Bazele analizei matematice. Cum să găsiți derivatul?

Derivatul unei anumite funcții f (x) la un anumit punct x0 este limita raportului dintre creșterile unei funcții și incrementul unui argument, cu condiția ca x să urmeze la 0 și limita să existe. Derivatul este de obicei marcat printr-un prim, uneori printr-un punct sau printr-un diferențial. Adesea, o înregistrare trasată peste graniță este înșelătoare, deoarece o astfel de reprezentare este folosită extrem de rar.

O funcție care are un derivat la un anumit punct x0 este considerată a fi diferențiată la un astfel de punct. Să presupunem că D1 este setul de puncte la care f este diferențiat. Prin alinierea fiecăruia numărul de număr x aparținând lui D frsquo- (x), obținem o funcție cu domeniul notației D1. Această funcție este derivatul lui y = f (x). Este notat ca: frsquo- (x).

În plus, derivatul este utilizat pe scară largă în fizică și inginerie. Să luăm în considerare cel mai simplu exemplu. Punctul material se deplasează direct de-a lungul axei de coordonate, la ce lege este dată mișcarea, adică coordonata x a acestui punct este funcția cunoscută x (t). În intervalul de timp de la t0 la t0 + t, deplasarea punctului este x (t0 + t) -x (t0) = x, iar viteza medie v (t) este x / t.

Uneori, natura mișcării prezentate, astfel încât viteza medie nu se schimba la intervale mici de timp, ceea ce înseamnă că mișcarea cu un grad mai mare de precizie este considerată a fi uniformă. sau valoarea medie a vitezei dacă t0 urmează unei valori absolut exacte, care se numește viteza instantanee v (t0) a acestui punct într-o anumită clipă a timpului t0. Se presupune că viteza instantanee v (t) este cunoscută pentru orice funcție diferențiată x (t), cu v (t) fiind egală cu xrsquo- (t). Pur și simplu puneți, viteza este derivatul coordonării timpului.

Viteza Instantanee are valori pozitive și negative, iar valoarea este 0. Dacă este pentru un anumit interval de timp (T1- t2) este pozitiv, atunci punctul se deplasează în aceeași direcție, adică, x (t) să coordoneze crește cu timpul, iar dacă v (t) este negativ, atunci coordonata x (t) scade.

În cazuri mai complexe, punctul se mișcă într-un avion sau în spațiu. Apoi, viteza este o cantitate vectorială și determină fiecare dintre coordonatele vectorului v (t).

În mod similar, se poate compara cu accelerarea mișcării unui punct. Viteza este o funcție a timpului, adică v = v (t). Și derivatul unei astfel de funcții este accelerarea mișcării: a = vrsquo- (t). Adică, rezultă că derivarea vitezei în raport cu timpul este o accelerație.

Să presupunem că y = f (x) este orice funcție diferențiată. Apoi putem lua în considerare mișcarea unui punct material de-a lungul linia de coordonate, care are loc în spatele legii x = f (t). Conținutul mecanic al derivatului face posibilă prezentarea unei interpretări vizuale a teoremelor calculul diferențial.

Cum să găsiți derivatul? Găsirea derivatului a unei funcții se numește diferențierea sa.



Vom da exemple de cum să găsim funcția derivată:

Derivatul unei funcții constante este zero, derivatul funcției y = x este egal cu unul.

Și cum să găsiți fracția derivată? Pentru aceasta, luați în considerare următoarele materiale:

Pentru orice x0<> 0 avem

y / x = -1 / x0 * (x + x)

Există mai multe reguli pentru găsirea unui derivat. Și anume:

Dacă funcțiile A și B sunt diferențiate la punctul x0, atunci suma lor este diferențiată la punctul: (A + B) rsquo- = Arsquo- + Brsquo-. Pur și simplu, derivatul unei sume este egal cu suma derivatelor. Dacă funcția este diferențiată într-un anumit punct, atunci incrementul său se duce la zero când incrementul argumentului este zero.

Dacă funcțiile A și B sunt diferențiate la punctul x0, atunci produsul lor este diferențiat în punctul: (A * B) rsquo- = Arsquo-B + ABrsquo. (Valorile funcțiilor și derivatele acestora sunt calculate la punctul x0). Dacă funcția A (x) este diferențiată în punctul x0, iar C este o constantă, atunci CA este diferențiată în acest punct și (CA) rsquo- = CArsquo-. Adică, un astfel de factor constant este considerat ca un semn al derivatului.

Dacă funcțiile A și B sunt diferențiate punctul x0, iar funcția B nu este egal cu zero, atunci raportul lor diferențiate la: (A / B) rsquo - = (Arsquo-B-ABrsquo -) / B * B.

Distribuiți pe rețelele sociale:

înrudit
Cum să explorați și să construiți un grafic de funcții?Cum să explorați și să construiți un grafic de funcții?
Cum puteți găsi punctele minime și maxime ale unei funcții: caracteristici, metode și exempleCum puteți găsi punctele minime și maxime ale unei funcții: caracteristici, metode și exemple
Metoda de interpolare: tipuri de bază și algoritmi de calculMetoda de interpolare: tipuri de bază și algoritmi de calcul
Integralul indefinit. Calculul integralelor nedefiniteIntegralul indefinit. Calculul integralelor nedefinite
Derivația este un instrument indispensabil al piețeiDerivația este un instrument indispensabil al pieței
Un exces de genul acesta. Valoare de definireUn exces de genul acesta. Valoare de definire
Diferențiale sunt ce? Cum să găsim diferența unei funcții?Diferențiale sunt ce? Cum să găsim diferența unei funcții?
Ecuații diferențiale liniare și omogene de ordinul întâi. Exemple de soluțiiEcuații diferențiale liniare și omogene de ordinul întâi. Exemple de soluții
Care sunt zerourile unei funcții și cum să le definiți?Care sunt zerourile unei funcții și cum să le definiți?
Derivații de numere: metode de calcul și exempleDerivații de numere: metode de calcul și exemple
» » Bazele analizei matematice. Cum să găsiți derivatul?