Cum să demonstrați că secvența converge? Proprietățile de bază ale secvențelor convergente

Pentru mulți, analiza matematică este doar o colecție de numere, insigne și definiții incomprehensibile, departe de viața reală. Cu toate acestea, lumea în care existăm, construit pe regularități numerice, care ajută la identificarea nu doar să învețe despre lume și pentru a rezolva provocările sale, dar, de asemenea, pentru a simplifica problemele practice de zi cu zi. Ce înseamnă matematicianul atunci când spune că secvența numerică converge? Acest lucru ar trebui discutat în detaliu.

Ce este infinitezimea?

Imaginați-vă că matryoshkas, care sunt plasate unul în altul. Dimensiunile lor, scrise sub formă de numere, începând cu cea mai mare și terminând cu cele mai mici, formează o secvență. Dacă vă imaginați un număr infinit de astfel de figuri strălucitoare, atunci seria rezultată va fi fantastic de lungă. Aceasta este o secvență numerică convergentă. Și tinde la zero, deoarece mărimea fiecărei păpuși ulterioare, în scădere catastrofală, se transformă treptat în nimic. Astfel, este ușor să explicăm: ceea ce este infinit mici.

Un exemplu similar poate fi un drum care se extinde în distanță. Iar dimensiunile vizuale ale mașinii care se deplasează de-a lungul ei de la observator, se micșorează treptat, se transformă într-o specie fără formă care seamănă cu un punct. Astfel, mașina, ca un obiect, se deplasează într-o direcție necunoscută, devine infinit de mică. Parametrii acestui corp nu vor fi niciodată zero în sensul literal al cuvântului, dar în mod invariabil au această valoare în limita finală. Prin urmare, această secvență converge din nou la zero.

Calculăm totul prin scădere

Imaginați-vă acum situația lumească. Medicul prescris pentru a lua medicamentul, începând cu zece picături pe zi și adăugând două în fiecare zi ulterioară. Și medicul a sugerat să continue până când conținutul bulei de medicamente, al cărui volum este de 190 de picături, se scurge. Din cele de mai sus rezultă că numărul acestora, pictat pe zile, va constitui următoarea serie numerică: 10, 12, 14 și așa mai departe.

Cum să aflăm timpul întregului curs și numărul de membri ai secvenței? Aici, desigur, poți conta pe picături într-un mod primitiv. Dar este mult mai ușor, având în vedere modelul, se folosește formula pentru suma unei progresie aritmetică cu un pas d = 2. Și cu utilizarea acestei metode pentru a afla că numărul de membri ai seriei de numere este egal cu 10. În acest caz, precum și₁₀ = 28. Numărul membrului indică numărul de zile de luare a medicamentelor și 28 corespunde numărului de picături pe care pacientul ar trebui să le consume în ultima zi. Această secvență se converge? Nu, pentru că, în ciuda faptului că este limitată de la 10 la mai jos și de la 28 de mai sus, o astfel de serie numerică nu are nicio limită, spre deosebire de exemplele anterioare.

Care este diferența?

Să încercăm acum să clarificăm: atunci când seria numerică se dovedește a fi o secvență convergentă. O definiție de acest fel, așa cum se poate deduce din cele de mai sus, este direct legată de noțiunea de limită finită, a cărei prezență dezvăluie esența chestiunii. Deci, care este diferența fundamentală dintre exemplele menționate anterior? Și de ce în ultimul dintre ele numărul 28 nu poate fi considerat limita seriei numerice X_n = 10 + 2 (n-1)?

Pentru a clarifica această întrebare, luați în considerare o altă secvență dată de formula de mai jos, unde n aparține setului de numere naturale.

Această comunitate de membri este un set de fracții obișnuite, numitorul căruia este 1, iar numitorul este în continuă creștere: 1, frac12- ...

Mai mult, fiecare reprezentant succesiv al acestei serii pe poziția de pe linia numărului se apropie din ce în ce mai mult de 0. Și aceasta înseamnă că există un cartier în care punctele sunt plictisite în jurul valorii de zero, ceea ce reprezintă limita. Și cu cât sunt mai aproape de ea, cu atât mai aproape de concentrarea lor pe linia numărului devine. Iar distanța dintre ele este redusă dramatic, transformându-se într-o infinitezimă. Acesta este un semn că converge secvența.

