Ecuația diophantină: metode de rezolvare cu exemple

Inegalitățile inegale sau sistemele lor cu coeficienți raționali ale căror soluții sunt căutate în numere integrale sau întregi. Ca regulă, numărul de necunoscute din ecuațiile diofantine este mai mare. Astfel, ele sunt, de asemenea, cunoscute ca inegalități vagi. În matematică modernă conceptul de mai sus se aplică ecuații algebrice ale căror soluții sunt căutate în numere întregi algebrice ale unor extensie de variabile Q-raționale, domeniul p-adice și așa mai departe. D.

Originile acestor inegalități

Studiul ecuațiilor Diophantine se află la limita dintre teoria numărului și geometria algebrică. Căutarea de soluții în variabilele întregi este una dintre cele mai vechi probleme matematice. Deja la începutul celui de-al doilea mileniu î.en. Babilonienii antic au reușit să rezolve sisteme de ecuații cu două necunoscute. Această ramură de matematică a înflorit cel mai mult în Grecia Antică. Aritmetica lui Diophantus (despre secolul III d.Hr.) este o sursă importantă și principală, care conține diferite tipuri și sisteme de ecuații.

În această carte, Diophantus a prevăzut o serie de metode pentru studierea inegalităților dintre gradele al doilea și al treilea, care au fost pe deplin dezvoltate în secolul al XIX-lea. Crearea teoriei numerelor raționale de către acest cercetător al Greciei antice a condus la o analiză a soluțiilor logice ale sistemelor nesigure care sunt însoțite sistematic în cartea sa. În ciuda faptului că lucrarea sa conține soluții la ecuații Diophantine specifice, există motive să credem că el a fost, de asemenea, familiarizat cu mai multe metode comune.

Studiul acestor inegalități este de obicei asociat cu dificultăți serioase. Având în vedere faptul că ele conțin polinoame cu coeficienți întregi F (x, y1, hellip-, y_n). Pe baza acestor concluzii s-au trasat concluzii că nu există un singur algoritm prin care să se poată determina pentru orice x dacă ecuația F (x, y₁,hellip-, y_n). Situația este solvabilă pentru y₁, hellip, y_n. Exemple de astfel de polinoame pot fi scrise.

Cea mai simplă inegalitate

ax + by = 1, unde a și b sunt relativ întregi și prime, există o mulțime de execuții pentru ea (dacă x₀ y₀ rezultatul este generat, apoi perechea de variabile x = x₀ + b_n și y = y₀^-o, unde n este arbitrar, va fi, de asemenea, tratată ca o inegalitate). Un alt exemplu de ecuații Diophantine este x² + y² = z². Soluțiile pozitive integrale ale acestei inegalități sunt lungimile laturilor mici ale triunghiurilor x, y și rectangulare, precum și ipoteza z cu dimensiunile laterale întregi. Aceste numere sunt numite numere Pythagorean. Toate tripletele relative la variabilele simple indicate mai sus sunt date de formulele x = m² - n², y = 2mn, z = m² + n², unde m și n sunt numere întregi și prime (m> n> 0).

Diophantus în "aritmetica" lui caută soluții raționale (nu neapărat integrale) ale unor tipuri speciale de inegalități. Teoria generală de rezolvare a ecuațiilor diofantine de gradul I a fost dezvoltată de K. G. Bashet în secolul al XVII-lea. Alți oameni de știință de la începutul secolului al XIX-lea au studiat în principal inegalitățile similare ale toporului tip² +bxy + cy² + dx + ey + f = 0, unde a, b, c, d, e și f sunt generale, neomogene, cu două necunoscute de gradul doi. Lagrange a folosit fracții continue în studiul său. Gauss pentru formele patrate a dezvoltat o teorie generală care stă la baza soluției anumitor tipuri.

În studiile privind aceste inegalități de gradul doi, progrese semnificative au fost obținute abia în secolul al XX-lea. În A. Thue sa stabilit că ecuația Diophantine a₀xⁿ + o₁x^n-1y + hellip- + a_nyⁿ= c, unde nge-3, a₀,hellip-, a_n,c sunt numere întregi și a₀Tⁿ + ^hellip- +o_n nu poate avea un număr infinit de soluții întregi. Cu toate acestea, metoda Thue nu a fost dezvoltată corespunzător. A. Baker a creat teoreme eficace care oferă estimări privind îndeplinirea anumitor ecuații de acest fel. B. N. Delaunay a propus o altă metodă de investigare, aplicabilă unei clase mai înguste a acestor inegalități. În special, forma topor³ + y³ = 1 este complet rezolvată în acest fel.

