Diagonala unui trapez echilateral. Care este linia medie a trapezoidelor. Tipuri de trapez. Trapeza este ..

Trapezoidul este un caz special al unui patrulater, în care o pereche de laturi este paralelă. Termenul "trapezoid" provine din cuvântul grecesc tau-rho-αpi-epsilon-zeta-alfa, adică "tabel", "tabel". În acest articol vom lua în considerare tipurile de trapez și proprietățile sale. În plus, vom afla cum să calculam elementele individuale ale acestui lucru figură geometrică. De exemplu, diagonala unui trapez echilateral, linia de mijloc, zona etc. Materialul este descris în stilul geometriei populare elementare, adică într-o formă ușor accesibilă.

Informații generale

Mai întâi, să vedem ce este un patrulater. Această cifră este un caz special al unui poligon care conține patru laturi și patru vârfuri. Două vârfuri ale unui quadrangle care nu sunt adiacente sunt numite noduri opuse. Același lucru se poate spune și despre cele două părți neconsolidate. Principalele tipuri de patrulaterale sunt o paralelogramă, un dreptunghi, un romb, un pătrat, un trapez și un deloid.

Deci, înapoi la trapez. După cum am mai spus, această cifră are două laturi paralele. Ele sunt numite baze. Celelalte două (non-paralele) sunt laturile. În materialele examenelor și al diferitelor documente de control este foarte des posibil să se îndeplinească sarcinile asociate trapezoidelor, a căror soluționare necesită de multe ori ca elevul să aibă cunoștințe care nu sunt furnizate de program. Cursul de școală al geometriei introduce studenților proprietățile unghiurilor și diagonalelor, precum și linia de mijloc a unui trapez izoscel. Dar, la urma urmei, în afară de aceasta, figura geometrică menționată are și alte caracteristici. Dar despre ei mai târziu ...

Tipuri de trapezoidale

Există multe tipuri din această cifră. Cu toate acestea, două dintre ele sunt de obicei considerate ca fiind izocelule și dreptunghiulare.

1. Un trapez dreptunghiular este o figură în care una dintre laturi este perpendiculară pe baze. Are două unghiuri, egale cu nouăzeci de grade.

2. Un trapez isoscel este o figură geometrică, în care laturile sunt egale. Deci, unghiurile de la baza sunt de asemenea egale in perechi.

Principiile principale ale tehnicii de studiere a proprietăților trapezului

Principiul principal este utilizarea așa-numitei abordări problematice. De fapt, nu este nevoie să se introducă noi proprietăți ale acestei figuri în cursul geometriei teoretice. Acestea pot fi deschise și formulate în procesul de rezolvare a diferitelor probleme (cele mai bune ale sistemului). În același timp, este foarte important ca profesorul să știe ce sarcini ar trebui să fie puse în fața elevilor la un moment sau alt moment al procesului educațional. În plus, fiecare proprietate trapezică poate fi reprezentată ca o sarcină cheie în sistemul de sarcini.

Al doilea principiu este așa-numita organizație spirală de studiere a proprietăților trapezului "remarcabile". Aceasta implică o revenire în procesul de învățare a caracteristicilor individuale ale unei figuri geometrice date. Astfel, studenții sunt mai ușor de reținut. De exemplu, proprietatea a patru puncte. Se poate dovedi atât în ​​studiul similitudinii, cât și mai târziu cu ajutorul vectorilor. Un triunghi Egale adiacente laturile figurii, este posibil să se dovedească prin utilizarea nu numai proprietățile de triunghiuri cu inaltimi egale realizate pe laturile din care se află pe o linie dreaptă, dar, de asemenea, prin utilizarea formulei S = 1/2 (ab * sinalpha-). În plus, este posibil să lucrăm teorema sine pe trapezoidul inscripționat sau pe un triunghi drept pe trapezoidul descris și așa mai departe.