În mod similar, dreptunghiurile colorate descrise în figură, atunci când sunt îndepărtate în spațiu, sunt vizual mai complexe, în limita ipotetică devenind neglijabilă.

Secvențe extrem de mari

După analizarea definiției unei secvențe convergente, să ne îndreptăm acum spre exemplele opuse. Mulți dintre ei erau cunoscuți omului încă din cele mai vechi timpuri. Cele mai simple variante ale secvențelor divergente sunt seria numerelor naturale și parțiale. Ele sunt numite infinit de mari într-un alt mod, deoarece membrii lor, în continuă creștere, se apropie tot mai mult de infinitul pozitiv.

Exemple de astfel de situații pot fi, de asemenea, oricare dintre progresiile aritmetice și geometrice cu treaptă și, respectiv, numitor mai mare decât zero. Secvențele divergente sunt considerate, în plus, serii numerice, care nu au nicio limită. De exemplu, X_n= (-2)^n-1.

Secvența Fibonacci

Utilizarea practică a seriei numerice menționate anterior pentru omenire este incontestabilă. Dar există și multe alte exemple minunate. Una dintre ele este secvența Fibonacci. Fiecare dintre membrii săi, care încep cu o unitate, este suma celor anteriori. Primele două dintre reprezentanții săi sunt 1 și 1. Al treilea 1 + 1 = 2, al patrulea 1 + 2 = 3, al cincilea 2 + 3 = 5. Mai mult, conform aceleiași logici, numerele 8, 13, 21 și așa mai departe urmează.

Acest număr de numere crește fără limită și nu are o limită finită. Dar are o proprietate remarcabilă. Raportul dintre fiecare la următorul număr anterior din ce în ce mai aproape în valoarea sa la 0, 618. Este posibil să se clarifice diferența dintre secvențele convergente și divergente, pentru că în cazul în care numărul de scriere a coeficientului obținut, respectivul sistem numeric va avea o limită finită egală cu 0,618.

Secvența coeficienților Fibonacci

Seria numerică de mai sus este utilizată pe scară largă în scopuri practice pentru analiza tehnică a piețelor. Dar acest lucru nu se limitează la capacitățile sale, pe care egiptenii și grecii l-au cunoscut și care s-ar putea aplica în practică în cele mai vechi timpuri. Acest lucru este dovedit de piramidele și de Parthenonul construit de ei. Într-adevăr, numărul 0, 618 este un coeficient constant al binecunoscutei secțiuni de aur vechi. Conform acestei reguli, orice segment arbitrar poate fi împărțit astfel încât raportul dintre părțile sale să coincidă cu raportul dintre cel mai mare dintre segmente și lungimea totală.

Construim o serie de astfel de relații și încercăm să analizăm această secvență. Seria numerică se obține după cum urmează: 1- 0.5-0.67-0.6-0.625-0.615-0.619 și așa mai departe. Continuând, putem asigura astfel că limita secvenței convergente este într-adevăr 0.618. Cu toate acestea, este necesar să se ia în considerare alte proprietăți ale acestui tipar. Aici, cifrele par să se desfacă, și nu deloc în ordinea creșterii sau descreșterii. Aceasta înseamnă că această secvență convergentă nu este monotonă. Despre motivul pentru care aceasta este calea pentru a merge mai departe.

Monotonie și limitare

Membrii unei serii numerice cu o creștere a numărului pot scădea în mod clar (dacă x₁x₂x₃hellip-> x_nhellip-) sau să crească (dacă x₁₂₃n1ge-x₂ge-x₃ge-hellip-ge-x_nge-hellip- sau x₁le-x₂le-x₃le-hellip-le-x_nle-hellip-), atunci secvența convergentă este de asemenea monotonă, dar nu în sens strict. Un bun exemplu de prima dintre aceste opțiuni este o serie numerică dată de următoarea formulă.

