Funcțiile de distribuție ale unei variabile aleatorii. Cum se găsește funcția de distribuție a unei variabile aleatorii

Pentru a găsi funcțiile de distribuție a variabilelor aleatoare și a variabilelor lor, este necesar să studiem toate trăsăturile acestui domeniu al cunoașterii. Există mai multe metode diferite pentru a găsi valorile considerate, inclusiv schimbarea variabilei și generarea cuplului. Distribuția este un concept bazat pe elemente precum variația, variația. Cu toate acestea, ele caracterizează numai gradul amplitudinii de împrăștiere.

Funcțiile mai importante ale variabilelor aleatoare sunt cele care sunt conectate și independente și sunt distribuite în mod egal. De exemplu, în cazul în care X1 - greutatea unei persoane selectate aleatoriu din populația de sex masculin, X2 - o altă greutate, ... și Xn - greutatea unei alte persoane din populația de sex masculin, atunci, trebuie să știi cum este distribuit funcția aleatoare X. În acest caz, aplicăm teorema clasică, numită teorema limită centrală. Aceasta ne permite să arătăm că pentru n mare funcția urmează distribuțiile standard.

Funcțiile unei variabile aleatorii

Teorema limită centrală este concepută pentru a aproxima valorile discrete considerate, cum ar fi binomul și Poisson. Funcțiile de distribuție a variabilelor aleatoare sunt luate în considerare, în primul rând, pe valori simple ale unei variabile. De exemplu, dacă X este o variabilă aleatorie continuă având propria sa distribuție de probabilitate. În acest caz, investigăm cum să găsim funcția de densitate Y folosind două abordări diferite, și anume metoda de distribuție și variația variabilă. În primul rând, sunt luate în considerare numai valorile unu-la-unu. Apoi, trebuie să modificați tehnica de modificare a variabilei pentru a găsi probabilitatea acesteia. În cele din urmă, trebuie să învățăm cum funcția inversă a distribuției cumulative poate ajuta la modelarea numerelor aleatorii care urmează anumite circuite secvențiale.

Metoda de distribuire a valorilor considerate

Metoda funcției de distribuție a probabilității unei variabile aleatorii este aplicabilă pentru a-și găsi densitatea. Atunci când se utilizează această metodă, se calculează o valoare cumulată. Apoi, diferențiind-o, putem obține densitatea de probabilitate. Acum, în prezența metodei funcției de distribuție, putem lua în considerare mai multe exemple. Fie X o variabilă aleatorie continuă cu o anumită densitate de probabilitate.

Care este funcția de densitate a probabilității x2? Dacă privim sau complotăm funcția (de sus și de la dreapta) y = x2, putem observa că este o creștere X și 0

În ultimul exemplu, o mare atenție a fost utilizată pentru a indexa funcțiile cumulative și densitatea probabilității, fie cu X, fie cu Y, pentru a indica variabilitatea aleatoare la care au aparținut. De exemplu, în cazul în care funcția de distribuție cumulativă a primit Y X. Dacă aveți nevoie pentru a găsi o variabila aleatoare X și densitatea ei, ea trebuie doar să fie diferențiate.

Tehnică pentru schimbarea variabilelor

Fie X o variabilă aleatorie continuă dată de o funcție de distribuție cu numitorul comun f (x). În acest caz, dacă puneți valoarea y în X = v (Y), obțineți valoarea lui x, de exemplu v (y). Acum, trebuie să obținem funcția de distribuție a unei variabile aleatoare Y continue. În cazul în care prima și a doua egalitate are loc din definiția cumulului Y. A treia ecuație este satisfăcută deoarece părțile funcției pentru care u (X) le-y, este, de asemenea, adevărat că X le-v (Y). Și, în cele din urmă efectuate pentru a determina probabilitatea ca un X. continuu variabilă aleatoare Acum trebuie să ia derivatul FY (y), funcția de distribuție cumulativă Y pentru a obține Y. de densitate de probabilitate

O generalizare pentru funcția de reducere

Fie X o variabilă aleatorie continuă cu comun f (x) definită peste c1

Pentru a rezolva această problemă, este posibilă colectarea datelor cantitative și utilizarea funcției empirice de distribuție cumulativă. Deținând aceste informații și apelând la acestea, este necesar să combinați eșantioane de mijloace, abateri standard, date media și așa mai departe.