Aplicarea caracteristicilor "extra-program" ale figurii geometrice în conținutul cursului școlar este o tehnologie orientată pe sarcini pentru predarea lor. Apelul constant la proprietățile studiate în timpul trecerii altor subiecte permite elevilor să înțeleagă mai bine trapezoidul și să asigure succesul soluționării sarcinilor. Deci, să începem să studiem această figură remarcabilă.

Elemente și proprietăți ale unui trapez izoscel

După cum am arătat deja, în această figură geometrică laturile sunt egale. Ea este, de asemenea, cunoscută ca trapezoidul drept. Și de ce este atât de remarcabilă și de ce a obținut un astfel de nume? Particularitățile acestei figuri sunt că, nu numai laturile și colțurile bazelor sunt egale, ci și diagonalele. În plus, suma unghiurilor unui trapez izoscel este de 360 ​​de grade. Dar asta nu e tot! Dintre toate trapezoizii cunoscuți, numai în jurul unui izoscele se poate descrie un cerc. Acest lucru se datorează faptului că suma unghiurilor opuse din această cifră este de 180 de grade, dar numai în astfel de condiții este posibil să se descrie un cerc în jurul unui patrulater. Următoarea proprietate a figurii geometrice în cauză este că distanța de la vârful bazei la proiecția vârfului opus la linia care conține această bază va fi egală cu linia mediană.

Și acum să vedem cum să găsim colțurile unui trapez izoscel. Luați în considerare soluția acestei probleme, cu condiția să fie cunoscute dimensiunile laturilor figurinei.

Soluția

De obicei, un patrulater este de obicei marcat cu literele A, B, C, D, unde BS și AD sunt bazele. În trapezul isoscel, laturile sunt egale. Vom presupune că dimensiunea lor este egală cu X, iar dimensiunile bazelor sunt egale cu Y și Z (mai mici și, respectiv, mai mari). Pentru calcularea unghiului de necesitatea de a cheltui în înălțimea H. Rezultatul este un triunghi dreptunghic ABN unde AB - ipotenuzei, și BN și AN - picioarele. Se calculează mărimea unui picior: scade de la baza mai mare minim, iar rezultatul este împărțit la 2. scrie formula: (Z-Y) / 2 = F. Acum, pentru a calcula unghiul ascuțit al utilizării triunghi cos funcții. Obținem următoarea intrare: cos (beta-) = X / F. Acum calculați unghiul: beta-arcos (X / F). Mai mult, știind un colț, putem defini al doilea, pentru aceasta vom produce o acțiune aritmetică elementară: 180 - beta-. Toate unghiurile sunt definite.

Există, de asemenea, oa doua soluție la această problemă. La inceput, coboram inaltimea H din unghiul B. Calculam valoarea catodului BN. Știm că pătratul ipotentului unui triunghi drept este egal cu suma pătratelor picioarelor. Obținem: BN = radic- (X2-F2). Apoi folosim funcția trigonometrică tg. Ca urmare, avem: beta- = arctg (BN / F). Se constată un unghi ascuțit. Apoi, definim un unghi obtuz similar cu prima metodă.

Proprietatea diagonalelor unui trapez izoscel

În primul rând, scriem patru reguli. Dacă diagonalele dintr-un trapez isoscel sunt perpendiculare, atunci:

- Înălțimea figurii va fi egală cu suma bazelor împărțită la două;

- înălțimea și linia mijlocie sunt egale;

- zona trapezului va fi egal cu pătratul înălțimii (linia de mijloc, jumătate din suma bazelor);

- pătratul diagonalei este egal cu jumătate din pătratul sumelor bazelor sau pătratului dublu al liniei medii (înălțime).

Acum ia în considerare formulele care determină diagonala unui trapez echilateral. Acest bloc de informații poate fi împărțit în patru părți:

1. Formula pentru lungimea diagonalei pe laturile sale.

Să presupunem că A este baza inferioară, B este partea superioară, C este o latură egală, iar D este diagonala. În acest caz, lungimea poate fi determinată după cum urmează:

D = radic- (C2 + A * B).