După ce ați notat numărul unei serii date, puteți observa că oricare dintre membrii săi, apropiați de 1 fără limită, nu va depăși niciodată această valoare. În acest caz, se vorbește despre limitarea secvenței convergente. Acest lucru se întâmplă ori de câte ori există un număr pozitiv M, care este întotdeauna mai mare decât oricare dintre termenii seriei în valoare absolută. Dacă seria numerică are monotonicitate și are o limită și, prin urmare, converge, atunci ea are neapărat această proprietate. Și inversul nu trebuie să fie adevărat. Acest lucru este indicat de teorema privind limita unei secvențe convergente.

Utilizarea acestor observații în practică este foarte utilă. Oferim un exemplu concret prin investigarea proprietăților secvenței X_n = n / n + 1 și să demonstreze convergența sa. Faptul că este monotonică este ușor de arătat, deoarece (x_n+1 - x_n) este un număr pozitiv pentru orice valoare a n. Limita secvenței este egală cu numărul 1, ceea ce înseamnă că sunt îndeplinite toate condițiile din teorema de mai sus, numită și teorema Weierstrass. Teorema privind limita unei secvențe convergente afirmă că, dacă are o limită, atunci în orice caz este limitată. Cu toate acestea, vom da următorul exemplu. Seria numerelor X_n = (-1)ⁿ este legat de mai jos cu -1 și de mai sus 1. Dar această secvență nu este monotonă, nu are limită și, prin urmare, nu converge. Aceasta înseamnă că limitarea nu implică întotdeauna existența unei limite și a convergenței. Pentru a face acest lucru, este necesar să se potrivească cu limita inferioară și superioară, ca în cazul coeficienților Fibonacci.

Numerele și legile Universului

Cele mai simple variante ale unei secvențe convergente și divergente sunt, probabil, seria numerică X_n = n și X_n = 1 / n. Prima dintre acestea este o serie naturală de numere. Este, așa cum am menționat deja, infinit de mare. Cea de-a doua secvență convergentă este mărginită, iar termenii ei în magnitudine se apropie de un infinitezimal. Fiecare dintre aceste formule reprezintă o parte a unui univers cu mai multe fațete, ajutând persoana în limba de numere și simboluri pentru a imagina și de a calcula ceva imposibil de cunoscut, inaccesibile pentru o percepție limitată.

Legile universului, variind de la un mic neglijabil și care se termină cu un incredibil de mare, exprimă de asemenea un coeficient de aur de 0.618. Oamenii de știință cred că este pus în baza esenței lucrurilor și este folosit de natură pentru a-și forma părțile. Relațiile menționate anterior între membrii ulteriori și cei anteriori ai seriei Fibonacci nu încheie demonstrarea proprietăților uimitoare ale acestei serii unice. Dacă luăm în considerare raportul dintre membrul anterior în următorii de unul, vom obține un număr între 0,5 și 0, 33- 0.4- 0,375- 0,384- 0,380- 0,382 și așa mai departe. Interesant este faptul că această secvență marginit converge, nu este monoton, dar atitudinea unor membri ai numerelor adiacente extreme întotdeauna se dovedește a fi de aproximativ 0382, care poate fi, de asemenea, utilizat în arhitectură, analiza tehnică și alte industrii.

Există și alți coeficienți interesanți ai seriei Fibonacci, toți joacă un rol special în natură și, de asemenea, sunt folosiți de om pentru scopuri practice. Matematicienii sunt siguri că universul se dezvoltă în funcție de un fel de "spirală de aur", formată din acești coeficienți. Cu ajutorul lor, este posibil să se calculeze multe fenomene care apar pe Pământ și în spațiu, începând cu creșterea numărului de anumite bacterii și terminând cu mișcarea unor comete îndepărtate. Codul similar se supune, după cum se dovedește, codului ADN.

Ușoară progresie geometrică

Există o teoremă care afirmă unicitatea limitei unei secvențe convergente. Aceasta înseamnă că nu poate avea două sau mai multe limite, ceea ce este, fără îndoială, important pentru găsirea caracteristicilor sale matematice.

Să luăm în considerare câteva cazuri. Orice serie numerică compusă din membri ai progresiei aritmetice este diferită, cu excepția cazului cu pas zero. Același lucru se referă la o evoluție geometrică, numitorul căreia este mai mare decât 1. Limitele unor astfel de serii numerice sunt "plusul" sau "minusul" infinității. Dacă numitorul este mai mic de -1, atunci nu există nicio limită. Există și alte opțiuni.