Ecuații ecofantine: metode de soluționare

Teoria lui Diophantus are multe direcții. Astfel, o problemă bine cunoscută în acest sistem este ipoteza că nu există o soluție netrivială a ecuațiilor diofantine xⁿ + yⁿ = zⁿ dacă n 3 (întrebarea lui Fermat). Studiul inegalităților întregi este o generalizare naturală a problemei tripletelor pitagoreene. Euler a obținut o soluție pozitivă la fermă problemă pentru n = 4. Având în vedere acest rezultat, se referă la dovada absenței ecuației integrale, nenulă de cercetare, în cazul în care n - este un număr prim impar.

Studiul privind decizia nu a fost finalizat. Dificultățile cu implementarea sa se datorează faptului că simpla factorizare în ringul de întregi algebrici nu este unică. Teoria divizoarelor în acest sistem pentru multe clase de exponenți prime ne permite să confirmăm valabilitatea teoremei lui Fermat. Astfel, metodele și metodele existente satisfac o ecuație liniară Diophantine cu două necunoscute.

Tipurile și tipurile de sarcini descrise

Aritmetica inelelor cu numere întregi algebrice este folosită și în multe alte probleme și soluții ale ecuațiilor Diophantine. De exemplu, astfel de metode s-au aplicat atunci când inegalitățile formei N (a₁ x₁ +hellip + a_nx_n) = m, unde N (a) este norma lui a, și x₁, hellip-, x_n se găsesc variabile raționale integrale. Această clasă include ecuația Pell x^2-dy²= 1.

Valorile a_{1 hellip-,} o_n care apar, aceste ecuații sunt împărțite în două tipuri. Primul tip - așa-numitele formulare complete - include ecuații în care printre a sunt m numere lineare independente peste câmpul variabilelor raționale Q, unde m = [Q (a₁,hellip-, a_n): Q], în care există un grad de exponenți algebrici Q (a1, hellip-, a_n) peste Q. Vizionările incomplete sunt cele în care numărul maxim de a_eu mai puțin de m.

Formularele complete sunt mai simple, cercetările sunt finalizate și pot fi descrise toate soluțiile. Cel de-al doilea tip - specia incompletă - este mult mai complicat, iar dezvoltarea unei astfel de teorii nu este încă completă. Aceste ecuații sunt studiate folosind aproximări Diofantine care includ inegalitatea F (x, y) = C, unde F (x, y) - ESN gradul polinomului este ireductibilă 3 uniform. Astfel, putem presupune că y_eu→infin-. În consecință, dacă y_eu Este suficient de mare, inegalitatea ar fi teorema contrară Thue, Siegel și Roth, din care rezultă că F (x, y) = C, unde F- formează al treilea grad mai mare sau ireductibilă pot avea un număr infinit de soluții.

Cum de a rezolva ecuația Diophantine?

Acest exemplu este o clasă destul de restrânsă. De exemplu, în ciuda simplității lor, x³ + y³ + z³ = N, și, de asemenea, x² +y ² +z² +u² = N nu sunt incluse în această clasă. Studiul de soluții este destul de bine studiat ramura de ecuații Diofantine, în cazul în care aceasta se bazează pe reprezentarea numerelor de forme pătratice. Lagrange a creat teoria, care prevede că punerea în aplicare a existente pentru toate N. naturale Orice număr natural poate fi reprezentat ca suma de trei patrate (teorema lui Gauss), dar nu ar trebui să ia forma de 4^o(8K-1), unde a și k sunt exponenți întregi negativi.

Soluții raționale sau integrale ale unui sistem de ecuație diofantină de tip F (x₁, hellip-, x_n) = a, unde F (x₁, hellip-, x_n) este o formă patratică cu coeficienți întregi. Astfel, conform teoremei lui Minkowski-Hasse, inegalitatea sumă a_ijx_eux_j = b unde a_ij și b este rațională, are o soluție integrală în numere reale și p-adice pentru fiecare prim p numai dacă este rezolvabilă în această structură.

Datorită dificultăților inerente, studiul numărului cu forme arbitrare de gradul III și mai mare a fost studiat într-o măsură mai mică. Metoda principală de execuție este metoda sumelor trigonometrice. În acest caz, numărul de soluții ale ecuației este scris explicit în termeni de integrate Fourier. Apoi, metoda de mediu este folosită pentru a exprima cantitatea de împlinire a inegalității congruențelor corespunzătoare. Metoda sumei trigonometrice depinde de singularitățile algebrice ale inegalităților. Există un număr mare de metode elementare pentru rezolvarea ecuațiilor liniare Diophantine.