2. Formula pentru lungimea diagonalei de către teorema cosinusului.

Să presupunem că A este fundul de bază, B este partea de sus, C este laturile egale, D este diagonala, alfa- (la baza inferioară) și beta (aproape de baza superioară) - colțurile trapezoidale. Obținem următoarele formule, cu ajutorul cărora putem calcula lungimea diagonalei:

- D = radic- (A2 + C2-2A * C * cosalpha-);

- D = radic- (A2 + C2-2A * C * cosbeta-);

- D = radic- (B2 + C2-2B * C * cosbeta-);

- D = radic- (B2 + C2-2B * C * cosalpha-).

3. Formula pentru lungimea diagonalelor unui trapez isoscel.

Să presupunem că A este baza de jos, B este partea de sus, D este diagonala, M este linia mediană, H este înălțimea, P este zona trapezului, alfa- și beta - sunt unghiurile dintre diagonale. Determinați lungimea următoarelor formule:

- D = radic- (M2 + H2);

- D = radic- (H2 + (A + B) 2/4);

- D = radic- (H (A + B) / sinalpha-) = radic- (2P / sinalpha-) = radic- (2M * H / sinalpha-).

Pentru acest caz, egalitatea sinalpha- sinbeta-.

4. Formule de lungime în diagonală prin laturi și înălțime.

Să presupunem că A este baza de bază, B este partea de sus, C este partea, D este diagonala, H este înălțimea, alfa - este unghiul de la baza inferioară.

Determinați lungimea următoarelor formule:

- D = radic- (H2 + (A-P * ctgalpha-) 2);

- D = radic- (H2 + (B + P * ctgalpha-) 2);

- D = radic- (A2 + C2-2A * radic- (C2-H2)).

Elemente și proprietăți ale unui trapez dreptunghiular

Să ne uităm la ceea ce este interesant despre această figură geometrică. Așa cum am spus deja, un trapez dreptunghiular are două unghiuri drepte.

Pe lângă definiția clasică, există și altele. De exemplu, un trapez dreptunghiular este un trapez în care o parte este perpendiculară pe baze. Sau o figură cu unghiuri drepte în lateral. În acest tip de trapez, înălțimea este egală cu partea laterală, care este perpendiculară pe baze. Linia de mijloc este segmentul care conectează mijlocul celor două laturi. Proprietatea elementului menționat este că este paralelă cu bazele și este egală cu jumătate din suma lor.

Acum, să ne uităm la formulele de bază care definesc această figură geometrică. În acest scop, presupunem că A și B sunt baze-C (perpendiculare la baze) și laturi D ale trapezoidului dreptunghiular, M este linia de mijloc, alfa - este unghiul ascuțit, iar Π este zona.

1. Latura, perpendiculară pe bază, este egală cu înălțimea figurinei (C = H) și este egală cu produsul lungimii celei de-a doua părți D și sinusului unghiului alfa - pentru o bază mai mare (C = D * sinalpha-). În plus, este egal cu produsul tangentei unghiului ascuțit diferența de alfa și de bază: C = (A-B) * tgalpha-.

2. partea D (nu perpendicular pe bază) egală cu raportul dintre diferența dintre A și B și cosinusul (alfa-) un unghi ascuțit formă sau înălțimea H și unghiul privat sinusoidale acut: A = (A-B) / cos alfa- = C / sinalpha-.

3. Latura perpendiculară pe bază este egală cu rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratul D - a doua parte și pătratul diferenței dintre baze:

C = radic- (A2- (AB) 2).

4. Partea D a unui trapez dreptunghiular este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratului laturii C și a pătratului diferenței dintre bazele figurii geometrice: A = radic- (C2 + (AB) 2).

5. Partea C este egală cu coeficientul împărțirii suprafeței duble cu suma bazelor sale: C = П / М = 2П / (А + Б).

6. Zona definită de M produsul (linia mediană a trapezului dreptunghiulare) în înălțime sau direcție laterală perpendiculară bazelor: P = M * N = M * C.