În mod similar, chiar și un model destul de probabilist probabil poate avea un număr foarte mare de rezultate. De exemplu, dacă răsturnați moneda de 332 de ori. Apoi, numărul de rotații ale rezultatelor de la mai mult de Google (10100) - numărul de, dar cel puțin 100 de ori mai mare quintillion particulelor elementare din universul cunoscut. Nu este interesant analiza care oferă răspunsul la orice rezultat posibil. Este necesar un concept mai simplu, cum ar fi numărul de capete sau cea mai lungă funcționare a cozilor. Pentru a vă concentra asupra problemelor de interes, se face un anumit rezultat. Definiția în acest caz este următoarea: o variabilă aleatoare este o funcție reală cu un spațiu de probabilitate.

Domeniul S al unei variabile aleatoare este numit uneori spațiul de stare. Astfel, dacă X este valoarea considerată, atunci N = X2, exp crarr-X, X2 + 1, tan2X, bXc și așa mai departe. Ultimul dintre ele, rotunjind X la cel mai apropiat număr întreg, se numește funcție de sex.

Funcțiile de distribuție

Odată ce interesul ales este funcția de distribuție a variabila aleatoare X, întrebarea devine de obicei: „Care sunt șansele ca X se încadrează într-un anumit subset de valori B»?. De exemplu, B = {numere impare}, B = {1} sau mai mare B = {între 2 și 7} pentru a indica rezultatele care au X, valoarea variabilei aleatoare, un subset al A. Astfel, în exemplul de mai sus poate fi descrieți evenimentele după cum urmează.

{X este un număr impar,} {X este mai mare decât 1} = {X> 1}, {X este între 2 și 7} = {2

Variabile aleatoare și funcții de distribuție

Astfel, este posibil să se calculeze probabilitatea ca funcția de distribuție a unei variabile aleatoare x să ia valori într-un interval de scădere. Trebuie să vă gândiți să includeți sau să excludeți criteriile finale.

Noi numim o variabila aleatoare discrete daca are un spatiu de stat infinit finit sau numarator. Astfel, X este numărul de capete pe trei răsturnări independente ale monedei strămutate, care se ridică cu probabilitatea p. Este necesar să găsim funcția de distribuție cumulată a unei variabile aleatoare discrete FX pentru X. Fie X numărul de vârfuri într-o colecție de trei cărți. Apoi Y = X3 prin FX. FX începe la 0, se termină la 1 și nu scade cu valori crescânde de x. Funcția cumulativă de distribuție FX a unei variabile aleatoare discrete X este constantă, cu excepția salturilor. La salt, FX este continuă. Dovediți declarația continuității corecte a funcției de distribuție din proprietatea probabilității utilizând definiția. Sună astfel: o variabilă aleatoare constantă are un FX cumulativ care poate fi diferențiat.

Pentru a arăta cum se poate întâmpla acest lucru, putem da un exemplu: o țintă cu o rază a unității. Se presupune. Dart este distribuit uniform în zona specificată. Pentru unii lambda-> 0. Astfel, funcțiile de distribuție ale variabilelor aleatorii continue cresc ușor. FX are proprietățile funcției de distribuție.

Un om așteaptă autobuzul de la stația de autobuz până ajunge. Decide pentru el însuși că va refuza, când așteptarea va ajunge la 20 de minute. Aici este necesar să găsim funcția cumulativă de distribuție pentru T. Momentul în care o persoană va mai fi la stația de autobuz sau nu va pleca. În ciuda faptului că funcția de distribuție cumulativă este definită pentru fiecare variabilă aleatoare. Cu toate acestea, alte caracteristici vor fi adesea folosite destul de des: masa pentru o variabilă discretă și funcția de distribuție a unei variabile aleatorii. În mod normal, o valoare este extrasă prin una dintre aceste două valori.