Analiza diophantină

Ramura matematicii, al cărei obiect este investigarea soluțiilor integrale și raționale ale sistemelor de ecuații de algebră prin metode de geometrie, din aceeași sferă. În a doua jumătate a secolului al XIX-lea, apariția teoriei numerelor a dus la studiul ecuațiilor Diophant unui câmp arbitrar cu coeficienți și soluții au fost luate în considerare, fie în ea sau în inelele sale. Sistemul de funcții algebrice dezvoltat în paralel cu numerele. Asemănarea principală între cele două, care a fost subliniat și D. Hilbert, în special, L. Kronecker a condus la construcția uniformă a diferitelor concepte aritmetice, care sunt numite în mod obișnuit la nivel mondial.

Acest lucru este deosebit de evident dacă funcțiile algebrice studiate pe un câmp finit de constante sunt o variabilă. Concepte cum ar fi teoria câmpului de clasă, un divizor, precum și ramificarea și rezultatele sunt o bună ilustrare a celor de mai sus. Acest punct de vedere a fost adoptată în sistemul inegalităților Diofantine mai târziu, și studiul sistematic nu numai numeric, ci și cu coeficienți care sunt funcții au început abia în anii 1950. Unul dintre factorii decisivi în această abordare a fost dezvoltarea geometriei algebrice. Studiul simultană a câmpurilor de numere și funcții care apar ca două aspecte la fel de importante ale aceluiași subiect, nu numai că a dat un rezultat grațios și convingătoare, dar a condus la îmbogățirea reciprocă a celor două teme.

În geometria algebrică a colectorului se înlocuiește cu noțiunea de set non-invariant al inegalităților într-un domeniu dat K, iar soluțiile lor sunt înlocuite cu puncte raționale cu valori în K sau să se termine expansiunea. Poate fi în consecință a spus că problema fundamentală Diophantine geometria este de a explora punctele raționale algebrică set X (K), X, în care - un anumit domeniu număr K. Execuția întreg are semnificația geometrică a unei ecuații liniare Diofantine.

Studii de inegalitate și opțiuni de implementare

În studiul punctelor raționale (sau integrale) asupra soiurilor algebrice, apare prima problemă, constând în existența lor. A zecea problemă Hilbert este formulată ca fiind problema găsirii unei metode generale pentru rezolvarea acestei probleme. În procesul de creare a algoritmului de determinare precisă, și după ce sa dovedit că un astfel de număr mare de execuții pentru sarcinile nu există, problema evidentă are un rezultat negativ, iar cea mai interesantă problema este definiția claselor ecuații Diofantine pentru care există un sistem specificat mai sus. Abordarea cea mai naturală, dintr-un punct de vedere algebric, este așa-numitul principiu al Hasse: K câmp inițial este studiat, împreună cu completările lui K_v pe toate estimările posibile. Deoarece X (K) = X (K_v) sunt o condiție necesară pentru existență, iar punctul K ia în considerare faptul că setul X (K_v) nu sunt goale pentru toate v.

Importanța este că reduce două probleme. Al doilea este mult mai simplu, este rezolvat printr-un algoritm bine-cunoscut. În cazul particular când X este proiectiv, lema Hensel și generalizări sale permit reduceri suplimentare: problema poate fi redus la studiul punctelor raționale peste un câmp finit. Apoi decide să construiască un concept fie printr-un studiu secvențial, fie prin metode mai eficiente.

Ultimul aspect important este că seturile X (K_v) nu sunt goale pentru toate v, cu excepția unui număr finit, astfel încât numărul de condiții să fie întotdeauna finit și pot fi verificate în mod eficient. Cu toate acestea, principiul Hasse nu se aplică forțelor curbe. De exemplu, 3x³ +4y³= 5 are puncte în toate câmpurile numărului p-adic și în sistem numere reale, dar nu are puncte raționale.

Această metodă a servit drept punct de plecare pentru construirea unui concept care descrie clasele de spații omogene principale ale soiurilor abeliane pentru a efectua o "abatere" de la principiul Hasse. Este descrisă în termenii unei structuri speciale care poate fi asociată cu fiecare varietate (grupul Tate-Safarevic). Principala dificultate a teoriei este că metodele de calcul al grupurilor sunt dificil de obținut. Acest concept a fost extins și la alte clase de soiuri algebrice.