7. Poziția C este coeficientul de două ori forma patrata de produs unghi ascuțit sinus și suma bazelor sale: C = P / M * sinalpha- = 2P / ((A + B) * sinalpha-).

8. Formulele laturii laterale a unui trapez dreptunghiular prin diagonalele sale și unghiul dintre ele:

- sinalpha- = sinbeta-;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinalpha- = (D1 * D2 / (A + B)

unde D1 și D2 sunt diagonalele trapezului- alfa- și beta - unghiurile dintre ele.

9. Formule ale laturii laterale prin unghiul de la baza inferioară și alte părți: D = (A-B) / cosalpha- = C / sinalpha- = H / sinalpha-.

Deoarece trapezul cu un unghi drept este un caz particular al unui trapez, formulele rămase care definesc aceste cifre vor corespunde de asemenea unui dreptunghiular.

Caracteristicile cercului inscripționat

Dacă condiția spune că un cerc este înscris într-un trapez dreptunghiular, atunci pot fi utilizate următoarele proprietăți:

- suma bazelor este egală cu suma laturilor laterale;

- Distanța de la vârful unei figuri dreptunghiulare la punctele de tangență a cercului inscripționat este întotdeauna egală;

- Înălțimea trapezoidului este egală cu latura laterală, perpendiculară pe baze și este egală cu diametrul unui cerc;

- Centrul cercului este punctul în care bisectori de unghiuri;

- dacă partea laterală este divizată de punctul de tangență în segmentele H și M, atunci raza unui cerc este egală cu rădăcina pătrată a produsului acestor segmente;

- quadrangle, care a fost format de punctele de tangență, vârful trapezoidului și centrul cercului inscripționat este un pătrat a cărui latură este egală cu raza;

- aria figurinei este egală cu produsul bazelor și produsul jumătății sumelor bazelor prin înălțimea lor.

Trapezuri similare

Acest subiect este foarte convenabil pentru a studia proprietățile acestui lucru figură geometrică. De exemplu, diagonalele împart trapezoidul în patru triunghiuri, adiacente bazelor fiind similare, iar laturile - egale. Această afirmație poate fi numită proprietatea triunghiurilor, la care trapezul este împărțit prin diagonalele sale. Prima parte a acestei afirmații este dovedită prin criteriul de similitudine în două unghiuri. Pentru a demonstra a doua parte, este mai bine să utilizați metoda de mai jos.

Dovada teoremei

Presupunem că modelul ABSD (AD și BS - baza trapezului) este rupt de diagonalele VD și AC. Punctul de intersecție este O. Obținem patru triunghiuri: AOS - la bază inferioară, BOS - la baza superioară, ABO și SOD la laturile laterale. Triunghiurile SOD și BFD au o înălțime comună în cazul în care segmentele B și D sunt bazele lor. Se observă că diferența dintre zonele lor (II) este egală cu diferența dintre aceste segmente: NFS / LFD = B0 / OD = K. În consecință, LDPE = NSP / K. În mod similar, triunghiurile BF și AOB au o înălțime comună. Luăm segmentele CO și OA pentru bazele lor. Obținem PBO / PAOB = CO / OA = K și PAOB = PBO / K. Din aceasta rezultă că PSCM = PAOB.

Pentru a fixa materialul, elevii sunt încurajați să găsească o legătură între zonele triunghiurilor obținute, la care trapezul este divizat de diagonalele acestuia, rezolvând următoarea problemă. Se știe că în triunghiurile BF și ADN zonele sunt egale, este necesar să se găsească zona trapezului. Deoarece LDPE = PAOB, înseamnă că PABSD = PBO + PAOJD + 2 * LOAD. Din similitudinea triunghiurilor BOS și ANOD rezultă că B0 / D3 = radic- (PBO / PAOD). Prin urmare, BSP / DPPM = BO / OD = radic- (PBO / PAOD). Avem PSOD = radic- (PBO * PAOD). Apoi, PABSD = PBO + PAOAD + 2 * radic- (PAO * PAOD) = (radic-PBO + radic-PAOE) 2.

