Definiția și magnitudinea numărului Graham

La cuvântul "infinit", fiecare persoană are asociații proprii. Mulți își fac imaginația marea care trece dincolo de orizont, în timp ce alții au o imagine a cerului nesfârșitor înaintea ochilor lor. Infinitatea matematicii, care sunt obișnuiți să funcționeze cu numere, este destul de diferită într-un mod diferit. Ei au încercat de mai multe secole să găsească cea mai mare dintre cantitățile fizice necesare pentru măsurare. Unul dintre ele este numărul lui Graham. Câte zerouri în ea și pentru ceea ce este folosit, acest articol va spune.

Numărul infinit de mare

În matematică, așa-numita variabilă x_n, dacă pentru orice număr pozitiv preasignat M se poate specifica un număr natural N astfel încât pentru toate numerele n mai mari decât N, inegalitatea | x_n| | > M. Totuși, nici unul, de exemplu, întregul Z nu poate fi considerat infinit de mare, deoarece va fi întotdeauna mai mic decât (Z + 1).

Câteva cuvinte despre "giganți"

Cele mai mari numere care au un înțeles fizic, se consideră a fi:

• 10⁸⁰. Acest număr, numit în mod obișnuit quinquivigillillion, este luat pentru a desemna un număr aproximativ de cuarci și leptoni (particule minuscule) din univers.
• 1 Gugol. Un astfel de număr în sistemul zecimal al calculului este scris ca unitate cu 100 de zerouri. Conform unor modele matematice, de la Big Bang, înainte de explozie a unei găuri negre masive ar trebui să meargă de la 1 la 1.5 ani googol, după care universul nostru intră în ultima etapă a existenței sale, adică. E. Se poate presupune că acest număr este un fizic ceea ce înseamnă.
• 8,5 x 10¹⁸⁵. Constanta lui Planck este de 1.616199 x 10^-35 m, adică, în notația zecimală arată ca 0.00000000000000000000000000000616199 m. Într-un metru cub. există o lungime de aproximativ 1 googol Planck. Se estimează că în întregul nostru univers se poate încadra aproximativ 8,5 x 10¹⁸⁵ Planct lungimi.
• 2^{77 232 917} - 1. Acesta este cel mai mare dintre numerele prime cunoscute. În cazul în care înregistrarea sa binară are o formă destul de compactă, atunci pentru a fi afișată în formă zecimală, va fi nevoie de nu mai puțin de 13 milioane de caractere. Sa găsit în 2017, în cadrul proiectului, numerele Mersenne. Dacă entuziaștii continuă să lucreze în această direcție, atunci la nivelul actual de dezvoltare a tehnologiei informatice, în viitorul apropiat este puțin probabil să fie capabili să găsească numărul Mersenne un ordin de mărime mai mare de 2^{77 232 917} - 1, deși o astfel de persoană norocoasă va primi 150.000 $.
• Gugopleks. Aici luați doar 1 și adăugați după el zerouri în valoare de 1 googol. Puteți scrie acest număr ca 10 ^ 10 ^ 100. În forma zecimală este imposibil să se descrie, ca și în cazul în tot spațiul universului umple foi de hârtie, fiecare dintre acestea este 0 la dimensiunea „vordovsky“ font 10, iar în acest caz, au fost scrise s-ar fi obținut doar jumătate din toate 0 după 1 pentru numărul googolplex .
• 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 1.1. Acesta este numărul care indică numărul de ani prin care, conform Poorcare Universul nostru ca rezultat al oscilațiilor cuantice aleatoare se va întoarce într-o stare apropiată de azi.

Cum au apărut numerele Graham

În 1977, faimosul popularizator al științei Martin Gardner în revista Scientific American a publicat o notă privind dovada lui Graham despre una dintre problemele teoriei lui Ramsay. În el, el a numit limita stabilită de om de știință, cel mai mare număr folosit vreodată în raționamentul matematic serios.

