Bazele analizei matematice. Cum să găsiți derivatul?

Derivatul unei anumite funcții f (x) la un anumit punct x0 este limita raportului dintre creșterile unei funcții și incrementul unui argument, cu condiția ca x să urmeze la 0 și limita să existe. Derivatul este de obicei marcat printr-un prim, uneori printr-un punct sau printr-un diferențial. Adesea, o înregistrare trasată peste graniță este înșelătoare, deoarece o astfel de reprezentare este folosită extrem de rar.

O funcție care are un derivat la un anumit punct x0 este considerată a fi diferențiată la un astfel de punct. Să presupunem că D1 este setul de puncte la care f este diferențiat. Prin alinierea fiecăruia numărul de număr x aparținând lui D frsquo- (x), obținem o funcție cu domeniul notației D1. Această funcție este derivatul lui y = f (x). Este notat ca: frsquo- (x).

În plus, derivatul este utilizat pe scară largă în fizică și inginerie. Să luăm în considerare cel mai simplu exemplu. Punctul material se deplasează direct de-a lungul axei de coordonate, la ce lege este dată mișcarea, adică coordonata x a acestui punct este funcția cunoscută x (t). În intervalul de timp de la t0 la t0 + t, deplasarea punctului este x (t0 + t) -x (t0) = x, iar viteza medie v (t) este x / t.

Uneori, natura mișcării prezentate, astfel încât viteza medie nu se schimba la intervale mici de timp, ceea ce înseamnă că mișcarea cu un grad mai mare de precizie este considerată a fi uniformă. sau valoarea medie a vitezei dacă t0 urmează unei valori absolut exacte, care se numește viteza instantanee v (t0) a acestui punct într-o anumită clipă a timpului t0. Se presupune că viteza instantanee v (t) este cunoscută pentru orice funcție diferențiată x (t), cu v (t) fiind egală cu xrsquo- (t). Pur și simplu puneți, viteza este derivatul coordonării timpului.

Viteza Instantanee are valori pozitive și negative, iar valoarea este 0. Dacă este pentru un anumit interval de timp (T1- t2) este pozitiv, atunci punctul se deplasează în aceeași direcție, adică, x (t) să coordoneze crește cu timpul, iar dacă v (t) este negativ, atunci coordonata x (t) scade.

În cazuri mai complexe, punctul se mișcă într-un avion sau în spațiu. Apoi, viteza este o cantitate vectorială și determină fiecare dintre coordonatele vectorului v (t).

În mod similar, se poate compara cu accelerarea mișcării unui punct. Viteza este o funcție a timpului, adică v = v (t). Și derivatul unei astfel de funcții este accelerarea mișcării: a = vrsquo- (t). Adică, rezultă că derivarea vitezei în raport cu timpul este o accelerație.

Să presupunem că y = f (x) este orice funcție diferențiată. Apoi putem lua în considerare mișcarea unui punct material de-a lungul linia de coordonate, care are loc în spatele legii x = f (t). Conținutul mecanic al derivatului face posibilă prezentarea unei interpretări vizuale a teoremelor calculul diferențial.

Cum să găsiți derivatul? Găsirea derivatului a unei funcții se numește diferențierea sa.

Vom da exemple de cum să găsim funcția derivată:

Derivatul unei funcții constante este zero, derivatul funcției y = x este egal cu unul.

Și cum să găsiți fracția derivată? Pentru aceasta, luați în considerare următoarele materiale:

Pentru orice x0<> 0 avem

y / x = -1 / x0 * (x + x)

Există mai multe reguli pentru găsirea unui derivat. Și anume:

Dacă funcțiile A și B sunt diferențiate la punctul x0, atunci suma lor este diferențiată la punctul: (A + B) rsquo- = Arsquo- + Brsquo-. Pur și simplu, derivatul unei sume este egal cu suma derivatelor. Dacă funcția este diferențiată într-un anumit punct, atunci incrementul său se duce la zero când incrementul argumentului este zero.

Dacă funcțiile A și B sunt diferențiate la punctul x0, atunci produsul lor este diferențiat în punctul: (A * B) rsquo- = Arsquo-B + ABrsquo. (Valorile funcțiilor și derivatele acestora sunt calculate la punctul x0). Dacă funcția A (x) este diferențiată în punctul x0, iar C este o constantă, atunci CA este diferențiată în acest punct și (CA) rsquo- = CArsquo-. Adică, un astfel de factor constant este considerat ca un semn al derivatului.

Dacă funcțiile A și B sunt diferențiate punctul x0, iar funcția B nu este egal cu zero, atunci raportul lor diferențiate la: (A / B) rsquo - = (Arsquo-B-ABrsquo -) / B * B.