Proprietăți de asemănare

Continuând să dezvolte acest subiect, este posibil să se demonstreze și alte caracteristici trapezoidale interesante. Astfel, cu ajutorul similitudinii, este posibil să se demonstreze proprietatea unui segment care trece printr-un punct format de intersecția diagonalelor acestei figuri geometrice, paralel cu bazele. Pentru aceasta vom rezolva următoarea problemă: este necesar să se găsească segmentul RK lungime care trece prin punctul O. Din asemănarea triunghiurilor ADP și că urmează SPU AO / OS = AD / BS. Din similitudinea triunghiurilor AOP și ASB rezultă că AO / AC = PO / BS = AD / (BS + AD). Din aceasta se obtine ca PO = BC * AD / (BS + AD). În mod similar, din similitudinea triunghiurilor MLC și DBS rezultă că OK = BS * AD / (BS + AD). Din aceasta rezultă că PO = OK și PK = 2 * BS * AD / (BS + AD). Segmentul care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor, paralel cu bazele și care leagă cele două laturi laterale, este împărțit prin punctul de intersecție la jumătate. Lungimea sa este baza armonică medie a figurii.

Luați în considerare următoarea calitate trapezoidală, care se numește proprietatea a patru puncte. Punctele de intersecție a diagonalelor (D), intersecțiile extinderii laturilor laterale (E) și, de asemenea, mijlocul bazelor (T și M) se află întotdeauna pe o linie. Acest lucru este dovedit cu ușurință de metoda de similaritate. Triunghiurile BEC și AED obținute sunt similare, iar în fiecare dintre ele mediile ET și EF împart unghiul la vârful E în părți egale. În consecință, punctele E, T și M se află pe o linie. În același mod, punctele T, 0 și M sunt situate pe o linie dreaptă. Toate acestea rezultă din asemănarea triunghiurilor BOS și AOD. Prin urmare, concluzionăm că toate cele patru puncte - E, T, O și F - se vor afla pe o linie dreaptă.

Utilizând trapezoidele similare, este posibil să sugerăm studenților să găsească lungimea segmentului (LF), care rupe cifra în două asemenea. Acest segment ar trebui să fie paralel cu bazele. Deoarece trapezoidele obținute de ALFD și LBSF sunt similare, atunci BS / LF = LF / AD. De aici rezultă că ΛΦ = radic- (BS * AD). Se observă faptul că segmentul care divide trapezoidul în două forme similare are o lungime egală cu lungimea geometrică medie a bazelor figurii.

Luați în considerare următoarea proprietate similară. Ea se bazează pe segmentul care împarte trapezul în două bucăți de dimensiuni egale. Acceptați faptul că segmentul de trapez ABSD este împărțit în două EH similare. Din partea de sus B a redus înălțimea segmentului este împărțit în două părți RO - B1 și B2. Obține PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. compune în continuare sistemul, în care prima ecuație (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 și al doilea (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Rezultă că B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) și BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Considerăm că lungimea împărțirea trapez pe două egale, egale cu lungimile medii ale bazelor pătratice: radic - ((BS2 + AD2) / 2).

Concluzii similare

Astfel, am dovedit că:

1. Segmentul care leagă mijlocul trapezului pe laturile laterale, paralele cu BP și BS și BS este media aritmetică și (lungimea de bază a unui trapez) BP.

2. Bara care trece prin punctul O de intersecție a diagonalelor AD paralel și BC va fi egal cu numărul mediu armonice BP și BS (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. Segmentul care divide trapezoidul în altele similare are lungimea bazei geometrice medii a BS și AD.

4. Elementul care împarte figura în două părți egale are lungimea pătrunderii medii a numerelor AD și BS.

Pentru a consolida materialul și a realiza legătura dintre segmentele considerate, elevul trebuie să le construiască pentru un trapez specific. Poate afișa cu ușurință linia de mijloc și segmentul care trece prin punctul O - intersecția diagonalelor figurii - paralel cu bazele. Dar unde va fi a treia și a patra? Acest răspuns va determina cursantul să descopere relația dorită între valorile medii.