Cine este Ronald Lewis Graham

Omul de știință, care are deja peste 80 de ani, sa născut în California. În 1962 a primit titlul de doctor în matematică în Universitatea din Berkeley. Timp de 37 de ani a lucrat în laboratorul lui Bell și mai târziu sa mutat la laboratoarele ATT. Omul de știință a colaborat activ cu unul dintre cei mai mari matematicieni ai secolului XX Palom Erdesh și este un laureat al multor premii prestigioase. În bibliografia științifică a lui Graham există mai mult de 320 de lucrări științifice.

La mijlocul anilor șaptezeci, omul de știință era interesat de problema asociată cu teoria lui Ramsey. Cu dovada ei, limita superioară a soluției a fost determinată, un număr foarte mare, numit ulterior după Ronald Graham.

Problema Hypercube

Pentru a înțelege esența numărului Graham, trebuie mai întâi să înțelegeți cum a fost primită.

Omul de știință și colegul său, Bruce Rothschild, au abordat următoarea problemă:

• Există un hypercube n-dimensional. Toate perechile vârfurilor sale sunt conectate astfel încât un grafic complet cu 2ⁿ noduri. Fiecare margine este colorată fie în albastru, fie în roșu. A fost necesar să se găsească ceea ce este cel mai mic număr de noduri trebuie să fie într-un hipercub că fiecare astfel de colorare conține un sistem complet o singură culoare sub-cutii cu 4 noduri situată în același plan.

Soluția

Graham și Rothschild au demonstrat că problema are o soluție Nrsquo- satisfăcând condiția 6 ⩽ Nrsquo- ⩽N unde N este un număr precis definit, foarte mare.

Limita inferioară pentru N a fost ulterior verificat de alți cercetători au demonstrat că N trebuie să fie mai mare sau egal cu 13. formă Astfel, expresia pentru cel mai mic număr de noduri ale hipercubului care îndeplinesc condițiile prezentate mai sus, obținut 13 ⩽ Nrsquo-⩽ N.

Notă de participare Knuth

Înainte de a da o definiție a numărului Graham, trebuie să vă familiarizați cu metoda reprezentării sale simbolice, deoarece nici o înregistrare zecimală, nici una binară nu este absolut potrivită pentru aceasta.

În momentul de față, pentru a reprezenta această valoare, este obișnuit să folosim notația săgeată a lui Knuth. Potrivit ei:

o^b= o "săgeată în sus" b.

Pentru operarea exponentierii multiple, a fost introdusă o înregistrare:

o "săgeată în sus" "săgeată în sus" b = a^b= "un turn constând dintr-o în cantitatea de bucăți b."

Și pentru pent, adică pentru desemnarea simbolică a re-elevării operatorului anterior, Knut a folosit 3 săgeți.

Folosind o astfel de opțiune pentru numărul Graham, avem secvențe "săgeți", imbricate unul în altul, în număr de 64 de piese.

scară

Numărul său cunoscut care excită imaginația și extinde limitele minții umane, aducându-l dincolo de univers, Graham si colegii sai l-au primit ca o limită superioară pentru numărul N în problemele hipercub dovada prezentate mai sus. Să-ți imaginezi cât de mare este amploarea unei persoane obișnuite este extrem de dificilă.

Întrebarea cu privire la numărul de semne, sau uneori greșit spus, de zero în numărul Graham, este de interes pentru aproape toți cei care auzit prima oară de această magnitudine.

Este suficient să spunem că avem de-a face cu o secvență în creștere rapidă, formată din 64 de membri. Chiar și primul său termen nu poate fi imaginat, deoarece constă din n "turnuri" constând din 3-k. Deja sa "parter" de 3 camere triple este de 7 625 597 484 987, t. E. Mai mult de 7 miliarde de euro, pentru a fi sigur de podea 64th (non-membri!). Astfel, pentru a spune exact ceea ce este numărul de Graham, în acest moment este imposibil, deoarece pentru calcul nu este suficientă capacitate combinată de toate computerele care există în lumea de astăzi.

Este ruptura înregistrată?