Căutați un algoritm pentru îndeplinirea inegalităților

O altă idee euristică utilizată în studiul ecuațiilor Diophantine este că, dacă numărul variabilelor care participă la setul de inegalități este mare, atunci sistemul are de obicei o soluție. Cu toate acestea, este foarte dificil să se dovedească pentru un caz special. O abordare generală a problemelor de acest tip utilizează teoria analitică a numerelor și se bazează pe estimările sumelor trigonometrice. Această metodă a fost inițial aplicată tipurilor speciale de ecuații.

Cu toate acestea, a fost ulterior demonstrată cu ea, în cazul în care gradul de formă ciudată - este F, și d în n variabile și cu coeficienți raționali, n este suficient de mare în comparație cu d, deci, are un punct rațional hipersuprafață proiectiv F = 0. Conform ipotezei Artin, acest rezultat este corect, chiar dacă n> d². Acest lucru este dovedit doar pentru formele patrate. Probleme similare pot fi solicitate și în alte domenii. Problema centrală a geometriei Diophantine este structura setului de întregi sau puncte raționale și să le studieze, și prima întrebare pe care ar trebui să fie clarificat este dacă acest set este finit. În această sarcină, situația are de obicei un număr finit de execuții, în cazul în care gradul de sistem este mult mai mare decât numărul de variabile. Aceasta este ipoteza de bază.

Inegalități pe linii și curbe

Grupul X (K) poate fi reprezentat ca suma directă a unei structuri libere de rang r și a unui grup finit de ordin n. Din 1930, am studiat problema dacă acestea sunt limitate la numărul de mulțimea tuturor curbelor eliptice într-un anumit domeniu K. Limitele de torsiune n a fost demonstrată în anii șaptezeci. Există curbe de rang arbitrar în cazul funcțional. În cazul numeric, nu există încă nici un răspuns la această întrebare.

În cele din urmă, presupunerea lui Mordell afirmă că numărul de puncte integrale este finit pentru o curbă a genului g> 1. În cazul funcțional, acest concept a fost demonstrat de Yu I. Manin în 1963. Instrumentul principal utilizat în demonstrarea teoremelor de finite în geometria diofantină este înălțimea. Din soiurile algebrice cu dimensiuni mai mari decât una, soiurile abelian, care sunt analogi multidimensionali ai curbelor eliptice, au fost studiate cel mai bine.

Weil generalizată teorema asupra numărului finit de generatoare de puncte raționale asupra varietăților abeliene de orice dimensiune (conceptul Mordell-Weil), extinderea acesteia. În anii 1960, a apărut ipoteza lui Birch și a lui Swinnerton-Dyer, care au îmbunătățit acest grup și funcțiile zeta ale colecției. Dovezile numerice sprijină această ipoteză.

Problema de solvabilitate

Problema de a găsi un algoritm prin intermediul căruia este posibil să se determine dacă orice ecuație Diophantine are o metodă de soluție. O trăsătură esențială a problemei ridicate este căutarea unei metode universale care să fie potrivită pentru orice inegalitate. O astfel de metodă ar permite, de asemenea, pentru a rezolva sistemul de mai sus, deoarece este echivalent cu P21 + ⋯ + P2K = 0.p1 = 0, ..., PK = 0n = 0, ... nk este 0 sau p21 + ⋯ + P2K = 0. n12 + ⋯ + nK2 = 0. Problema găsirii unei astfel de metode universale de găsire a soluțiilor pentru inegalitățile liniare în întregi a fost pusă de D. Hilbert.

La începutul anilor 1950, au existat primele studii menite să demonstreze inexistența unui algoritm de rezolvare a ecuațiilor diofantine. În acest moment, a apărut ipoteza lui Davis, în care se spunea că orice set enumerabil aparține, de asemenea, cercetătorului grec. Deoarece sunt cunoscute exemple de seturi algoritm nesolvabile, dar sunt enumerabile recursiv. Rezultă că presupunerea lui Davis este adevărată și problema solvabilității acestor ecuații are o împlinire negativă.

După aceea, pentru presupunerea lui Davis, rămâne să se dovedească că există o metodă de transformare a unei inegalități care, de asemenea, (sau nu avea) în același timp o soluție. Sa demonstrat că o astfel de schimbare a ecuației Diophantine este posibilă dacă este cu cele două proprietăți indicate: 1) în orice soluție de acest tip vle-uu - 2) pentru orice k Există o implementare în care este prezentă o creștere exponențială.

Un exemplu de ecuație liniară diophantină din această clasă completează dovada. Problema existenței unui algoritm pentru solvabilitate și recunoașterea în numere raționale a acestor inegalități este încă o problemă importantă și deschisă, care nu a fost studiată suficient.