Segmentul care conectează punctele mediane ale diagonalelor trapezoidale

Luați în considerare următoarele proprietăți ale acestei figuri. Presupunem că segmentul MN este paralel cu bazele și împarte diagonalele în două. Punctele de intersecție se vor numi W și W. Acest segment va fi egal cu jumătatea diferenței dintre baze. Să analizăm acest lucru în detaliu. SM este linia de mijloc a triunghiului ABC, este egal cu BS / 2. MN este linia de mijloc a triunghiului ABD, este egal cu AD / 2. Apoi, obținem că Wm = MN-MN și în consecință W = A / 2-BC / 2 = (AD + BC) / 2.

Centrul de greutate

Să vedem cum este definit acest element pentru o anumită figură geometrică. Pentru aceasta, este necesară extinderea bazelor în direcții opuse. Ce înseamnă asta? Este necesar să adăugați fundul la baza superioară - spre ambele părți, de exemplu spre dreapta. Iar partea inferioară este extinsă de lungimea stânga-sus. Apoi conectați-le cu o diagonală. Punctul de intersecție al acestui segment cu linia mijlocie a figurii este centrul de greutate al trapezoidului.

Trapeziile inscripționate și descrise

Să enumerăm caracteristicile unor astfel de cifre:

1. Un trapez poate fi înscris într-un cerc numai dacă este izocel.

2. În jurul circumferinței se poate descrie un trapez, cu condiția ca suma lungimilor bazelor lor să fie egală cu suma lungimilor laturilor laterale.

Consecințele cercului inscripționat:

1. Înălțimea trapezului descrisă este întotdeauna egală cu două raze.

2. Partea laterală a trapezului descris este observată din centrul cercului într-un unghi drept.

Primul corolar este evident, iar pentru a dovedi a doua este necesar să se stabilească că unghiul SOD este direct, ceea ce, de fapt, nu se ridică la prea multe dificultăți. Dar cunoașterea acestei proprietăți ne va permite să aplicăm un triunghi dreptunghiular în rezolvarea problemelor.

Acum, să concretizăm aceste consecințe pentru un trapez izoscel, care este înscris într-un cerc. Se observă că înălțimea este media geometrică a bazei figurii: H = 2R = radic- (BS * AD). Elaborarea metodei fundamentale de rezolvare a problemelor pentru trapezoizi (principiul deținerii a două înălțimi), studentul trebuie să rezolve următoarea sarcină. Presupunem că BT este înălțimea unei cifre isosceles a ABSD. Este necesar să se găsească segmentele AT și TD. Aplicând formula descrisă mai sus, acest lucru nu va fi greu de făcut.

Acum, să ne dăm seama cum să determinăm raza unui cerc folosind zona trapezului descrisă. Coborâm din partea de sus B înălțimea până la baza tensiunii arteriale. Deoarece cercul este înscris în trapez, atunci BS + AD = 2AB sau AB = (BS + AD) / 2. Din triunghiul ABN găsim sinalpha- = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PBSD = (BS + AD) * BN / 2, BN = 2R. Obținem PABBR = (BS + AD) * R, rezultă că R = PABSD / (BS + AD).

.

Toate formulele liniei medii a trapezului

Acum este momentul să treceți la ultimul element al acestei figuri geometrice. Să vedem ce linia mijlocie a trapezoidului (M) este:

1. Prin baze: M = (A + B) / 2.

2. Prin înălțime, bază și unghiuri:

• M = A-H * (ctgalpha- + ctgbeta -) / 2;

• M = B + H * (ctgalpha- + ctgbeta -) / 2.

3. Înălțimea, diagonalele și unghiul dintre ele. De exemplu, D1 și D2 sunt trapezii- alfa-, beta - - unghiurile dintre ele:

M = D1 * D2 * sinalpha- / 2H = D1 * D2 * sinbeta- / 2H.

4. Prin zona și înălțimea: M = P / H.