În procesul de dovedire a teoriei lui Kruskal, numărul lui Graham a fost "abandonat de pe piedestal". Cercetătorul a propus următoarea sarcină:

• Există o secvență infinită de copaci finiți. Kraskal a dovedit că există întotdeauna o secțiune a unui grafic, care este atât o parte a graficului mai mare, cât și copia exactă. Această afirmație nu ridică nici o îndoială, deoarece este evident că în infinit există întotdeauna o combinație precisă care se repetă.

Mai târziu, Harvey Friedman a restrâns această problemă într-o oarecare măsură, având în vedere numai acele grafice aciclice (arbori) care pentru un anumit dintre ei cu coeficientul i sunt cel mult (i + k) vârfuri. El a hotărât să afle ce ar trebui să fie numărul de grafice aciclice, astfel că, prin această metodă a sarcinii lor, s-ar putea găsi întotdeauna un astfel de substrat care să fie încorporat într-un alt copac.

Ca urmare a cercetării pe această temă, sa constatat că N, în funcție de k, crește într-o rată enormă. În special, în cazul în care k = 1, atunci N = 3. Cu toate acestea, atunci când k = 2, N a ajuns deja 11. Cel mai interesant începe atunci când k = 3. În acest caz, N este rapid „zboara“ si ajunge la o valoare care depășește cu mult numărul de Graham. Pentru a ne imagina cât de mare este, este suficient să notăm numărul calculat de Ronald Graham ca G64 (3). Apoi, valoarea Friedman-testul Kruskal (aproximativ. FinKraskal (3)), va fi de ordinul G (G (187 196)). Cu alte cuvinte, o magnitudine-mega-magnitudine care obține infinit mai mult decât un număr incredibil de mare de Graham. În același timp, chiar este un număr uriaș de ori mai mic decât infinitul. Despre acest concept este logic să vorbim în detaliu.

infinit

Acum că am explicat ce este numărul Graham pe degete, trebuie să înțelegeți sensul care a fost investit și pus în acest concept filosofic. La urma urmei, "infinitul" și "numărul infinit de mare" într-un anumit context pot fi considerate identice.

Cea mai mare contribuție la studierea acestei întrebări a fost făcută de Aristotel. Marele gânditor al antichității a împărțit infinitatea într-un potențial și real. Sub acesta din urmă el a însemnat realitatea existenței unor lucruri infinite.

Potrivit lui Aristotel, surse de idei despre acest concept fundamental sunt:

• timp;
• separarea cantităților;
• conceptul graniței și existența a ceva dincolo de limitele ei;
• inexhaustibilitatea naturii creative;
• gândire, care nu are limite.

În interpretarea modernă pentru infinit, nu există o măsură cantitativă, astfel căutarea celui mai mare număr poate fi continuată pentru totdeauna.

concluzie

Este posibil să se ia în considerare metafora "Uită-te în infinit" și numărul lui Graham într-un sens sinonim? Mai degrabă și da și nu. Ambele sunt imposibil de imaginat, chiar și cu cea mai puternică imaginație. Totuși, așa cum am menționat deja, nu poate fi considerat "cel mai mult, cel mai mult". Este o altă problemă că, în momentul de față, valorile mai mari decât numărul Graham nu au un înțeles fizic stabilit.

În plus, nu are astfel de proprietăți ale unui număr infinit yen, ca:

• infin- + 1 = infin-;
• există un număr infinit de numere ciudate și paralele;
• infin- 1 = infin-;
• numărul de numere impare este exact jumătate din toate numerele;
• infin- + infin- = infin-;
• infin- / 2 = infin-.

Pentru a rezuma: numărul Graham însuși un număr mare în practică de dovadă matematică, în conformitate cu Cartea Recordurilor Guiness. Cu toate acestea, există numere care sunt de mai multe ori mai mari decât această valoare.

Cel mai probabil, în viitor va fi nevoie de "giganți" și mai mari, mai ales dacă o persoană depășește limitele sistemului nostru solar sau elaborează ceva inimaginabil la nivelul actual al conștiinței noastre.