Funcțiile de masă

Aceste valori sunt considerate de următoarele proprietăți, care au un caracter comun (caracterul de masă). Primul se bazează pe faptul că probabilitățile nu sunt negative. Al doilea derivă din observația că setul pentru toate x = 2S, spațiul de stare pentru X, formează o partiție a libertății probabilistice X. Exemplu: aruncări ale unei monede nonobiective ale cărei rezultate sunt independente. Puteți continua să efectuați anumite acțiuni până când obțineți un heads-up. Fie X o variabilă aleatoare care dă numărul de cozi în fața primului cap. Și p denotă probabilitatea în orice acțiune dată.

Astfel, funcția de probabilitate de masă are următoarele caracteristici caracteristice. Deoarece termenii formează o secvență numerică, X este numită variabilă geometrică aleatorie. Schema geometrică c, cr, cr2,. ,,,, crn are o sumă. Și, prin urmare, sn are o limită pentru n 1. În acest caz, suma infinită este limita.

Funcția de masă de mai sus formează o secvență geometrică cu o relație. Prin urmare, numerele naturale a și b. Diferența dintre valorile funcției de distribuție este egală cu valoarea funcției de masă.

Valorile considerate ale densității au următoarea definiție: X este o variabilă aleatorie a cărei distribuție FX are un derivat. FX, satisfăcător Z xFX (x) = fX (t) dt-1, se numește funcția de densitate a probabilității. A este numită variabilă continuă aleatorie. În teorema de bază a calculului, funcția de densitate este derivatul distribuției. Puteți calcula probabilitatea prin calcularea anumitor integrale.

Dat fiind că datele sunt colectate din mai multe observații, trebuie luate în considerare mai multe variabile aleatorii la un moment dat pentru a simula procedurile experimentale. În consecință, setul acestor valori și distribuția lor comună pentru cele două variabile X1 și X2 înseamnă evenimente de vizualizare. Pentru variabilele aleatoare discrete, se determină funcțiile de masă ale probabilității comune. Pentru continuu, considerăm fX1, X2, unde densitatea de probabilitate comună este satisfăcută.

Valorile aleatorii independente

Două variabile aleatoare X1 și X2 sunt independente dacă două evenimente legate de ele sunt aceleași. În cuvinte, probabilitatea ca două evenimente {X1 2 B1} și {X2 2 B2} să apară simultan, y este egală cu produsul variabilelor indicate mai sus, fiecare dintre acestea are loc individual. Pentru variabilele aleatoare discrete independente există o funcție comună a probabilității de masă, care este produsul volumului limitativ al ionilor. Pentru variabilele aleatorii continue care sunt independente, funcția de densitate a probabilității comune este rezultatul valorilor densității limitative. În concluzie, n observații independente x1, x2 ,. ,,, xn, care rezultă dintr-o densitate necunoscută sau funcție de masă f. De exemplu, un parametru necunoscut în funcțiile pentru o variabilă aleatorie exponențială care descrie timpul de așteptare al unei magistrale.

Simularea variabilelor aleatoare

Scopul principal al acestui domeniu teoretic este de a furniza instrumentele necesare dezvoltării procedurilor inferențiale bazate pe principiile solide ale științei statistice. Astfel, una dintre cele mai importante aplicații ale software-ului este capacitatea de a genera pseudo-date pentru a simula informațiile reale. Acest lucru face posibilă testarea și îmbunătățirea metodelor de analiză înainte de a le utiliza în baze de date reale. Acest lucru este necesar pentru a explora proprietățile datelor prin modelare. Pentru multe familii frecvent utilizate de variabile aleatoare, R furnizează comenzile pentru crearea acestora. Pentru alte circumstanțe, avem nevoie de metode pentru modelarea unei secvențe de variabile aleatoare independente care au o distribuție comună.

Variabile aleatoare discrete și modelul de comandă. Comanda pentru eșantion este utilizată pentru a crea eșantioane simple și stratificate aleatoare. Ca urmare, dacă se introduce o secvență x, eșantionul (x, 40) selectează 40 de intrări din x astfel încât toate dimensiunile de 40 să aibă aceeași probabilitate. Aceasta utilizează comanda R implicită pentru eșantionare fără înlocuire. De asemenea, puteți să o utilizați pentru a simula variabile aleatoare discrete. Pentru a face acest lucru, trebuie să furnizați un spațiu de stare în vectorul x și funcția de masă f. Un apel pentru a înlocui = TRUE indică faptul că eșantionarea are loc cu înlocuirea. Apoi se folosește un eșantion (x, n, replace = TRUE, prob = f) pentru a da un eșantion de variabile aleatoare independente n care au o funcție comună de masă f.

