar este înmulțită cu 2, iar în zecimală cu 10. Acest sistem are un minus: este o creștere prea mare a cifrelor, care sunt necesare pentru scrierea numerelor. Exemple de reprezentare a numerelor zecimale în formă de două biți pot fi văzute în tabelul următor.

Numerele zecimale în formă binară sunt prezentate mai jos.

De asemenea, sunt utilizate sistemele de calcul octal și hexazecimal.

Această aritmetică misterioasă

Ce este aritmetica, "două ori două" sau mistere necunoscute ale numerelor? După cum puteți vedea, aritmetica poate părea simplă la prima vedere, dar ușurința ei nevăzută este înșelătoare. Este posibil să se studieze copiii, și împreună cu mătușa Owl din desenul animat „aritmetică-copil“, și puteți arunca cu capul în adânc cercetarea științifică, pentru aproape filosofice. În istorie, ea a plecat de la numărarea obiectelor la închinarea frumuseții numerelor. Un lucru este sigur: cu stabilirea postulatelor de bază ale aritmetică, toate știința se poate baza pe umărul ei puternic.