Asteptarile matematice si variatia unei variabile aleatoare

Teoria probabilității este o ramură specială a matematicii, care este studiată doar de studenții instituțiilor de învățământ superior. Îți plac calculele și formulele? Nu vă este frică de perspectiva cunoașterii distribuției normale, a entropiei ansamblului, a așteptărilor matematice și a varianței unei variabile aleatorii discrete? Atunci acest subiect va fi foarte interesant pentru tine. Să facem cunoștință cu câteva concepte de bază importante ale acestei secțiuni a științei.

Să reamintim elementele de bază

Chiar dacă vă amintiți cele mai simple concepte ale teoriei probabilității, nu neglijați primele paragrafe ale articolului. Faptul este că, fără o înțelegere clară a principiilor de bază, nu puteți lucra cu formulele discutate mai jos.

Deci, există un eveniment aleator, un experiment. Ca urmare a acțiunilor pe care le luăm, putem obține mai multe rezultate - unele dintre ele apar mai des, altele - mai puțin dese. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate efectiv obținute dintr-un singur tip și numărul total de rezultate posibile. Numai cunoașterea definiției clasice a acestui concept, puteți începe să studiați așteptările matematice și varianța variabilelor aleatorii continue.

Media aritmetică

Înapoi la școală în clasa matematică, ați început să lucrați cu media aritmetică. Acest concept este folosit pe scară largă în teoria probabilităților și, prin urmare, nu poate fi ignorat. Principalul lucru pentru noi în acest moment este că îl vom întâlni în formulele așteptărilor matematice și varianței unei variabile aleatorii.

Avem o serie de numere și vrem să găsim media aritmetică. Tot ceea ce este necesar de la noi este să însumăm tot ceea ce este disponibil și să ne împărțim după numărul de elemente din secvență. Să avem numere de la 1 la 9. Suma elementelor va fi 45 și vom împărți această valoare cu 9. Răspuns: - 5.

dispersare

Din punct de vedere științific, varianța este deviația medie pătrată a valorilor obținute ale unei caracteristici din media aritmetică. Este indicată printr-o literă majusculă D. Ce aveți nevoie pentru ao calcula? Pentru fiecare element al secvenței, calculăm diferența dintre numărul existent și media aritmetică și pătratul. Valorile vor fi exact la fel de multe ca pot exista rezultate în cazul în care avem în vedere. Apoi, rezumăm toate rezultatele și divizăm după numărul de elemente din secvență. Dacă avem cinci rezultate posibile, vom împărți cu cinci.

Dispersia are proprietăți pe care nu trebuie să le rețineți să le folosiți atunci când rezolvați probleme. De exemplu, pe măsură ce variabila aleatoare crește cu un factor de X, variația crește în mod quadratic în X (adică, X * X). Acesta nu este niciodată mai mic decât zero și nu depinde de schimbarea valorilor cu o valoare egală într-o măsură mai mare sau mai mică. În plus, pentru studiile independente, varianța unei sume este egală cu suma variațiilor.

Acum trebuie să luăm în considerare exemple de varianță a unei variabile aleatorii discrete și așteptări matematice.

Să presupunem că am efectuat 21 de experimente și am obținut 7 rezultate diferite. Fiecare dintre ele am observat, respectiv, 1,2,2,3,4,4 și de 5 ori. Care este varianța?

Mai întâi, să calculam media aritmetică: suma elementelor este, bineînțeles, 21. Împărțiți-o cu 7, obținând 3. Acum, din fiecare număr al secvenței inițiale, scade 3, fiecare valoare este pătrat, iar rezultatele sunt adăugate împreună. Se pare că 12. Acum rămâne ca noi să împărțim numărul prin numărul de elemente și, aparent, totul. Dar există o captură! Să discutăm despre asta.

Dependența de numărul de experimente

Se pare că, atunci când se calculează varianța numitorului, una dintre cele două numere poate sta: fie N, fie N-1. Aici, N este numărul de experimente efectuate sau numărul de elemente din secvență (care este în esență același lucru). De ce depinde?

Dacă numărul de teste este măsurat în sute, atunci trebuie să punem numitorul N. Dacă unitățile, atunci N-1. Oamenii de știință au hotărât să conducă granița destul de simbolic: pentru ziua de azi, trece prin cifra de 30. Dacă am efectuat experimente mai mici de 30, atunci vom împărți suma cu N-1 și, dacă este mai mare, cu N.

sarcină

Să revenim la exemplul nostru de rezolvare a problemei varianței și așteptărilor matematice. Am obținut un număr intermediar 12, care trebuia împărțit în N sau N-1. Deoarece am efectuat experimentele 21, care sunt mai puțin de 30, alegem a doua opțiune. Deci, răspunsul este: varianța este 12/2 = 2.

Asteptarile matematice

Să trecem la cel de-al doilea concept, pe care trebuie să îl luăm în considerare acest articol. Așteptarea este rezultatul însumării tuturor rezultatelor posibile înmulțite cu probabilitățile corespunzătoare. Este important să înțelegem că valoarea obținută, precum și rezultatul calculului varianței, sunt obținute o singură dată pentru întreaga activitate, indiferent de numărul de rezultate care au fost luate în considerare în ea.