Se stabilește că 1 este cea mai mică valoare reprezentată, iar 4 este cea mai mare dintre toate. Dacă prob = f este omisă, atunci eșantionul va fi selectat uniform din valorile din vectorul x. Verificați simularea împotriva funcției de masă care a generat datele, acordând atenție semnului de dublă egalitate, ==. Și reamintind observațiile care iau orice valoare posibilă pentru x. Poți să faci o masă. Repetați acest lucru pentru 1000 și comparați simularea cu funcția de masă corespunzătoare.

Identificarea transformării probabilității

În primul rând, simulează funcțiile de distribuție omogene ale variabilelor aleatoare u1, u2,. ,,, un pe intervalul [0, 1]. Aproximativ 10% din numere ar trebui să se situeze în intervalul [0,3, 0,4]. Aceasta corespunde la 10% din simulări pentru intervalul [0,28, 0,38] pentru o variabilă aleatoare cu funcția de distribuție indicată FX. În mod similar, aproximativ 10% din numerele aleatorii ar trebui să fie în intervalul [0,7, 0,8]. Aceasta corespunde cu 10% din simulările din intervalul [0.96, 1.51] al variabilei aleatoare cu funcția de distribuție FX. Aceste valori pe axa x pot fi obtinute din returul FX. Dacă X este o variabilă aleatorie continuă cu densitate fX pozitivă peste tot în domeniul său, atunci funcția de distribuție crește strict. În acest caz, FX are o funcție inversă FX-1, cunoscută ca o funcție quantile. FX (x) u numai dacă x FX-1 (u). Conversia probabilității rezultă dintr-o analiză a variabilei aleatoare U = FX (X).

FX are un interval cuprins între 0 și 1. Nu poate lua o valoare sub 0 sau peste 1. Pentru valorile u între 0 și 1. Dacă este posibil pentru a simula U, este necesar pentru a simula o variabilă aleatoare cu funcția de distribuție FX prin quantile. Ia derivatul, pentru a vedea că densitatea u variază 1. Deoarece variabila aleatoare U are o densitate constantă într-un interval de valori posibile ale acesteia, se spune să fie uniformă pe intervalul [0, 1]. Acesta este modelat în R folosind comanda runif. Identitatea se numește o transformare a probabilității. Puteți vedea cum funcționează în exemplu cu placa de darts. X între 0 și 1, funcția de distribuție u = FX (x) = x2, și deci funcția cuantila x = FX-1 (u). Acesta poate fi simulat distanță de observație independentă de centrul panoului de darts și crearea unei uniforme variabile aleatoare U1, U2,. ,, Unu. Funcția de distribuție empirică bazată pe 100 de săgeți de distribuție simulări de bord. Pentru variabila exponențială aleatoare, probabil u = FX (x) = 1 - exp (- x), și, prin urmare, x = - 1 ln (1 - u). Uneori logica constă în declarații echivalente. În acest caz, trebuie să combinați două părți ale argumentului. Identitatea cu intersecția în mod similar pentru toate 2 {S i i} S, în loc de o valoare. Combinând Ci este egală cu spațiul S de stat, și fiecare pereche de exclus reciproc. Deoarece Bi este împărțit în trei axiome. Fiecare verificare se bazează pe probabilitatea corespunzătoare P. Pentru orice subset. Folosind identitatea, pentru a verifica dacă răspunsul nu depinde de faptul dacă sunt incluse punctele de capăt ale intervalului.

Funcția exponențială și variabilele acesteia

Pentru fiecare rezultat, în orice caz, este utilizată în cele din urmă a doua proprietate a continuității probabilităților, care este considerată axiomatică. Legea distribuției unei funcții a unei variabile aleatorii aici arată că fiecare are propria soluție și răspuns.