Luați în considerare seria numerică dată de formula X_n = (1/4)^n-1. La prima vedere, este ușor de înțeles că această secvență convergentă este limitată, deoarece este în mod strict descrescătoare și în nici un caz nu este capabilă să ia valori negative.

Să scriem un anumit număr de termeni la rând.

Se pare: 1 - 0,25 - 0,0625 - 0,015625 - 0,00390625 și așa mai departe. Sunt suficiente calcule simple pentru a înțelege cât de repede o anumită progresie geometrică de la numitorii de 0<1 уменьшается. В то время как знаменатель членов неограниченно возрастает, сами они превращаются в бесконечно малое. Это значит, что предел числового ряда равен 0. Данный пример ещё раз демонстрирует ограниченность сходящейся последовательности.

Secvențe fundamentale

Auguste Louis Cauchy, om de știință francez, a arătat lumii multe lucrări legate de analiza matematică. El a dat definiții unor astfel de concepte ca diferențialul, integralitatea, limita și continuitatea. De asemenea, el a investigat proprietățile de bază ale secvențelor convergente. Pentru a înțelege esența ideilor sale, este necesar să generalizăm câteva detalii importante.

Chiar la începutul articolului, sa demonstrat că există unele secvențe pentru care există un cartier în care punctele care reprezintă un anumit număr de membri pe o linie de număr, începe skuchivatsya prin căptușirea tot mai densă. În același timp, distanța dintre ele crește atunci când numărul următorului reprezentant crește, devenind infinit de mic. Astfel, se dovedește că un număr infinit de reprezentanți ai unei serii date sunt grupați într-un anumit vecinătate, în timp ce există un număr finit de reprezentanți ai seriei respective. Astfel de secvențe sunt numite fundamentale.

Cunoscutul criteriu Cauchy, creat de matematicianul francez, indică fără echivoc faptul că existența unei astfel de proprietăți este suficientă pentru a dovedi că converge secvența. Converse este, de asemenea, adevărat.

Trebuie remarcat faptul că această concluzie a matematicianului francez este, în cea mai mare parte, interes pur teoretic. Aplicarea sa în practică este considerată destul de complexă, prin urmare, pentru a determina convergența seriilor, este mult mai important să se demonstreze existența unei secvențe de limite finite. Altfel, este considerat divergent.

Atunci când se rezolvă problemele, trebuie luate în considerare și proprietățile de bază ale secvențelor convergente. Acestea sunt prezentate mai jos.

Sumele infinite

Astfel de oameni de știință celebri din antichitate, cum ar fi Archimedes, Euclid, Eudoxus, au folosit sume de serii numerice infinite pentru a calcula lungimile curbelor, volumele corpurilor și zonele cifrelor. În special, în acest fel am reușit să aflăm zona segmentului parabolic. În acest scop, s-a utilizat suma seriei numerice a progresiei geometrice cu q = 1/4. În mod similar, au existat volume și zone de alte forme arbitrare. Această opțiune a fost numită metoda de "epuizare". Ideea era că complexul studiat în formă de corp a fost împărțit în părți, care erau figuri cu parametri ușor de măsurat. Din acest motiv, nu a fost dificil să se calculeze zonele și volumele lor, apoi s-au format.

Apropo, sarcinile similare sunt foarte familiare elevilor moderni și se găsesc în sarcinile UIP. O modalitate unică, găsită de strămoși de departe, este astăzi cea mai simplă versiune a soluției. Chiar dacă părțile la care cifra numerică este împărțită, doar două sau trei, adăugarea zonelor lor reprezintă totuși suma seriei numerice.

Mult mai târziu, oamenii de știință antice greci Leibniz și Newton, bazați pe experiența predecesorilor înțelepți, au învățat legile calculului integral. Cunoașterea proprietăților secvențelor le-a ajutat să rezolve ecuațiile diferențiale și algebrice. În prezent, teoria seriilor create de eforturile multor generații de oameni de știință talentați oferă șansa de a rezolva un număr imens de probleme matematice și practice. Iar studiul secvențelor numerice este sarcina principală rezolvată prin analiza matematică din momentul creării ei.