Formula așteptărilor matematice este destul de simplă: luați rezultatul, înmulțiți-o cu probabilitatea, adăugați același rezultat pentru al doilea, al treilea rezultat etc. Tot ceea ce este legat de acest concept este calculat cu ușurință. De exemplu, suma așteptărilor este așteptarea sumei. Căci lucrarea este reală la fel. Astfel de operațiuni simple ne permit să efectuăm cu noi nu orice cantitate din teoria probabilităților. Să luăm sarcina și să calculăm semnificația celor două concepte studiate. În plus, am fost distras de teorie - este timpul să practicăm.

Un alt exemplu

Am efectuat 50 de teste și am obținut 10 tipuri de rezultate - numere de la 0 la 9 - care apar în diferite procente. Acestea, respectiv: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Rețineți că, pentru a obține probabilități, trebuie să împărțiți valorile în procente cu 100. Astfel, obținem 0,02-0,1, etc. Reprezentăm pentru varianța unei variabile aleatorii și așteptările matematice un exemplu de soluție a problemei.

Calculăm media aritmetică cu formula pe care o amintim de la școala de juniori: 50/10 = 5.

Acum traducem probabilitățile în numărul de rezultate "în bucăți", astfel încât ar fi mult mai convenabil să numărați. Se obțin 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 și 9. Din fiecare valoare obținută, se scade media aritmetică, după care fiecare dintre rezultatele obținute va fi pătrat. Vedeți cum să faceți acest lucru, utilizând exemplul primului element: 1 - 5 = (-4). Următorul: (-4) * (-4) = 16. Pentru valorile rămase, efectuați singuri aceste operații. Dacă ați făcut totul bine, atunci după ce ați adăugat totul rezultatele intermediare vei primi 90.

Să continuăm calculul varianței și așteptărilor matematice, împărțind 90 cu N. De ce alegem N, nu N-1? Așa este, deoarece numărul de experimente efectuate depășește 30. Astfel: 90/9 = 10. Am primit o dispersie. Dacă aveți un număr diferit, nu vă disperați. Cel mai probabil, ați făcut o greșeală banală în calcule. Verificați din nou ceea ce a fost scris și, cu siguranță, totul va cădea.

În sfârșit, să ne amintim formula așteptărilor matematice. Nu vom da toate calculele, vom scrie doar răspunsul cu care puteți consulta, după ce ați terminat toate procedurile necesare. Așteptările sunt de 5,48. Vă vom aminti doar cum să efectuați operații pe exemplul primelor elemente: 0 * 0.02 + 1 * 0.1hellip- și așa mai departe. După cum puteți vedea, noi înmulțim pur și simplu valoarea rezultatului prin probabilitatea sa.

deviație

Un alt concept strâns legat de variația și așteptarea matematică este deviația medie pătrată. Este marcat fie cu literele latine SD, fie cu sigma "greacă" greacă. Acest concept arată cât de mult valorile se abat de la elementul central în medie. Pentru a găsi valoarea sa, trebuie să calculați rădăcina pătrată a varianței.

Dacă construiți un program normal de distribuție și doriți să îl vedeți direct pe el valoarea medie abaterea patratică, acest lucru se poate face în mai multe etape. Luați jumătate din imaginea din stânga sau din dreapta modului (valoarea centrală), trageți perpendicular pe axa orizontală astfel încât suprafețele formelor rezultate să fie egale. Valoarea segmentului dintre mijlocul distribuției și proiecția rezultată pe axa orizontală va fi deviația medie pătrată.

software-ul

După cum se poate observa din descrierile formulelor și exemplelor prezentate, calculele varianței și așteptărilor matematice nu sunt cea mai simplă procedură din punct de vedere aritmetic. Pentru a nu pierde timpul, este logic să folosiți programul folosit în instituțiile de învățământ superior - se numește "R". Are funcții care vă permit să calculați valorile pentru multe concepte din statisticile și teoria probabilităților.

De exemplu, specificați un vector de valori. Acest lucru se face după cum urmează: vector <-c (1.5.2hellip-). Acum, când trebuie să calculați orice valoare pentru acest vector, scrieți o funcție și setați-o ca argument. Pentru a găsi varianța, va trebui să utilizați funcția var. Un exemplu de utilizare a lui: var (vector). Apoi, apăsați "intrare" și obțineți rezultatul.

În concluzie

Dispersia și așteptările matematice sunt conceptele de bază ale teoriei probabilității, fără de care este dificil să se calculeze ceva în viitor. În cursul principal al cursurilor în universități, ele sunt considerate deja în primele luni ale studiului subiectului. Din cauza lipsei de înțelegere a acestor concepte mai simple și a incapacității de a le calcula, mulți studenți încep imediat să cadă în urma programului și, mai târziu, obțin semne proaste cu privire la rezultatele ședinței, ceea ce îi privează de bursele lor.

Practicați cel puțin o săptămână timp de o jumătate de oră pe zi, rezolvând sarcini similare cu cele prezentate în acest articol. Apoi, pe orice test în teoria probabilităților, puteți face față exemplelor fără indicii străine și înșelăciuni.