Ancheta completă a funcției și a calculului diferențial

Având cunoștințe extinse în lucrul cu funcțiile, suntem înarmați cu un set suficient de instrumente care ne permit să realizăm un studiu complet al unei regularități matematice specificate specific, sub forma unei formule (funcție). Bineînțeles, s-ar putea să mergi în cea mai simplă, dar mai dureroasă cale. De exemplu, specificați limitele argumentului, selectați un interval, calculați valorile funcției pe acesta și plotați graficul. Cu sisteme de calcul moderne moderne, această problemă este rezolvată în câteva secunde. Dar eliminați din arsenalul plin funcția de cercetare matematicienii nu se grăbesc, deoarece aceste metode pot fi folosite pentru a evalua corectitudinea funcționării sistemelor informatice în rezolvarea problemelor similare. Cu structura mecanică a graficului, nu putem garanta acuratețea intervalului specificat mai sus în alegerea argumentului.

Și numai după o investigație completă a funcției, putem fi siguri că toate nuanțele "comportamentului" sunt luate în considerare nu la un interval de eșantionare, ci pe întreaga gamă a argumentului.

Pentru a rezolva o mare varietate de probleme în domeniul fizicii, matematicii și tehnologiei, este necesar să se efectueze un studiu dependența funcțională între variabilele care participă la fenomenul analizat. Acesta din urmă, dat analizat de unul sau de mai multe formule, ne permite să realizăm cercetări folosind metode de analiză matematică.

Pentru a efectua o investigație completă a funcției este de a afla și de a determina zonele pe care crește (scade), unde ajunge maxim (minim), precum și alte caracteristici ale programului său.

Există anumite scheme pe care să se efectueze un studiu complet al funcției. Exemple de liste de cercetare matematică efectuate sunt reduse la găsirea unor momente aproape identice. Un plan aproximativ de analiză implică următoarele studii:

- găsirea domeniului definiției funcției, investigarea comportamentului în limitele sale;

- găsim punctele de discontinuitate cu clasificarea prin limite unilaterale;

- definim asimptote;

- noi găsim puncte extremum și intervale de monotonie;

- Determinăm punctele de inflexiune, intervalele de concavitate și convexitate;

- realizăm construirea graficului pe baza rezultatelor obținute pe parcursul studiului.

Considerând doar câteva dintre elementele din acest plan, este demn de remarcat faptul că calculul diferențial sa dovedit a fi un instrument foarte reușit pentru investigarea funcției. Există relații destul de simple între comportamentul funcției și caracteristicile derivatului acesteia. Pentru a rezolva această problemă, este suficient să se calculeze primul și al doilea derivat.

Luați în considerare ordinea de a găsi intervalele de scădere, creșterea funcției, au primit și numele de intervale de monotonie.

Pentru aceasta, este suficient să se determine semnul primului derivat la un anumit interval. Dacă este constant mai mare decât zero pe un segment, atunci putem judeca cu siguranță creșterea monotonică a funcției în acest interval și invers. Valorile negative ale primului derivat caracterizează funcția ca fiind în scădere monotonică.

Folosind derivatul calculat, determinăm secțiunile graficului, numite convexități, precum și concavitățile funcției. Se dovedește că, dacă în cursul calculelor se realizează un derivat funcția continuă și negativ, aceasta indică convexitatea, continuitatea celui de-al doilea derivat și valoarea sa pozitivă indică o concavitate a graficului.

Găsirea momentului în care există o schimbare de semn în cel de-al doilea derivat sau părți în care acesta nu există indică definiția punctului de inflexiune. Este limita intervalelor de convexitate și concavitate.

O anchetă completă a funcției nu se încheie cu punctele de mai sus, ci cu utilizarea calculul diferențial simplifică foarte mult acest proces. În acest caz, rezultatele analizei au un grad maxim de fiabilitate, ceea ce face posibilă construirea unui grafic care să corespundă complet proprietăților funcțiilor studiate.